6.4.2 用样本估计总体的离散程度 课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体的离散程度”，核心知识点包括极差、方差、标准差的概念、计算及应用。以抗战阅兵部队身高比较为情景导入，通过鸡腿质量、射击成绩等问题探究，构建从具体实例到抽象概念的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以真实情境和问题驱动，培养学生用数学眼光观察现实世界，如通过阅兵身高数据直观感受离散程度。结合鸡腿质量极差分析、射击成绩方差计算等实例，引导学生用数学思维思考数据规律，用数学语言表达分析结果。采用情境创设与实例探究结合的教学方法，既助学生深化理解，又为教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

第六章 统计学初步 6.4.2 用样本估计总体的离散程度 32999 1.理解极差、方差、标准差的概念并掌握其计算方法； 2.能利用极差、方差、标准差分析数据，做出决策. 学习目标 32999 情境：纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80 周年阅兵式，已于2025年9月3日在天安门广场顺利举行. 我们知道，接受检阅的部队必须精挑细选，整齐划一，所以需要特别注重队员的身高. 已知两组部队队员的身高情况（单位：cm）如下表，现准备抽取其中一组参与检阅. 甲队 178 177 179 179 178 178 177 178 177 179 乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178 乙队 甲队 思考：请问你认为哪支部队身高更为整齐，你是怎么判断的？ 情景导入 32999 样本统计量 总体参数 估计总体的集中趋势 估计总体的离散程度 1. 用样本估计总体的实质 （极差、方差、标准差） 思考：估计总体的离散程度可以用哪些数据？ 知识梳理 32999 探究一：极差 为提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分. 某外贸公司要出口一批规格为 75 g 的鸡腿，现有 2 个厂家提供货源，它们的价格相同鸡腿的品质也相近. 质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了 20 只鸡腿，它们的质量 (单位：g) 如下： 把这些数据表示成如上图所示，图中直线表示鸡腿的平均质量为75 g. 问题探究 32999 问题1：试求从甲、乙两厂抽取的这 20 只鸡腿质量的最大、最小值是多少？它们相差几克？如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？ 甲厂：最大值 78 g，最小值 72 g，相差 6 g； 乙厂：最大值 80 g，最小值 71 g，相差 9 g. 从图中看，甲厂产品更符合要求；因为平均质量只能反映总体的集中趋势，并不能反映个体的变化情况. 问题探究 32999 1.极差：我们将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示. 极差反映了一组数据变化的幅度，是描述数据离散程度的最简单的代表值，计算简单又易于理解，但它容易受极端值的影响. 由于极差只利用了一组数据两端的信息，不能反映中间数据的离散状况，因而不能全面地描述数据的离散程度. 甲厂 75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72 知识梳理 32999 探究二：方差 问题2：学校打算从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9 . 已知两人的平均水平均为 8.0 环，则教练员该如何选出合适选手？ 分析：可以将甲、乙的射击成绩表示在图中，通过分析图像得出结论. 问题探究 32999 解：将甲、乙的射击成绩表示在图中. 比较上面两幅图可以发现，甲的射击成绩大多集中在平均成绩 8 环的附近，而乙的射击成绩与平均成绩比较，波动较大. 可借助方差来比较 ， . 由于，故甲的射击成绩比乙更稳定，可推荐甲参加运动会. 问题探究 32999 2.总体方差：方差可用来刻画一组数据波动的大小：若设 ，，…， 是总体的全部个体， 是总体均值，则称 为总体方差或方差； 总体方差刻画了总体中的个体向总体均值 的集中或离散的程度； 方差越小，表明个体与均值 的距离越近，个体向 集中得越好. 总体方差刻画了总体中个体的稳定或波动的程度；方差越小，表明个体越整齐，波动越小. 知识梳理 32999 3. 样本方差：类似地，若从总体中随机抽样，获得 个观测数据 ， …，，用 表示这 个数据的均值，则称 为这 个数据的样本方差，也简称为方差. 样本方差刻画了样本数据相对于样本均值 集中或离散的程度； 样本方差依赖于样本的选取，带有随机性. 如果样本是随机抽取的，当样本容量较大时，样本方差是总体方差的估计. 知识梳理 32999 探究三：标准差 问题3：方差充分利用所有数据，并且仅用一个数值来刻画一组数据的离散程度，那所有数据都可以用方差来分析吗？方差分析数据有什么局限性吗？ 4.标准差：标准差是方差的算术平方根. 如果 是总体方差，则称 是总体标准差； 如果 是样本方差，则称 是样本标准差. 给定数据，，和均值 ，由方差计算公式知道，样本标准差 可以用下面的公式计算：. 标准差使得度量具有了与观测数据相同的单位，解决了方差的单位是观测数据的单位的平方这一局限性. 问题探究 32999 情境问题：已知两组部队队员的身高情况（单位：cm）如下表，现准备抽取其中一组参与检阅. 请问你认为哪支部队身高更为整齐，你是怎么判断的？ 甲队 178 177 179 179 178 178 177 178 177 179 乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178 甲队身高更为整齐；理由如下：通过综合计算各项数据如下表， 极差 方差 标准差 甲队 2 0.6 0.775 乙队 4 1.8 1.342 因为甲队各项指数更小，数据的波动更小，所以甲队身高更为整齐. 问题探究 32999 回顾：本节课你学到了哪些知识？ 用样本估计总体的离散程度 反映一组数据变化的幅度，但易受极端数据值影响 极差 刻画了数据的稳定或波动程度： 方差越小，数据越整齐，波动越小 总体方差σ² 方差 样本方差s² 方差的算术平方根； 使得度量具有了与观测数据相同的单位 标准差 总体标准差σ 样本标准差s 课堂总结 32999 $