圆：正多边形与圆、扇形的弧长与面积、圆锥的相关计算、阴影面积问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

圆：正多边形与圆、扇形的弧长与面积、圆锥的相关计算、阴影面积问题专项训练 圆：正多边形与圆、扇形的弧长与面积、圆锥的相关计算、阴影面积问题专项训练 考点目录 正多边形与圆 扇形的弧长与面积 圆锥的相关计算 阴影面积问题 考点一 正多边形与圆 例1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形的性质进行研究．如图所示，测得，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 同理可得，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的面积为， 故选：． 例2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴， 点为正六边形对角线的中点，即正六边形的中心， ，且平分， ∴， 是等边三角形， ． 故选：B． 例3．（25-26九年级上·福建福州·期中）刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图1，将半径为4的圆进行12等分分割，拼接成如图2所示图形．连接，交于点E，则的面积为（   ） A． B． C．9 D．12 【答案】D 【详解】解：如图，设其中一个12等分分割的三角形为，过点作于点， 由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 故选：D． 例4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，正六边形可以分成六个边长相等的正三角形， 则正多边形的半径为正三角形的边长， 即正三角形的边长为6，高为， 因此，正六边形的面积为， 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）已知圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，六边形是的内接正六边形，连接，， 则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，即圆的半径为4． 如图，四边形是的内接正方形，连接，， 则， 又， ∴， 即该圆的内接正方形的面积为， 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为 ． 【答案】8 【详解】解：如图， 由题意：，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是． 故答案为：8． 变式1．（25-26九年级上·山西朔州·月考）正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正六边形的中心角度数． 故选：B． 变式2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为2，运用“割圆术”在圆的内部画正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若在圆的内部画正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A．3 B．3.14 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，正八边形内接于，连接，，过点A作于点M， ∵八边形是正八边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴正八边形的面积为． 圆的面积为， 即可估计的近似值为． 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心， 所以， 故选：B． 变式4．（25-26九年级上·新疆·期中）北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 正六边形是的内接正六边形， ． ，， ． 在中，，， ． ， 即正六边形的边心距是． 故答案为：． 变式6．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，与正六边形的边分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，过D作于G，过E作于H， ∴，     ∵是的切线，         ∴， ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 过O作于M， ∴， ∴， ∴的半径长为； 故答案为：． 考点二 扇形的弧长与面积 例1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由弧长公式，其中，， 则的长为（）． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·山东聊城·期中）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：扇形弧长为， 故选B． 例3．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：． 故选：C． 例4．（2025·安徽淮南·一模）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：， ， ． 为的弦，， ， ∵， ∴的半径是2， 劣弧的长为． 故答案为：． 例5．（2025·甘肃武威·一模）随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为 米． 【答案】 【详解】根据扇形的弧长公式，该可视区域形成的扇形弧长（米）， 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm． 【答案】 【详解】解：设扇形纸板的半径为， 扇形的圆心角为，圆锥的底面半径是， 根据圆锥底面周长等于扇形弧长可得，， 解得，． 答：这个扇形纸板的半径是． 故答案为：． 变式1．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 变式2．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长2π，且，则的长为（   ）    A． B． 6 C． D． 12 【答案】C 【详解】解：如图，连接交于点E， 设，则， 解得：， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 变式3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 变式4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中，量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应划过的的长度是 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：连接、，如图， 为量角器的直径， 为直角三角形斜边上的中线， ，即点在以为直径的圆上， ， ， ， ， 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：依题意，， 的长是， 故答案为：． 变式6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：设扇形的半径为，由弧长公式，代入，，得：，解得 ． ∴扇形面积； 故答案为： 考点三 圆锥的相关计算 例1．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 例2．（25-26九年级上·浙江台州·月考）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：这个圆锥的侧面积． 故选：A． 例3．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 例4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 则有 解得， 那么这个圆锥的底面圆半径为； 故答案为：． 例5．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】圆锥的侧面积公式为（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）． 由底面直径为，得底面半径； 圆锥的高，母线长l、底面半径r与高h构成直角三角形（母线为斜边），由勾股定理：； 因此，侧面积为． 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·江苏南京·月考）用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为，则扇形的半径为 ． 【答案】6 【详解】解：设扇形的半径为， ∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，解得：． 答：扇形的半径为． 故答案为：6． 变式1．（25-26九年级上·云南·月考）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵半径为，圆心角为的扇形纸板的弧长是：， ∴用这个扇形纸板做成的圆锥形生日帽的底面圆的周长是． 故选：A． 变式2．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，母线为5，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 根据题意，得， ， 圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 故选：C． 变式3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为6cm的等边三角形，点D是母线的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A．3cm B． C． D．6cm 【答案】C 【详解】解：∵圆锥的底面周长是，则， ∴即圆锥侧面展开图的圆心角是， ∴在圆锥侧面展开图中，，， ∴在圆锥侧面展开图中， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是 故选：C． 变式4．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）将半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， 则， 解得：， 故圆锥的底面半径为． 故答案为：． 变式5．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）母线长为，底面圆的半径为的圆锥侧面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵圆锥的侧面积公式 ，圆锥母线长为，底面圆的半径为 ∴， 故答案为：； 变式6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查计算圆锥侧面积，因圆锥侧面展开图是扇形，掌握扇形面积计算方法是关键．根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥侧面积为：， 故答案为：． 考点四 阴影面积问题 例1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A、B、C都是格点，连接，小明在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点O，点C在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 例2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，，，如图所示： ∵A、P、B三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴阴影部分的周长为， 故选：B． 例3．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点， ∴ ， ∴， 如图；作 ， 则：， ∴ ， ∴阴影部分的面积为； 故选：D． 例4．（2024·广东清远·一模）如图，矩形中，，以为直径的半圆与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】π 【详解】解：连接交于点，如图， 以为直径的半圆与相切于点， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形和四边形为矩形， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为π． 例5．