第4章 幂函数、指数函数和对数函数 章末综合提升-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了幂函数、指数函数、对数函数的概念、性质及函数应用，通过体系构建中的知识框架图将函数零点、方程根的关系、函数模型等内容串联，清晰呈现知识点间的内在逻辑与联系。 其亮点在于围绕数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养分层探究，如设计指数对数运算典例、函数图像识别题等，结合真题溯源与单元检测，实现分层教学和个性化复习，有效提升学生知识应用能力，助力教师精准把握复习方向。

章末综合提升 　 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 单元检测卷 4 内容索引 体 系 构 建 返回 返回 分 层 探 究 返回 素养一　数学运算 　　数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，形成程序化思维.数学运算在本章中主要体现在以下三个方面：(1)指数、对数的运算；(2)函数的零点. 题型一　指数与对数的运算 求下列各式的值： (1)－·＋＋10lg 2； 解：－·＋＋10lg 2 ＝－·＋(e－2)＋2 ＝－e＋e－2＋2＝. 典例 1 (2)lg25＋lg 2×lg 500－lg －log29×log32. 解：lg25＋lg 2×lg 500－lg －log29×log32 ＝lg25＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg －log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0. 题型二　函数的零点 (1)函数f(x)＝的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 典例 2 √ 当x≤0时，令x2＋2x＋1＝0，得x＝－1；当x＞0时，令－4＋ln x＝0，得x＝e4.所以函数有两个零点.故选C. (2)函数f(x)＝3x－－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是 A.(1，26) B.(1，25) C.(0，26) D.(0，25) √ 因为指数函数y＝3x为增函数， y＝－－a在(0，＋∞)上也为增函数，所以f(x)＝3x－－a在(0，＋∞)上为增函数，由题意f(x)的一个零点在区间(1，3)内，所以f(1)＜0且f(3)＞0，即 ，解得0＜a＜26. 素养二　逻辑推理 　　逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.逻辑推理在本章中体现在下列两个方面：(1)基本初等函数的性质及应用；(2)函数零点所在区间的判断. 题型三　比较大小 若a＝log2.10.6，b＝2.10.6，c＝log0.50.6，则a，b，c大小关系是 A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.b＞a＞c 典例 3 √ a＝log2.10.6＜0，b＝2.10.6＞1， 0＜c＝log0.50.6＜log0.50.5＝1， 所以b＞c＞a，故选B. 题型四　指数函数、对数函数的性质 (1)已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是 A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1) D.(－3，－1] 典例 4 √ 由题意得－x2－2x＋3＞0，解得－3＜x＜1，则函数的定义域为(－3，1).由f(0)＝loga3＜0，可得0＜a＜1.所以函数f(x)的单调递增区间是二次函数y＝－x2－2x＋3在定义域(－3，1)上的单调递减区间，结合二次函数的图象可得y＝－x2－2x＋3在区间[－1，1)上单调递减，故函数f(x)的单调递增区间是[－1，1). (2)已知函数f(x)＝2｜x｜，且f(log2m)＞f(2)，则实数m的取值范围为 A.(4，＋) B. C.∪(4，＋) D.∪(4，＋) √ 易知函数f(x)＝2｜x｜为偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增. 因为f(log2m)＞f(2)，所以｜log2m｜＞2，即log2m＞2或log2m＜－2，解得m＞4或0＜m＜，所以实数m的取值范围为∪(4，＋∞).故选D. 题型五　函数零点、方程的根所在区间的判断 若x0是函数f(x)＝－ln x的零点，则 A.－1＜x0＜0 B.0＜x0＜1 C.1＜x0＜2 D.2＜x0＜4 典例 5 √ 函数f(x)＝－ln x的定义域为x＞0，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，结合选项可得f(1)＝1＞0，f(2)＝－ln 2＝ln－ln ＜0，所以f(1)·f(2)＜0，所以函数f(x)的零点在区间(1，2)内. 素养三　直观想象 　　直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.直观想象在本章中体现在基本初等函数图象的识别及应用. 题型六　基本初等函数图象的识别 (1)已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是 典例 6 √ 函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝，此函数在R上为减函数，其图象过点(0，2)，所以选项C中的图 象符合要求. (2)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 √ 由题意y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符.故选B. 题型七　函数图象的应用 已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－m有两个不同的零点，则m的取值范围是 A.(－1，3) B.(－1，3] C.(－1，＋∞) D.[－1，＋∞) 典例 7 √ 由题意可知，函数y＝f(x)－m有两个不同的零点，等价于函数f(x)＝与y＝m有两个不同的交点. 在同一直角坐标系中画出图象，如图所示. 由图象可知，－1＜m＜3. 故选A. 素养四　数学建模 　　数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.根据具体问题，选择合适的数学模型解决实际问题，突出体现了数学建模这一核心素养. 题型八　函数的实际应用 某纪念章从2022年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下： (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝＋b. 