5.3.1 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦正弦、余弦函数的图象与性质，通过知识梳理衔接单位圆与三角函数定义，借助自主检测巩固基础，以五点法为核心构建从直观作图到抽象应用的学习支架。 其亮点是结合直观想象与数学思维，通过“五点法”作图典例、图象解不等式等探究活动，培养学生数形结合能力，规范的列表解析和分层评价设计，助力学生提升解题技能，也为教师提供系统教学资源。

5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的图象 　 第5章　5.3　三角函数的图象与性质 学习目标 1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法. 2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象. 3.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题，培养直观想象核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　正弦函数、余弦函数的图象 知识梳理 函数 y＝sin x y＝cos x 图象     定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 图象画法 五点法 五点法 关键 五点 (0，0)，，________，，__________ (0，1)，，__________，，__________ (π，0) (2π，0) (π，－1) (2π，1) 点拨　(1)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的大致图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象. (2)将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称. ( ) (2)函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同. ( ) (3)余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点. ( ) (4)函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状和位置都不一样. ( ) × × √ × 自主检测 2.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 A.0，，π，，2π B.0，，，，π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， √ 由五点作图法，令2x＝0，，π，，2π，解得x＝0，，，，π. 3.在[0，2π]上，函数y＝的定义域是 A. B. C. D. √ 依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作 出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝ ，如图所示.由图象可知，满足sin x≥ 的x的取值范围是，故选B. 4.函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有___个. 2 在同一平面直角坐标系中作函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝－如图所示，由图知两函数图象有2个交点. 返回 合作探究 返回 探究点一　用“五点法”作函数简图 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]； 解：按五个关键点列表： 典例 1 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. (2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]. 解：按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 “五点法”作函数简图的一般步骤 规律方法 对点练1．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝2－sin x，x∈[0，2π]； 解：按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2－sin x 2 1 2 3 2 在直角坐标系中描出五个点(0，2)，，(π，2)，，(2π，2)，然后用光滑曲线将这些点顺次连接起来，就得到y＝2－sin x，x∈[0，2π]的图象，如图所示. (2)y＝－1－cos x(0≤x≤2π). 解：按五个关键点列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图所示. 探究点二　正、余弦函数图象的应用 (1)画出正弦函数y＝sin x(x∈R)的简图，并根据图象写出y≥时x的集合； 解：(1)在[0，2π]内由五点法作出y＝sin x的图象并延长，如图所示. 过点作x轴的平行线，当sin x＝时，x＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)， 从图象可看出，y＝在区间[0，2π]上与正弦曲线交于点，， 典例 2 所以在区间[0，2π]内，y≥时x的集合为， 所以当x∈R，y≥时， x的集合为. (2)求方程sin x＋2｜sin x｜－｜log2x｜＝0的解的个数. 解：由方程sin x＋2｜sin x｜－｜log2x｜＝0，得sin x＋2｜sin x｜＝｜log2x｜.令f(x)＝sin x＋2｜sin x｜， g(x)＝｜log2x｜，在同一坐标系内作出f(x)＝sin x＋2｜sin x｜＝ 和g(x)＝｜log2x｜的图象，如图 所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解. 利用三角函数图象解sin x＞a (或cos x＞a)的三个步骤 1.作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象. 2.确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值. 3.确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集. 提醒　解三角不等式sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集. 规律方法 对点练2．根据y＝sin x(x∈R)的简图写出＜y≤时x的集合. 解：首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象，如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]图象的交点的横坐标为. 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]图象的交点的横坐标为. 观察图象可知，在[0，2π]上，当＜x≤≤x＜时，不等式＜y≤成立. 所以＜y≤的解集为{x＋2kπ＜x≤＋2kπ或＋2kπ≤x＜＋2kπ，k∈Z}. 返回 随堂评价 返回 1.函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是 √ y＝sin(－x)＝－sin x与y＝sin x关于x轴对称. 2.不等式sin x＞0，x∈[0，2π]的解集为 A.[0，π] B.(0，π) C. D. √ 由y＝sin x在[0，2π]的图象可得. 3.方程x2＝cos x的实数解的个数为___. 2 作函数y＝cos x与y＝x2的图象如图所示，由图象可知原方程有2个实 数解. 4.求函数y＝的定义域. 解：由2sin x－1≥0得sin x≥， 画出y＝sin x的图象和直线y＝. 可知sin x≥的解集为y＝sin x图象与直线y＝的交点及上方部分的集合，即函数定义域为. 返回 课时分层评价 返回 1.用“五点法”作函数y＝2cos x－1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为 A.(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1) B.(0，1)，，(π，－3)，，(2π，1) C.(0，1)，(π，－3)，(2π，1)，(3π，－3)，(4π，1) D.(0，1)，，，， √ 由“五点法”作图可知B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(多选)下列x的取值范围能使cos x＞sin x成立的是 A. B. C. D.∪ √ √ 在同一平面直角坐标系中画出y＝sin x，y＝cos x在 [0，2π]内的图象，在[0，2π]内，当cos x＝sin x时， x＝，结合图象可知，满足cos x＞sin x的x的取 值范围是.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.“α＝－＋2kπ(k∈Z)”是“sin α＝－”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由“sin α＝－”，得“α＝－＋2kπ或α＝－＋2kπ(k∈Z)”.故“α＝－＋2kπ(k∈Z)”是“sin α＝－”的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.方程10sin x＝x的根的个数是 A.5 B.6 C.7 D.8 √ 方程10sin x＝x的根的个数，即函数y＝sin x与y＝的图象的交点的个数. 作出函数y＝sin x和y＝在[0，4π]上的图象，如图所示： 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 由图象可知y＝sin x与y＝的图象在[0，＋∞)上有4个交点， 根据函数图象的对称性可知y＝sin x与y＝的图象在(－∞，0)上有3个交点， 所以y＝sin x与y＝的图象共有7个交点，即方程10sin x＝x有7个根.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.下列函数中：①y＝sin x－1；②y＝｜sin x｜；③y＝－cos x；④y＝；⑤y＝.与函数y＝sin x形状完全相同的有 A.②④ B.①③ C.①④ D.②③ √ y＝sin x－1是将y＝sin x向下平移1个单位，没有改变形状；y＝－cos x＝sin，故y＝－cos x是将y＝sin x向右平移个单位，没有改变形状，与y＝sin x形状相同，所以①③完全相同，而②y＝｜sin x｜，④y＝＝｜cos x｜和⑤y＝＝｜sin x｜与y＝sin x的形状不 相同. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.函数y＝的定义域是___________________________. {x｜2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z} 由题意可得， 即所以0＜sin x≤1， 由正弦函数图象可得{x｜2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.在[0，2π]内，使sin x≥－成立的x的取值范围是_________________. ∪ 画出y＝sin x，y＝－在[0，2π]上的图象，如图， 观察图象可得不等式sin x≥－∪. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.函数y＝sin x的图象与函数y＝cos x的图象在[0，2π]内的交点坐标为____________________. 和 在同一坐标系内画出两函数的图象(图略)，易知，交点坐标为. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在[0，2π]内的图象. 解：按五个关键点列表如下： 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，可得y＝3＋2cos x在[0，2π]内的图象，如图所示. x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： ①sin x＞0；②sin x＜0. 解：利用“五点法”作图，如图. 根据图象可知在x轴上方的部分－sin x＞0，在x轴下方的部分－sin x＜0，所以当x∈(－π，0)时，sin x＜0； 当x∈(0，π)时，sin x＞0. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2)直线y＝与y＝－sin x，x∈[－π，π]的图象有几个交点？ 解：利用“五点法”作图，如图. 画出直线y＝，由图象知有两个交点. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.在(0，2π)内使sin x＞｜cos x｜的x的取值范围是 A. B.∪ C. D. √ 因为sin x＞｜cos x｜， 所以sin x＞0， 所以x∈(0，π)， 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝｜cos x｜，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.故选A.] 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是____. 4π 如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 5.3　三角函数的图象与性质 返回 $