6.4.1-6.4.2 用样本估计总体的集中趋势 用样本估计总体的离散程度-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体”，系统讲解集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（方差、标准差、极差）参数的计算与应用，通过学生成绩、运动员测试等实例导入，衔接抽样方法，以“概念辨析-公式推导-实例应用”构建学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于紧扣数学抽象、数学运算、数据分析核心素养，新知部分结合分层抽样实例抽象参数与统计量概念，合作探究通过招聘权重计算、运动员成绩比较等典例强化运算与分析，规律方法总结步骤（如标准差五步法）。随堂与分层评价题量丰富，涵盖选择、解答等题型，注重实际应用。学生能提升数据分析能力，教师可借助分层评价精准教学，提高效率。

6.4.1　用样本估计总体的集中趋势 6.4.2　用样本估计总体的离散程度 　 第6章　6.4　用样本估计总体 学习目标 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义，培养数学抽象、数 学运算、数据分析的核心素养. 2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、 极差)，理解离散程度参数的统计含义，提升数学运算、数据分 析的核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 随堂评价 3 课时分层评价 4 新知形成 返回 知识点　有关概念 1.参数是用来描述__________的指标. 统计量是用来描述__________的指标. 2.平均数 (1)平均数＝ _____________. (2)在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值会向总体均值μ接近.于是，称为μ的估计. (3)一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为___________________. 知识梳理 总体特征 样本特征 x1f1＋x2f2＋…＋xnfn (4)在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL. 我们称________(i＝1，2，…，L)为第i层的层权. 对i＝1，2，…，L，用表示从第i层抽出样本的均值，我们称＝W1＋W2＋…＋WL是总体均值μ的简单估计. Wi＝ 3.众数和中位数 众数：观测数据中______________的数，用MO表示. 将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，我们称处于中间位置的数是中位数，用Me表示. 具体而言，当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的平均数即为中位数. 由中位数的定义可知，所研究的数据中至少有一半小于或等于中位数，至少有一半大于或等于中位数. 中位数的作用与算术平均数有些相近，可以用来表示总体的“中等”水平，因此中位数作为一组数据的代表，也能反映一组数据的集中趋势. 出现次数最多 平均数、中位数和众数的比较 微提醒 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受数据组中极端值的影响具有较好的稳定性 对极端值不敏感 众数 反映一组数据的集中趋势 众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响 4.极差 在统计学中，我们将一组数据中的最大值与最小值统称为______，将最大值与最小值之差称为______，也称全距，用____表示. 5.方差 (1)总体方差 若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差. 极值 极差 R (2)样本方差 若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝(xi－)2为这n个数据的样本方差，也简称方差. (3)分层抽样的方差：如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2，样本均值分别为，，样本方差分别为，，则全部样本的 样本容量、样本均值和样本方差分别为n＝n1＋n2，＝______________， s2＝_____________________________________. (n1＋n2) {n1[＋(－)2]＋n2[＋(－)2]} 6.标准差 标准差是方差的算术平方根. 如果σ2是总体方差，则称_________是总体标准差； 如果s2是样本方差，则称________是样本标准差. 即s＝ _____________________________________. σ＝ s＝ 点拨　(1)平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值.很多情况下，为了避免过于极端的值影响结果太大，会去掉最低分与最高分后再计算平均数.但是，计算总分与计算平均分不会有本质区别. (2)如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数. (3)①标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. ②标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性. ③标准差的大小不会超过极差. 1.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”) (1)中位数是一组数据中间的数. (　　) (2)众数是一组数据中出现次数最多的数. (　　) (3)一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近. (　　) × √ √ 自主检测 2.下面的表格记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为 A.12，15 B.15，15 C.15，18 D.18，18 甲组 9 12 x 24 27 乙组 9 15 y 18 24 √ 乙组数据的平均数：(9＋15＋18＋24＋y)÷5＝16.8，解得y＝18.因为甲组数据共有5个，且中位数为15，所以x＝15，故选C. 3.在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.则这一组数据的众数和中位数分别为 A.84，68 B.84，78 C.84，81 D.78，81 将所给数据按从小到大排列得68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81. √ 4.某校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数分别为8，9，10，13，15，则该运动员在这五场比赛中得分的平均值为____，方差为_____，标准差 为_____. 11 6.8 依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8，9，10，13，15，其平 均数为＝11. 由方差公式得s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－ 11)2]＝(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8. s＝＝. 返回 合作探究 返回 探究点一　平均数、众数、中位数的求法 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表 所示. 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.(结果精确到0.01) 解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.题目中表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据.即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数＝ (1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1) ＝≈1.69.所以这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75， 1.70，1.69. 典例 1 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 中位数、众数、平均数的应用要点 　　中位数、众数反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用. (1)求中位数的关键是将数据排序，一般按照从小到大的顺序排列.中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势. 规律方法 (2)确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数.当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势. (3)平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体.有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体. 规律方法 对点练1．已知一组数据按从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么该组数据的众数是____，平均数是____. 6 5 因为中位数为5，所以＝5，即x＝6.所以该组数据的众数为6，平均 数为＝5. 探究点二　利用平均数、众数、中位数解决问题 某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示： (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由； 典例 2 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力 64 72 84 解：丙.理由如下：甲的平均成绩为(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成绩为(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为(73＋65＋84)÷3＝74， 因为丙的平均成绩最高，所以候选人丙将被录用. 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力 64 72 84 (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由. 解：甲.理由如下：甲的测试成绩为(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的测试成绩为(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8， 因为甲的测试成绩最高，所以候选人甲将被录用. 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力 64 72 84 5，3，2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用. 规律方法 对点练2．小王数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分.如果平时三次测验的平均成绩、期中成绩、期末成绩的权重分别为10％，30％，60％，那么小王该学期的总评成绩应该为多少？ 解：平时的平均成绩为＝84(分)， 则总评成绩为： 84×10％＋90×30％＋87×60％＝87.6(分). 探究点三　极差、方差、标准差的计算及应用 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)： 甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80. 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差； 解：甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)， 平均分为＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 典例 3 方差为＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119， 标准差为s甲＝＝≈10.91(分). 乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)， 平均分为＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)， 方差为＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25， 标准差为s乙＝＝≈8.67(分). (2)哪一组的成绩较稳定？ 解：由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定. 由(1)中得到的极差也可得出乙组的成绩比较稳定. 计算标准差的步骤 1.求出样本数据的平均数. 2.求出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1，2，…，n). 3.求出xi－(i＝1，2，…，n)的平方值. 4.求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差. 5.求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差. 规律方法 对点练3．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示. (1)请填写下表：   平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲         乙         解：由图可知，甲打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1； 乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及以上次数为3. 如下表：   平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)； 解：甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成 绩更稳定； ②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)； 解：甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些； ③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些). 解：甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好. 返回 随堂评价 返回 1.(多选)下列说法中，正确的是 A.数据2，4，6，8的中位数是4，6 B.数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4 C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据 D.8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数为 √ √ √ 数据2，4，6，8的中位数为＝5，显然A是错误的，B、C、D都是正 确的，故选BCD. 2.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，那么其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是 A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 √ 判断是不是能进入决赛，只要判断成绩是不是排在前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数. 3.已知一组数据的平均数是x，众数是m，中位数是n，将每个数据加上3后得到一组新数据，则这组新数据的平均数、众数、中位数分别为________ _____________. m＋3，n＋3 x＋3， 根据平均数的计算公式可得平均数变为x＋3. 因为原众数为m，原中位数为n，每个数据加上3后，这组新数据的众数为m＋3，中位数为n＋3. 4.某单位需要选派一名职工去参加市工会组织的自行车争先赛，该单位对甲、乙两名骑行爱好者进行了选拔测试，在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)，其数据如下表所示： 分别求出甲、乙两名骑行爱好者最大速度的数据平均数、方差，并以此为依据判断选谁参加比赛比较合适. 甲 26 37 29 36 34 30 乙 32 28 37 33 27 35 解：甲的最大速度的平均数甲＝(26＋37＋29＋36＋34＋30)＝32， 乙的最大速度的平均数＝(32＋28＋37＋33＋27＋35)＝32， 甲的最大速度的方差 ＝[(26－32)2＋(37－32)2＋(29－32)2＋(36－32)2＋(34－32)2＋(30－32)2]＝＝. 乙的最大速度的方差 ＝[(32－32)2＋(28－32)2＋(37－32)2＋(33－32)2＋(27－32)2＋(35－32)2]＝＝. ＝，＞，故选乙去参加比赛比较合适. 返回 甲 26 37 29 36 34 30 乙 32 28 37 33 27 35 课时分层评价 返回 1.高一(1)班十位学生的数学测试成绩：121，106，127，134，113，119，108，123，98，83，则该组数据的中位数是 A.119 B.116 C.113 D.113.2 √ 将这组数据从小到大排列为83，98，106，108，113，119，121，123，127，134，则最中间的两个数据为113，119，故中位数是(113＋119)＝116. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是 A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 √ 由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，有以下结论： ①这组数据的众数是3. ②这组数据的众数与中位数的数值不等. ③这组数据的中位数与平均数的数值相等. ④这组数据的平均数与众数的数值相等. 其中正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为 A. B. C.2 D. √ 因为样本a，0，1，2，3的平均数为1，所以＝1，解得a＝－1.则样本的方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.期中考试之后，班长算出了全班40位同学数学成绩的平均分为M，如果把M当成一位同学的分数，与原来的40个分数放在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么为 A. B.1 C. D. √ 第一次算出总分为40M，第二次算出总分为41N，由题意得40M＝41N－ M，所以＝1. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为，，则它们的大小关系是__________. 由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知＞. ＞ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为___. 由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，｜t｜＝2，故｜x－y｜＝2｜t｜＝4. 4 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.为了调查公司员工的健康状况，用分层抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为_____. 设男，女员工的权重分别为ω男，ω女 由题意可知s2＝ω男[＋(－)2]＋ω女[＋(－)2]，即 ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝， ω女＝， 因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200. 200 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)一箱方便面共有50袋，用随机抽样方法从中抽取了10袋，并称其质量(单位：g)结果为： 60.5　61　60　60　61.5　59.5　59.5　58　60　60 (1)指出总体、个体、样本、样本容量； 解：总体：50袋方便面的质量，个体：每袋方便面的质量，样本：10袋方便面的质量，样本容量10. (2)指出样本数据的众数、中位数、平均数. 解：众数，中位数，平均数均为60. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差. 解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为＝＝45， 年龄的方差为＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为 ＝×38＋×45≈39.2(岁)， 该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是 s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，… ，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1，2＋x2，… ，2＋xn，下列结论正确的是 A.平均数是10，方差为2 B.平均数是11，方差为3 C.平均数是11，方差为2 D.平均数是10，方差为3 √ 若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为＋a，方差为s，故选C. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的方差为s2＝1.966，其中高一学生、高二学生、高三学生每天读书时间的平均数分别为＝2.7，＝3.1，＝3.3，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为＝1，＝2，，则高三学生每天读书时间的方差＝___. 3 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由平均数公式可得，全体学生每天的读书时间的平均数 ＝＝3. 由方差公式得，1.966＝×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[＋(3.3－3)2]，解得＝3. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 6.4　用样本估计总体 返回 $