2.2 从函数观点看一元二次方程-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件围绕“从函数观点看一元二次方程”展开，核心内容包括一元二次方程与二次函数的关系、二次函数零点的概念。通过复习方程根的判别式导入，借助表格对比判别式、函数图象与方程根的关系，搭建旧知（方程根）与新知（函数零点）的学习支架。 其亮点在于融入数形结合思想（数学眼光），如知识点一表格直观呈现三者联系；注重逻辑推理（数学思维），如探究点二充要条件论证零点存在条件；设置分层评价（数学语言），如随堂与课时分层练习。采用合作探究与自主检测，学生提升运算与推理能力，教师可高效开展教学。

2.2　从函数观点看一元二次方程 　 第2章 一元二次函数、方程和不等式 学习目标 1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系. 2.借助二次函数的图象，了解二次函数与一元二次方程的联系，体会数形结合的思想方法，培养数学运算的核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　一元二次方程与二次函数的关系 当a＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系如下表所示： 知识梳理 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象       一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 知识点二　二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的_______叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 点拨　函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程的实数根. 实数x 1.函数y＝x2＋4x－5的零点为 A.－5和1 B.(－5，0)和(1，0) C.－5 D.1 √ 由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1. 自主检测 2.函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为____. 2 由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4＞0.所以函数零点的个数为2. 3.若函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)上，则n的取值集合为_________. {－3，0} 由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0，1)，所以n的取值集合为{－3，0}. 返回 合作探究 返回 探究点一　求函数的零点 求下列函数的零点. (1)y＝3x2－2x－1； 解：由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－. 典例 1 (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)； 解：当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为 －1. 当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0，得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1. 又－(－1)＝， ①当a＝－时，x1＝x2＝－1， 函数有唯一的零点－1. ②当a≠－且a≠0时，x1≠x2， 函数有两个零点－1和. 综上，当a＝0或a＝－时， 函数有唯一的零点为－1. 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和. (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示. 解：因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3. 求函数零点的一般方法 1.求函数的零点就是解相应的方程，相应方程的实数根就是函数的零点. 2.函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点. 3.求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤： (1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； (2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根.若可以因式分解，则一定存在零点； (3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等. 规律方法 对点练1．求下列函数的零点. (1)y＝2x2－3x－2； 解：由2x2－3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－. (2)y＝ax2－x－1； 解：(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a， 当Δ＜0，即a＜－时，相应方程无实数根，函数无零点； 当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2. 当Δ＞0时，即a＞－且a≠0时，x1＝，x2＝，函数有两个零点， (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示. 解：因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－3，1，所以该函数的零点为－3，1. 探究点二　函数的零点个数的论证与探究 若a＞2，求证：(1)函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点. 解：证明：因为a＞2，所以a－2＞0， 对于一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 即函数有两个零点. 典例 2 (2)求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件. 解：必要性：因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4，当a＝2时，y＝－4，函数无零点. 当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根.所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)·(a＋2)≥0， 即解得a≥2或a≤－2， 又a≠2，所以a＞2或a≤－2， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点， 则a＞2或a≤－2. 充分性：当a＞2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点. 综上，a＞2或a≤－2.故函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a＞2或a≤－2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的论证 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac. 1.Δ＞0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点. 2.Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点 3.Δ＜0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点. 规律方法 对点练2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点. 证明：当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0； 当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2＞0，函数y＝ax2－x－a有两个零点. 综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点. 探究点三　二次函数的零点分布探究 (1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上是否存在零点. 解：由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3＜－1－＜－2， 所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上存在零点. 典例 3 (2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围. 解：因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根，显然a≠2. 由一元二次方程的根与系数的关系得 即 所以a＜－2. 即实数a的取值范围为(－∞，－2). 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究 　　结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理. (1)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点. (2)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点. (3)x1x2＜0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点. 规律方法 对点练3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R). (1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围； 解：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a， 因为该函数有两个正的零点，所以解得0＜a＜＜a＜1. 所以a的取值范围为0＜a＜＜a＜1. (2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围. 解：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a， 因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以解得a＞1或a＜0. 所以a的取值范围是a＞1或a＜0. 返回 随堂评价 返回 1.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的结论是 A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ √ 因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正 确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确，故选B. 2.函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是 A.1 B.2 C.1或2 D.0 √ 由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2. 3.已知p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根，q：ac＜－1，则p是q的____________条件. 必要不充分 因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根⇔x1x2＝＜0⇔ac＜0，所以p是q的必要不充分条件. 4.已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y＜0成立，求实数m的取值范围. 解：作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有y＜0， 则有当x＝m时，y＜0，且当x＝m＋1时，y＜0. 即解得－＜m＜0. 所以实数m的取值范围为. 返回 课时分层评价 返回 1.函数y＝4x2－4x＋1的零点为 A. B. C.－ D. √ 解方程4x2－4x＋1＝0，得x＝，所以是函数y＝4x2－4x＋1的零点.故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，若b2＜4ac，则函数零点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.不能确定 √ 因为b2＜4ac，所以Δ＝b2－4ac＜0，所以函数有0个零点.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.关于x的函数y＝ x2－2ax－8a2 (a＞0)的两个零点为x1，x2，且x2－x1＝15，则a＝ A. B. C. D. √ 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是 A.[－4，－3) B.(－4，－3] C. D.(－∞，－4)∪(－3，＋∞) √ x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象(图略)得：方程的判别式Δ＞0，当x＝2时函数值y＞0，函数对称轴x＝3＞2.即 解得－4＜m＜－3，所以选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.下列二次函数在区间(－1，0)上存在零点的是 A.y＝(x＋1)(x－3) B.y＝x2－2x C.y＝2x2＋2x＋1 D.y＝x2－2x－1 √ 因为方程(x＋1)(x－3)＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，方程x2－2x＝0的两个实数根分别为x1＝0，x2＝2，方程2x2＋2x＋1＝0没有实数根，故A，B，C选项均不正确；方程x2－2x－1＝0的实数根为x1，2＝1±，其中－1＜1－＜0，D选项正确.故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＝___. 1 因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得＝＝1. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为_______. 当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2即a＝，所以实数a的取值集合为. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为_________. 因为函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得0＜m＜. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)求下列函数的零点. (1) y＝x－2－3； 解：由x－2－3＝0得(＋1)(－3)＝0， 又≥0，所以＝3，即x＝9， 所以函数y＝x－2－3的零点为9. (2) y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2). 解：由x2－(3a－1)x＋(2a2－2) ＝0得 [x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0， ①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4； ②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1). 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点. 证明：对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4 ＞0， 所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.(5分)已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是_________. 由题意知(a2－4)x2＋(a＋2)x－1＜0恒成立，即函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x－1的图象恒在x轴的下方，当a＝－2时，函数y＝－1，符合题意；当a＝2时，函数y＝4x－1的图象与图象恒在x轴的下方矛盾，舍去；当a≠±2时，函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x－1的图象是抛物线，开口向下， 且顶点在x轴下方，即解得－2＜a＜，综上， 实数a的取值范围是 . 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(15分)若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m＜－1，n＞，求实数a的取值范围. 解：函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n， 又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1， 所以解得－＜a＜0， 即实数a的取值范围是. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 2.2　从函数观点看一元二次方程 返回 $