典例 8 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90 解：因为随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝＋b显然都是单调函数，不满足题意， 所以选择y＝ax2＋bx＋c. (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90 解：把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入y＝ax2＋bx＋c中， 得 所以y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26， 所以当x＝20时，y有最小值，且ymin＝26. 故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元. 返回 考 教 衔 接 返回 (2024·全国甲卷)已知a＞1且－＝－，则a＝_____. 真题 1 根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a＞1)，则t＞0，故3t－＝－，解得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 64 溯源：(湘教P126习题4.3T15)已知log4(x＋2)＋log2(x＋2)2＝5，求x的值. 点评：高考题与教材习题都是通过解方程来考查对数的运算性质及换底公式等基本知识技能的应用，试题与教材习题题型相同，考查的知识点一致. (一题多解)(2023·新课标Ⅱ卷)若fln为偶函数，则a＝ A.－1 B.0 C. D.1 真题 2 √ 法一：因为f(x) 为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f＝xln ，由＞0，解得x＞或x＜－，则其定义域为，关于原点对称. f()＝ln ln ln ＝xln ＝f，故此时f为偶函数.故选B. 法二：因为y＝ln 是奇函数，又f为偶函数，所以函数y＝x＋a是奇函数，所以a＝0.故选B. 溯源：(湘教P90复习题三T9，10)9.已知函数f(x)＝(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)＝2，f(2)＜3，求a，b，c的值. 10.已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，求a的值. 点评：高考题与教材习题都是根据函数的奇偶性求参数值的问题，它们考查的知识点、方法技能完全一致. (2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为 A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c 真题 3 √ 法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1.因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上b＞a＞c.故选D. 法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5，所以1.010.6＞1.010.5，即b＞a.因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01＞0.6＞0，所以1.010.5＞0.60.5，即a＞c.综上b＞a＞c.故选D. 溯源：(湘教P114习题4.2T9)比较下列各组中两个数的大小： (1)0.6－0.1，0.6－0.5；(2)1.62.5，1.73；(3)1.70.3，0.93.1. 点评：教材习题体现了比较大小的两种常用方法：(1)利用函数的单调性；(2)借助于0或1作为中间数，而该高考试题考查的也正是这两种方法. (2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则 A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 真题 4 √ 因为a＝log323＜log39＝＝c，b＝log533＞log525＝＝c，所以a＜c＜b.故选A. 溯源：(湘教P125习题4.3T11)比较a，b，c的大小： (1)已知1＜x＜2，a＝(log2x)2，b＝log2x2，c＝log2(log2x)； (2)已知a＝log36，b＝log510，c＝log714. 点评：本高考题是教材习题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后比较大小，而变形的过程中应用了函数的单调性. (2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞) 真题 5 √ 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递 减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞).故选D. (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是 A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) 真题 6 √ 因为函数f(x)在R上单调递增，且当x＜0时，f＝－x2－2ax－a，所以f＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B. 溯源：(湘教P92复习题三T16)若函数f(x)＝2x＋在区间(0，2]上是减函数，求实数m的取值范围. 点评：以上两道高考题都是根据已知函数的单调性求参数值的问题，与教材习题考查角度完全相同，不同的是函数的解析式，试题源于教材高于 教材. (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值， p 是实际声压.下表为不同声源的声压级： 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 A.p1≥p2 B.p2＞10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 真题 7 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 √ √ √ 由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，可得Lp1－Lp2＝20×lg－20×lg＝20×lg，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lg≥0，即lg≥0，所以≥1且p1，p2＞0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，可得Lp2－Lp3＝20×lg－20×lg＝20×lg，因为Lp2－Lp3≥10， 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 则20×lg≥10，即lg≥，所以≥ 且p2，p3＞0，可得p2≥ p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lg＝40，即lg＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由A可知：Lp1－Lp2＝20×lg，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg≤40，即lg≤2，可得≤100，且p1，p2＞0，所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD. 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 溯源：(湘教P121练习T4)我们都处于有声世界之中.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，音量的定义是η＝10lg，这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0＝10－12 W/m2. (1)如果I＝1 W/m2，求相应的分贝值； (2)70 dB时的声音强度I是60 dB时声音强度I'的多少倍？ 点评：该高考题及教材习题分别以声压级和声强级为背景考查对数函数模型在实际问题中的应用，是教材习题的拓展，解法相似. (2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3. 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形. 证明：f＝ln ＋ax＋b()的图象是由函数g＝ln ＋ax＋bx3＋a向右平移1个单位得到，而函数g () ＝ln ＋ax＋bx3＋a关于中 心对称，所以y＝f()图象为中心对称图形，且对称中心为. 真题 8 溯源：(人教A必修一P87T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论. 点评：该高考题是教材习题结论的直接应用，推出f()－a＝ln ＋ax ＋bx3为奇函数即可.如果利用结论f(2－x)＋f(x)＝2a解答该题更简单. 返回 单 元 检 测 卷 返回 1.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，9)，则f()的值为 A.4 B.2 C. D. 设f(x)＝xα，由函数过点(3，9)， 所以3α＝9，解得α＝2， 所以f(x)＝x2，所以f，故选C . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 因为2a＞2b等价于a＞b， 当b＜a＜0或a＞0≥b时，log2a＞log2b不成立； 所以充分性不成立； 又因为log2a＞log2b等价于a＞b＞0，有2a＞2b； 所以必要性成立； 所以“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.函数f(x)＝－＋1在区间上的最小值为 A. B. C. D.13 √ 令t＝，t∈，则原函数等价于g＝t2－t＋1，t∈， 又二次函数g的对称轴为t＝∈，故最小值是g， 即f.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.函数y＝＋ln(x－4)的定义域为 A.(4，7) B.(4，7] C.(－∞，7] D.(4，＋∞) 由得4＜x≤7，其定义域为(4，7]. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.设a＝2log72，b＝31.2，c＝()－0.5，则a，b，c的大小关系 A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜b＜a √ 由已知得b＝31.2＞1，c＝()－0.5＝30.5＞1，且c＝30.5＜31.2＝b，a＝2log72＝log74＜1，所以a＜c＜b，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.已知f(x)＝ 是R上的减函数，那么a的取值范围是 A.(0，1) B. C. D. √ 由题意得≤a＜，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.函数y＝xlg x的图象大致是 该函数的定义域为(0，＋∞)，由y＝xlg x＝0，得x＝1，所以可知函数y＝xln x只有一个零点，故排除ABC，选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为3 000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20％，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(参考数据：lg 6≈0.78，lg 5≈0.70，lg 3≈0.48) A.2026年 B.2027年 C.2028年 D.2029年 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设经过n年之后，投入资金为y万元，则y＝3 000(1＋0.2)n， 由题意可得：y＝3 000(1＋0.2)n＞10 000， 即1.2n＞， 所以nlg 1.2＞lg ，即n＞≈＝6.5， 又因为n∈N+，所以n≥7，即从2027年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.若函数f(x)＝ 在R上单调递增，则实数a的取值范围 不能为 A.(5，8) B.(2，8) C.[6，8) D.(3，8) √ √ 因为函数f(x)＝是R上的增函数，所以解得4≤a＜8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.有如下命题，其中是真命题的为 A.若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＞ B.函数f(x)＝ax－1＋1(a＞0且a≠1) 的图象恒过定点(1，2) C.函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上单调递减 D.若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2] √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，令f(x)＝xα，则2α＝， 解得：α＝－1， 所以f(x)＝x－1，所以f(3)＝，A错误； 对于B，令x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝1＋1＝2， 所以f(x) 恒过定点(1，2)，B正确； 对于C，因为f(x)为开口方向向上，对称轴为x＝0的二次函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C错误； 对于D，令f(x)＝4，解得：x＝0或x＝2；又f(x)min＝f(1)＝3，所以实数m的取值范围为[1，2]，D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有 A.函数为增函数 B.函数为偶函数 C.若x＞1，则f(x)＞0 D.若0＜x1＜x2，则 ＜f √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题得2＝loga4，a＝2，故f(x)＝log2x . 对于A，函数为增函数正确； 对于B，f(x)＝log2x 不为偶函数； 对于C，当x＞1时，f(x)＝log2x＞log21＝0成立； 对于D，因为f(x)＝log2x往上凸，故若0＜x1＜x2，则＜f 成立.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.函数f(x)＝x3－ 的零点有_____个. 函数f(x)＝x3－ 的零点个数等价于x3－＝0解 的个数等价于函数m(x)＝x3与函数n(x)＝的交点 个数，画出函数m(x)＝x3与函数n(x)＝的图象如图： 由图知函数m(x)＝x3与函数n(x)＝有1个交点.故函数f(x)＝x3－ 有1个零点. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.已知函数f(x)＝为定义在区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＝_____，b＝_____. 因为f(x)是定义在[－2a，3a－1]上的奇函数， 所以定义域关于原点对称，即－2a＋3a－1＝0，所以a＝1， 因为函数f(x)＝为奇函数， 所以f(－x)＝＝－， 即b·2x－1＝－b＋2x，所以b＝1. 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②y＝x0图象是一条直线；③若函数y＝2x的定义域是{x｜x≤0}，则它的值域是{y｜y≤1}；④若函数y＝的定义域是{x｜x＞2}，则它的值域是；⑤若函数y＝x2的值域 是{y｜0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x｜－2≤x≤2}.其中不正确命题的序号是____________. ②③④⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 幂函数图象不过第四象限，①正确；y＝x0图象是直线y＝1上去掉点(0，1)，②错误；函数y＝2x的定义域是{x｜x≤0}，则它的值域是{y｜0＜y≤1}，③错误；函数y＝的定义域是{x｜x＞2}，则它的值域是，④错误；若函数y＝x2的值域是{y｜0≤y≤4}，则它的定 义域也可能是{x｜0≤x≤2}，⑤错误.故答案为：②③④⑤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，9)，对于偶函数y＝g(x)(x∈R)，当x≥0时，g(x)＝f(x)－2x . (1)求函数y＝f(x)的解析式； 解：设y＝f(x)＝xα，代入点(3，9)，得9＝3α， 所以α＝2，所以f(x)＝x2. (2)求当x＜0时，函数y＝g(x)的解析式. 解：因为f(x)＝x2，所以当x≥0时，g(x)＝x2－2x，设x＜0，则－x＞0， 因为y＝g(x)是R上的偶函数， 所以g(x)＝g(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，即当x＜0时，g(x)＝x2＋2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)设函数f(x)＝ax－1－5(a＞0且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(3，20). (1)求a的值及y＝f(x)的零点； 解：根据题意，函数f(x)＝ax－1－5的图象过点(3，20)，则有20＝a2－5， 又由a＞0且a≠1，则a＝5， f(x)＝5x－1－5，若f(x)＝5x－1－5＝0， 则x＝2，即函数f(x)的零点为2. (2)求不等式f(x)≥－2的解集. 解：f(x)≥－2即5x－1－5≥－2，变形可得5x≥15， 解可得x≥log515，即不等式的解集为[log515，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)已知函数f(x)＝loga(3－x)，其中a＞0且a≠1. (1)求函数f(x)的定义域； 解：由3－x＞0，得x＜3， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，3). (2)求函数f(x)的零点； 解：令f(x)＝0，即loga(3－x)＝0， 则3－x＝1，所以x＝2. 所以函数f(x)的零点为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)比较f(－1)与f(1)的大小. 解：f(－1)＝loga(3－(－1))＝loga4， f(1)＝loga(3－1)＝loga2， 当a＞1时，函数y＝logax是增函数， 所以loga4＞loga2，即 f(－1)＞f(1)； 当0＜a＜1时，函数y＝logax是减函数，所以loga4＜loga2，即f(－1)＜f(1) . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区.说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区. (1)试列出分贝y与声压P的函数关系式； 解：由已知得y＝20lg (其中P0＝2×10－5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ 解：当P＝0.002时， y＝20lg＝20lg 102＝40(分贝). 由已知条件知40分贝小于60分贝， 所以此地为噪音无害区，环境优良. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)已知定义在(－1，1)上的奇函数f(x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝. (1)求函数f(x)在(－1，1)上的解析式； 解：由题定义在(－1，1)上的奇函数f(x)，必有f(0)＝0， 当x∈(0，1)时，f(x)＝， 所以当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)，f(x)＝－f(－x)＝－＝－， 所以f(x)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)判断并证明f(x)在(－1，1)上的单调性； 解：任取x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，， f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝＜0， 则f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在x∈(0，1)单调递增，当x无限接近0时，函数值接近＞0， 根据奇偶性可得f(x)在x∈(－1，0)单调递增，当x无限接近0时，函数值接近－ ＜0， 所以f(x)知在(－1，1)上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)求不等式f(x－1)＋f(x)＜0的解集. 解：由(2)知f(x)在(－1，1)上单调递增， f(x－1)＋f(x)＜0， 则f(x－1)＜－f(x)＝f(－x)， 所以－1＜x－1＜－x＜1， 解得0＜x＜， 即不等式的解集为. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 章末综合提升 返回 $