精品解析：江西省赣州市瑞金市2024—2025学年上学期期中考试八年级数学考试试题

2024年秋八年级数学期中练习题 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 2024年的巴黎奥运会上，中国队展现了绝对的实力，夺得历史性40枚金牌，惊艳了世界，在获得金牌项目的运动图标中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在 中， 边上的高为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，在 中，是高，，则 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 如图，，垂足分别为 ．若，则 的长（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 6. 如图，在 中， 为边上的中线， 为 边上一点，平分，下列结论正确的是（ ） ①②③平分④ A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是______． 8. 如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长=______． 9. 三角形的三边为 3、5、x ，另一个三角形的三边为 y 、3、4，若这两个三角形全等，则 _____． 10. 如图，，若，则 的度数为______． 11. 如图， 的的角平分线交于点 ，过点 作，垂足分别为，若，则______． 12. 如图， 中，是射线 上的动点，连接 ，令，将 沿 所在射线翻折至处，射线与射线 相交于点 ．若是等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图， 是 的平分线，．试说明：． 14. 如图，在 中，分别为 的高线、角平分线．若， ，求 ，的度数． 15. （1）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． （2）如图，，点在同一条直线上，若，求 的长． 16. 如图，已知， 与 相交于点 ． （1）求证：； （2）求证：． 17. （1）如图1，已知 ，请你仅用无刻度的直尺作出 边上的中线． （2）如图2，已知 中，，请你仅用无刻度的直尺作出 的平分线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知，点 在线段 上，且． 请从①；②；③；④中． （1）选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：_____（只填写一个序号），请你写出证明过程． （2）在（1）的条件下，请证明． 19. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）请在下图中画出与 关于y轴对称的； （2）求 的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 20. 已知，如图， 是的平分线， ，点 在 上， 、 分别在线段 、 上． （1）求证： ； （2）若，求证： 是 的垂直平分线． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在锐角 中，于点 ，，，点 为的中点，连接 并延长至点 ，使． （1）求证：； （2）试判断线段 与线段 的关系，并证明你的结论． 22. 课本再现，填空及解答 【教材例题展示】 如图1，在 中， ，点 在 上，且，求 各角度数． 解：______，， 设，则，从而． 在 中，有． 解得．即． 【教材例题变式】 如图2，在 中，，若，则______ ； 【边角规律再探】 如图3，，点A、B、C、D、E、F、G、H、I……．依次向右在的边 和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，求 的值； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母 ，则 的取值范围是______． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在 中，，直线 经过点 ， 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点 的坐标为，则点 的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形 中，，点 是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过 的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点 ，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋八年级数学期中练习题 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 2024年的巴黎奥运会上，中国队展现了绝对的实力，夺得历史性40枚金牌，惊艳了世界，在获得金牌项目的运动图标中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 如图，在 中， 边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的概念及三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键，根据三角形边上高的定义即可判定，从而得到答案． 【详解】解：根据高的定义： 边上的高，垂足应在边 上，或线段 的延长线或反向延长线上，且经过顶点 ， 符合条件的是 ， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答． 【详解】解：∵点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点是（3，﹣2）， ∴A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了已知点的坐标和该点关于y轴的对称点的坐标的关系（二者的纵坐标不变，横坐标互为相反数），以及四个象限中点的坐标的特点． 4. 如图，在 中，是高，，则 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质．首先在中根据直角三角形中 的锐角所对的直角边等于斜边的一半可知，在 中再次利用直角三角形中 的锐角所对的直角边等于斜边的一半得到，最后求出 即可． 【详解】解：是高， ， 又， ， ， ， 在中，， 在 中，， ∴． 故选：B． 5. 如图，，垂足分别为 ．若，则 的长（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 在和 中， ， ， ，， ． 故选：B． 6. 如图，在 中， 为边上的中线， 为 边上一点，平分，下列结论正确的是（ ） ①②③平分④ A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由中线定义得 ，进而，故①正确；利用反证法判断②和③，利用面积法即可证明，故④正确． 【详解】解：∵ 为边上的中线， ∴ ， ∵与分别以 、 为底时，高相等， ∴，故①正确； ∵平分， ∴点 到 和 的距离相等， 假设，则， ∵ ， ∴，这与 是任意三角形相矛盾， ∴，故②错误； 如图，过点 作，于 、 ， 假设：平分，则 到 和 的距离相等， ∵ 平分， ∴ 到 和 的距离相等， ∴ 到 和 的距离相等， ∴ 平分， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴这与 是任意三角形相矛盾， ∴不平分，故③错误； ∵ 平分， ∴ 到 和 的距离相等， ∴和分别以 、 为底时，高相等， ∴， ∴和分别以 、为底时，高相等， ∴， ∴，故④正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及判定，反证法，等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质，熟练掌握角平分线的性质及判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【详解】解：运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性 8. 如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长=______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判断出三角形为等边三角形，从而求得腰长． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为60°， ∴三角形为等边三角形， ∴腰长＝底边长＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟知有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 9. 三角形的三边为 3、5、x ，另一个三角形的三边为 y 、3、4，若这两个三角形全等，则 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，， ∴， 故答案为：9． 10. 如图，，若，则 的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出 的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵ ， ∴， 故答案为： 11. 如图， 的的角平分线交于点 ，过点 作，垂足分别为，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，连接 ，，证明，得出，同理得：， ， 设，则，，，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接 ，如图所示： ∵ 的、的角平分线交于点P， ∴ 平分 ， ∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 同理得：， ， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴ ， 故答案为：． 12. 如图， 中，是射线 上的动点，连接 ，令，将 沿 所在射线翻折至处，射线与射线 相交于点 ．若是等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，如图所示： 则 由三角形的外角性质得，即， ∴此情况不存在； 当时，如图所示： ∵， ∴， 由三角形的外角性质得：， 解得； 当时，如图所示： 则 ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图， 是 的平分线，．试说明：． 【答案】 证明： 是 的平分线， ． 在 和中， ， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件． 根据角平分线的定义得到，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 14. 如图，在 中，分别为 的高线、角平分线．若， ，求 ，的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先根据三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义得到，据此可得到，由平角的定义得到，再由高的定义得到，根据根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵ 平分 ， ∴， ∴， ∴， ∵ 是高， ∴， ∴． 15. （1）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． （2）如图，，点在同一条直线上，若，求 的长． 【答案】（1）10；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和多边形内角和外角和，熟练掌握三角形全等的性质，是解题的关键． （1）设它的边数为n，由内角和公式和外角和列方程即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，即可求解． 【详解】解：（1）设它的边数为n， ， 解得：， 答：它的边数为10． （2）∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴． ∴． 16. 如图，已知， 与 相交于点 ． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【小问1详解】 证明： ， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. 【小问2详解】 证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 17. （1）如图1，已知 ，请你仅用无刻度的直尺作出 边上的中线． （2）如图2，已知 中，，请你仅用无刻度的直尺作出 的平分线． 【答案】（1）如图， 即为所所求作的中线； （2） 即为所求作的角平分线，如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中线，角平分线作图，解题的关键是熟练掌握格点特点，等腰三角形的性质． （1）取格点D，连接 即可； （2）取格点F，连接 ，交 于点E，连接 ，则 即为所求． 【详解】解：（1）如图， 即为所所求作的中线； ∵，，， ∴， ∴ ， ∴ 为 的中线； （2） 即为所求作的角平分线，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴ 平分 ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知，点 在线段 上，且． 请从①；②；③；④中． （1）选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：_____（只填写一个序号），请你写出证明过程． （2）在（1）的条件下，请证明． 【答案】（1）①或②；证明过程见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用． （1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可； （2）证明，得出，根据平行线的判定证明即可． 【小问1详解】 解：可选取①或②（只选一个即可）； 证明：当选取①时， 在 与中， ， ； 证明：当选取②时， 在 与中， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）请在下图中画出与 关于y轴对称的； （2）求 的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于y轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，用含x的式子表示的面积，再分两种情况解方程即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图所示： 的面积为； 【小问3详解】 存在，理由如下 设点P的坐标为， 由（1）得，， 则以为底边时，高为到轴的距离，即2， ， ∵， ∴， ∴， 当时， ； 当时，； 所以点P的坐标为或． 20. 已知，如图， 是的平分线， ，点 在 上， 、 分别在线段 、 上． （1）求证： ； （2）若，求证： 是 的垂直平分线． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的定义，等腰三角形的三线合一，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得； （2）由（1）得，，从而得，再证明，利用等腰三角形的三线合一即可得证． 【小问1详解】 证明：∵ 为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； ∵点 在 上，，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴ 是 的垂直平分线． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在锐角 中，于点 ，，，点 为的中点，连接 并延长至点 ，使． （1）求证：； （2）试判断线段 与线段 的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）且，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明，再根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据证明，得到，，由（1）得，，即得，再利用直角三角形的两锐角互余得出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在与 中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 且，理由如下： ∵ 为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 由（1）可得，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴且． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 22. 课本再现，填空及解答 【教材例题展示】 如图1，在 中， ，点 在 上，且，求 各角度数． 解：______，， 设，则，从而． 在 中，有． 解得．即． 【教材例题变式】 如图2，在 中，，若，则______ ； 【边角规律再探】 如图3，，点A、B、C、D、E、F、G、H、I……．依次向右在的边 和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，求 的值； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母 ，则 的取值范围是______． 【答案】教材展示：；教材例题变式：38；边角规律再探：（1）；（2） 【解析】 【分析】教材例题展示：结合条件以及部分解答内容，根据等边对等角，得，设，则，从而．结合三角形内角和即可列式作答； 教材例题变式：根据等边对等角以及三角形内角和,得 ，结合三角形外角性质，； 边角规律再探：（1）由题意得，，因为为直角三角形，所以，结合，因为，且结合等边对等角以及三角形的外角性质，得，,，，，则，即可作答； （2）依题意，是存在的，是不存在的，要求在中，根据内角和为 进行列式，即，故，同理，，即． 【详解】解：教材例题展示：∵，， ∴，（等边对等角）． 设， ， ， 在 中，． 解得． ∴在 中，，； 数材例题变式：∵ ，若， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 边角规律再探：（1）由题意得，， ∵为直角三角形， ∴， ∵，且， ∴， ， ， 以此类推得：， ， ∴， 解得：； （2）∵此规律恰好最多可以进行到字母I， ∴是存在的，不存在， 根据（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据内角和为 进行列式， 即， 解得：， ∵是不存在的， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，等边对等角等内容，解题的关键是灵活运用三角形外角性质是解题的关键，三角形外角性质包括：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在 中，，直线 经过点 ， 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点 的坐标为，则点 的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形 中，，点 是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过 的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点 ，若，求的长． 【答案】初步应用： ； ； 探究迁移：是等边三角形，理由见解析； 扩展应用：的长为． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 初步应用： 根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； 如图2，证明，得，，进而可得结论； 探究迁移：根据已知条件得到根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 扩展应用：如图4，过 作于 ，的延长线于 ，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】解： 直线 ， 直线 ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； 如图 所示，过 作轴于 ，过 作轴于 ， ， ， ， ， ， ，， 点 的坐标为， ，， ∴，， 故答案为：； 探究迁移： 解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， 是等边三角形； 扩展应用： 解：如图4，过 作于 ，的延长线于 ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 同理，，， ， ， ， ， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $