5.1.2 弧度制课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

引例 为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？ 举例说明. 高中数学·必修第一册·湘教版 学习目标 问题1.在平面几何中研究角的度量，当时是用“度”做单位来度量角的，1°的角是怎样定义的？最早的人们是怎样定义1°的角？ 复习回顾 与所取的圆的半径大小有关吗？ 1° 周角的 叫做1度的角。 问题2.在平面几何中，扇形的面积和弧长公式是什么？ n° R l R l nπR 180 l= ——— nπR2 360 S= ——— 复习回顾 问题探究一 弧度制的定义 新知探究 如图，半径为r的圆的圆心与原点重合， 角α的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于 点A，终边与圆交于点B.圆心角α所对的弧 AB长为l. 分别在下列条件下计算 的值： （1） （2） （3） （4） 更一般的 呢？ 问题探究一 弧度制的定义 新知探究 【结论】可以发现，圆心角α所对的 弧长与半径的比值，只与α的大小有关．也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角． 当 时计算 这个比值只刻画大小不考虑旋转方向，根据前面所学知识，逆时针旋转形成正角、顺时针方向是负角，因此公式应改变一下。 这样我们就有 ，依次类推 ， ，这样我们在度数和实数间建立了一一对应的关系，发现了衡量角度大小的另一种方式。那么这种度量角的方式是怎么样的？ 思考：这样定义合理吗，这个角会不会随着圆的半径变化而变化呢？ 新知探究 问题探究一 弧度制的定义 新知 弧度制的定义 1. 1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.记作1弧度 ，或1 rad ，或1. 若l=r， 则∠AOB= l r = 1 弧度 r l =r A r O 1弧度 B 2. 弧度制：这种用“弧度” 做单位来度量角的制度叫做弧度制.. 问题探究二 弧度数的计算 新知探究 试结合右图填写表格，并思考已知 弧长l与半径r，如何求出α的弧度数？ 弧AB的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 顺时针方向 逆时针方向 逆时针方向 顺时针方向 不旋转 顺时针方向 归纳 角的弧度数的绝对值由 计算 得到，正负由角的终边的旋转方向决定。 正角 零角 负角 正实数 0 负实数 角的集合 实数集 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集 之间就建立起一一对应关系：每个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角. 问题探究三 弧度与角度的换算 思考：既然弧度与度都是角的度量单位，那么它们之间如何换算？ 新知探究 例1.（教材例3）利用单位圆，写出360o，180o，90o，1o的圆心角所对应的弧度数。 一般地，只需根据 两边同除以180 两边同除以π 就可以进行角度和弧度的换算了． 提醒：1.用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。不能“混和”使用。 2.用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。 精讲点拨 例2.（教材例4）把下列各角从度转化为弧度： （1）120o；（2）25o30 . 例3.（教材例5）把下列各角从弧度转化为度： （1） rad；（2）5 rad. 精讲点拨 例4.（教材例6）如图，设扇形的圆心角 ，半径为 ,弧长为 ，扇形面积为 . （1）用 与 表示扇形的面积 ； （2）用 与 表示扇形的面积 . 精讲点拨 角度制 弧度制 扇形 面积 弧长 弧度制建立之后 简化了有关公式及运算. 1.将下表中的角度和弧度互化： 角度 弧度 角度 弧度 达标检测 　2.求出下列条件中扇形的弧长与面积. 　　(1) 扇形的圆心角是 ，半径是8； 　　(2) 扇形的圆心角是75°，半径是6. 课堂小结 弧度制 角度制 度量单位 弧度(10进制) 度(60制,1=60＇,1′=60) 单位规定 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 周角的1/360叫做1度的角。 弧长公式 换算关系 基本关系 导出关系 课后作业 必做题： 《课本》习题5.1 5,6,9 选做题： 《课本》习题5.1 13 预习、探究： 学完任意角、弧度制，怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？ $$