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，在四边形中,，以D为圆心,为半径的弧恰好与相切，切点为 E，若，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：连接、． ∵是的切线， ∴，． ∵， ∴，梯形的面积． 又梯形面积， ∴，解得． 在中，，， ∴，解得． 扇形的面积， 梯形面积， 阴影面积． 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为．设，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，是的直径，连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 图中阴影部分的面积， 故答案为： 例7．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，以等腰的一腰为直径作，交底边于点，交腰于点，过点作腰的垂线，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接． 是直径， ，即， 又， ， 又， ， 又， ， 是圆的半径， 是的切线． （2）解：，， 是等边三角形，，， 又， ， 又， 在中，， 由勾股定理得， 中，，； 如图，连接，，． 直径， ，， 又， ，， ，， ，， ． 例8．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）连接、，如图， 是的切线， ， ， 点是的中点，点为的中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ． ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：由（1）可知与是直角三角形 若， ，，， 四边形为正方形， ， 图中阴影部分的周长． 变式1．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，作于，如图： ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 变式3．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，是的直径，点D、E是半圆的三等分点，的延长线交于点C．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 点D、E是半圆的三等分点， ， ， 都是等边三角形， ， ，则， ，， 是等边三角形， ， 的高为， 图中阴影部分的面积 ， 故选：A． 变式4．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，为的直径，交于点，点是弧的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，，，交于， ∵点是弧的中点， ． ． ． ， ∴和均为等边三角形． ． ． ． ． 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在扇形中， ，以为直径在扇形内部作半圆，圆心为点，为弧的中点，连接C交半圆于点，若，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵，为弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 变式6．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在矩形中，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交的延长线于点，连接，再以为直径画半圆．若，则阴影部分的面积为 （结果保留根号和）． 【答案】 【详解】解：取的中点，连接，作于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 变式7．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①4；② 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， 平分， ， ， ． ， ． 是半径， 是的切线； （2）解：①在中，， ∴，， 是的直径， ， 在中，，， ，即直径为4； ②， ， ， 是等边三角形， 的高为：， ． 变式8．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵为直径作， ∴， ∴，即， 又是的直径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：正多边形与圆、扇形的弧长与面积、圆锥的相关计算、阴影面积问题专项训练 圆：正多边形与圆、扇形的弧长与面积、圆锥的相关计算、阴影面积问题专项训练 考点目录 正多边形与圆 扇形的弧长与面积 圆锥的相关计算 阴影面积问题 考点一 正多边形与圆 例1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形的性质进行研究．如图所示，测得，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 例3．（25-26九年级上·福建福州·期中）刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图1，将半径为4的圆进行12等分分割，拼接成如图2所示图形．连接，交于点E，则的面积为（   ） A． B． C．9 D．12 例4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为 ． 例5．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）已知圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的面积为 ． 例6．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为 ． 变式1．（25-26九年级上·山西朔州·月考）正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为2，运用“割圆术”在圆的内部画正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若在圆的内部画正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A．3 B．3.14 C． D． 变式3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·新疆·期中）北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为 ． 变式5．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是 ． 变式6．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，与正六边形的边分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ． 考点二 扇形的弧长与面积 例1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·山东聊城·期中）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 例4．（2025·安徽淮南·一模）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ． 例5．（2025·甘肃武威·一模）随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为 米． 例6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是 cm． 变式1．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长2π，且，则的长为（   ）    A． B． 6 C． D． 12 变式3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中，量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应划过的的长度是 ．（结果保留） 变式5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，，则的长是 ． 变式6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是 ．（结果保留） 考点三 圆锥的相关计算 例1．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·浙江台州·月考）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ． 例5．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ．（结果保留） 例6．（25-26九年级上·江苏南京·月考）用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为，则扇形的半径为 ． 变式1．（25-26九年级上·云南·月考）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 变式2．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，母线为5，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为6cm的等边三角形，点D是母线的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A．3cm B． C． D．6cm 变式4．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）将半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 ． 变式5．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）母线长为，底面圆的半径为的圆锥侧面积是 ． 变式6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是 ． 考点四 阴影面积问题 例1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A、B、C都是格点，连接，小明在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点O，点C在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·广东清远·一模）如图，矩形中，，以为直径的半圆与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 例5．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，在四边形中,，以D为圆心,为半径的弧恰好与相切，切点为 E，若，则阴影部分的面积是 ． 例6．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为．设，，则图中阴影部分的面积为 ． 例7．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，以等腰的一腰为直径作，交底边于点，交腰于点，过点作腰的垂线，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 例8．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求图中阴影部分的周长． 变式1．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，是的直径，点D、E是半圆的三等分点，的延长线交于点C．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，为的直径，交于点，点是弧的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是 ． 变式5．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在扇形中， ，以为直径在扇形内部作半圆，圆心为点，为弧的中点，连接C交半圆于点，若，则阴影部分的面积是 ． 变式6．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在矩形中，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交的延长线于点，连接，再以为直径画半圆．若，则阴影部分的面积为 （结果保留根号和）． 变式7．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 变式8．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $