精品解析：江西省赣州市瑞金市2024—2025学年上学期期中考试八年级数学考试试题

2024年秋八年级数学期中练习题 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 2024年的巴黎奥运会上，中国队展现了绝对的实力，夺得历史性40枚金牌，惊艳了世界，在获得金牌项目的运动图标中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，在中，是高，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 如图，，垂足分别为．若，则的长（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 6. 如图，在中，为边上的中线，为边上一点，平分，下列结论正确的是（ ） ①②③平分④ A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是______． 8. 如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长=______． 9. 三角形的三边为 3、5、x ，另一个三角形的三边为 y 、3、4，若这两个三角形全等，则 _____． 10. 如图，，若，则的度数为______． 11. 如图，的的角平分线交于点，过点作，垂足分别为，若，则______． 12. 如图，中，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，是的平分线，．试说明：． 14. 如图，在中，分别为的高线、角平分线．若，，求，的度数． 15. （1）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． （2）如图，，点在同一条直线上，若，求的长． 16. 如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 17. （1）如图1，已知，请你仅用无刻度的直尺作出边上的中线． （2）如图2，已知中，，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知，点在线段上，且． 请从①；②；③；④中． （1）选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：_____（只填写一个序号），请你写出证明过程． （2）在（1）的条件下，请证明． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）请在下图中画出与关于y轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 20. 已知，如图，是的平分线，，点在上，、分别在线段、上． （1）求证：； （2）若，求证：是的垂直平分线． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在锐角中，于点，，，点为的中点，连接并延长至点，使． （1）求证：； （2）试判断线段与线段的关系，并证明你的结论． 22. 课本再现，填空及解答 【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：______，， 设，则，从而． 在中，有． 解得．即． 【教材例题变式】 如图2，在中，，若，则______； 【边角规律再探】 如图3，，点A、B、C、D、E、F、G、H、I……．依次向右在的边和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，求的值； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母，则的取值范围是______． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形中，，点是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋八年级数学期中练习题 （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 2024年的巴黎奥运会上，中国队展现了绝对的实力，夺得历史性40枚金牌，惊艳了世界，在获得金牌项目的运动图标中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的概念及三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键，根据三角形边上高的定义即可判定，从而得到答案． 【详解】解：根据高的定义：边上的高，垂足应在边上，或线段的延长线或反向延长线上，且经过顶点， 符合条件的是， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答． 【详解】解：∵点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点是（3，﹣2）， ∴A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了已知点的坐标和该点关于y轴的对称点的坐标的关系（二者的纵坐标不变，横坐标互为相反数），以及四个象限中点的坐标的特点． 4. 如图，在中，是高，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质．首先在中根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可知，在中再次利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半得到，最后求出即可． 【详解】解：是高， ， 又， ， ， ， 在中，， 在中，， ∴． 故选：B． 5. 如图，，垂足分别为．若，则的长（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 6. 如图，在中，为边上的中线，为边上一点，平分，下列结论正确的是（ ） ①②③平分④ A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由中线定义得，进而，故①正确；利用反证法判断②和③，利用面积法即可证明，故④正确． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵与分别以、为底时，高相等， ∴，故①正确； ∵平分， ∴点到和的距离相等， 假设，则， ∵， ∴，这与是任意三角形相矛盾， ∴，故②错误； 如图，过点作，于、， 假设：平分，则到和的距离相等， ∵平分， ∴到和的距离相等， ∴到和的距离相等， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这与是任意三角形相矛盾， ∴不平分，故③错误； ∵平分， ∴到和的距离相等， ∴和分别以、为底时，高相等， ∴， ∴和分别以、为底时，高相等， ∴， ∴，故④正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及判定，反证法，等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质，熟练掌握角平分线的性质及判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【详解】解：运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性 8. 如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长=______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判断出三角形为等边三角形，从而求得腰长． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为60°， ∴三角形为等边三角形， ∴腰长＝底边长＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟知有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 9. 三角形的三边为 3、5、x ，另一个三角形的三边为 y 、3、4，若这两个三角形全等，则 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，， ∴， 故答案为：9． 10. 如图，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 11. 如图，的的角平分线交于点，过点作，垂足分别为，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，连接，，证明，得出，同理得：，， 设，则，，，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的、的角平分线交于点P， ∴平分， ∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 同理得：，， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 12. 如图，中，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，如图所示： 则 由三角形的外角性质得，即， ∴此情况不存在； 当时，如图所示： ∵， ∴， 由三角形的外角性质得：， 解得； 当时，如图所示： 则 ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，是的平分线，．试说明：． 【答案】 证明： 是的平分线， ． 在和中， ， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件． 根据角平分线的定义得到，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 14. 如图，在中，分别为的高线、角平分线．若，，求，的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先根据三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义得到，据此可得到，由平角的定义得到，再由高的定义得到，根据根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∴． 15. （1）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． （2）如图，，点在同一条直线上，若，求的长． 【答案】（1）10；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和多边形内角和外角和，熟练掌握三角形全等的性质，是解题的关键． （1）设它的边数为n，由内角和公式和外角和列方程即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，即可求解． 【详解】解：（1）设它的边数为n， ， 解得：， 答：它的边数为10． （2）∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴． ∴． 16. 如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2） 证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 【解析】 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. （1）如图1，已知，请你仅用无刻度的直尺作出边上的中线． （2）如图2，已知中，，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】（1）如图，即为所所求作的中线； （2）即为所求作的角平分线，如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中线，角平分线作图，解题的关键是熟练掌握格点特点，等腰三角形的性质． （1）取格点D，连接即可； （2）取格点F，连接，交于点E，连接，则即为所求． 【详解】解：（1）如图，即为所所求作的中线； ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中线； （2）即为所求作的角平分线，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知，点在线段上，且． 请从①；②；③；④中． （1）选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：_____（只填写一个序号），请你写出证明过程． （2）在（1）的条件下，请证明． 【答案】（1） 解：可选取①或②（只选一个即可）； 证明：当选取①时， 在与中， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ； （2） 解：∵， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用． （1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可； （2）证明，得出，根据平行线的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）请在下图中画出与关于y轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于y轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，用含x的式子表示的面积，再分两种情况解方程即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 如图所示： 的面积为； 【小问3详解】 存在，理由如下 设点P的坐标为， 由（1）得，， 则以为底边时，高为到轴的距离，即2， ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 所以点P的坐标为或． 20. 已知，如图，是的平分线，，点在上，、分别在线段、上． （1）求证：； （2）若，求证：是的垂直平分线． 【答案】（1） 证明：∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； ∵点在上，，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2） 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴是的垂直平分线． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的定义，等腰三角形的三线合一，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得； （2）由（1）得，，从而得，再证明，利用等腰三角形的三线合一即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在锐角中，于点，，，点为的中点，连接并延长至点，使． （1）求证：； （2）试判断线段与线段的关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 解：且，理由如下： ∵为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 由（1）可得，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴且． 【解析】 【分析】（1）根据证明，再根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据证明，得到，，由（1）得，，即得，再利用直角三角形的两锐角互余得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 22. 课本再现，填空及解答 【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：______，， 设，则，从而． 在中，有． 解得．即． 【教材例题变式】 如图2，在中，，若，则______； 【边角规律再探】 如图3，，点A、B、C、D、E、F、G、H、I……．依次向右在的边和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，求的值； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母，则的取值范围是______． 【答案】教材展示：；教材例题变式：38；边角规律再探：（1）；（2） 【解析】 【分析】教材例题展示：结合条件以及部分解答内容，根据等边对等角，得，设，则，从而．结合三角形内角和即可列式作答； 教材例题变式：根据等边对等角以及三角形内角和,得 ，结合三角形外角性质，； 边角规律再探：（1）由题意得，，因为为直角三角形，所以，结合，因为，且结合等边对等角以及三角形的外角性质，得，,，，，则，即可作答； （2）依题意，是存在的，是不存在的，要求在中，根据内角和为进行列式，即，故，同理，，即． 【详解】解：教材例题展示：∵，， ∴，（等边对等角）． 设， ， ， 在中，． 解得． ∴在中，，； 数材例题变式：∵，若， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 边角规律再探：（1）由题意得，， ∵为直角三角形， ∴， ∵，且， ∴， ， ， 以此类推得：， ， ∴， 解得：； （2）∵此规律恰好最多可以进行到字母I， ∴是存在的，不存在， 根据（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据内角和为进行列式， 即， 解得：， ∵是不存在的， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，等边对等角等内容，解题的关键是灵活运用三角形外角性质是解题的关键，三角形外角性质包括：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形中，，点是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，求的长． 【答案】初步应用：；； 探究迁移：是等边三角形，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， 是等边三角形； 扩展应用：的长为． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 初步应用：根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； 如图2，证明，得，，进而可得结论； 探究迁移：根据已知条件得到根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 扩展应用：如图4，过作于，的延长线于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； 如图所示，过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ∴，， 故答案为：； 探究迁移：略 扩展应用： 解：如图4，过作于，的延长线于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 同理，，， ， ， ， ， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $