2.1.2 基本不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“基本不等式”，通过自主检测对比a²+b²≥2ab与a+b≥2√ab的成立条件，衔接不等关系前知，构建从定理到推论的学习支架，帮助学生理解算术平均数与几何平均数的关系。 其亮点是以“一正二定三相等”为原则，结合典例（如x正负值求最值）和“1的代换”技巧，培养数学运算和逻辑推理素养。分层评价设计助力学生逐步掌握应用，教师可高效教学，提升学生解决实际问题的能力。

2.1.2　基本不等式 　 第2章　2.1　相等关系与不等关系 学习目标 1.掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0). 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，培养数学抽象和数学运算核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　基本不等式 定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥_____，当且仅当a＝b时等号成立. 推论：对任意a，b＞0，必有≥，当且仅当______时等号成立. 一般地，对于正数a，b，我们把_____称为a，b的算术平均数，_____称为a，b的几何平均数. 把不等式≥(a＞0，b＞0)称为基本不等式. 知识梳理 2ab a＝b 点拨　不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的.前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0 即可)； (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab. (　　) (2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2. (　　) (3)当a＞0，b＞0时，ab≤. (　　) (4)当n∈N＋时，n＋＞2. (　　) √ √ √ √ 自主检测 2.(多选)下列说法中正确的是 A.a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B.a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C.a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0 D.a＋b≥2成立的条件是ab＞0 √ √ 根据基本不等式成立的条件可知只有BC正确，故选BC. 3.下列命题中正确的是 A.若a，b∈R，则≥2 ＝2 B.若x＞0，则x＋＞2 C.若x＜0，则x＋≥－2 ＝－4 D.若x∈R，则2x2＋≥2 ＝2 √ A选项必须保证a，b同号，不等式才成立；B选项应含有等号，即若x＞0，则x＋≥2；C选项中，若x＜0，则－x＞0，－＞0，则－x－≥2 ＝4，则x＋≤－4；D选项正确.故选D. 4.设a，b为非零实数，给出不等式： ①≥ab；②≥； ③≥；④≥2. 其中恒成立的不等式是_______.(填序号) ①② 由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；由＝＝≥＝＝，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确. 返回 合作探究 返回 探究点一　对基本不等式的理解 下列命题正确的是 A.若x≠0，则x＋≥4 B.若a，b∈R，且ab＞0，则≥2 C.的最小值为2 D.y＝2－3x－≥2－4(x＞0) √ 典例 1 A选项，只有当x＞0时，不等式才成立，A错误；B选项，因为ab＞0，所以＞0，＞0，由基本不等式知B正确；C选项，若最小值为2，需()2＝1，得x2＝－1，无实数解，C错误；D选项，x＞0时，y＝2－≤2－4，D错误. 　　运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 规律方法 对点练1．在a＞0，b＞0的条件下，给出三个结论：①≤；②≤ ；③≥a＋b.其中结论正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 依题意，因为a＞0，b＞0，所以≥≥≥，所以①②中的结论正确.因为＝＝＝(a＋b)·≥(a＋b)(2－1)＝a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立，所以③中的结论正确.故选D. 探究点二　利用基本不等式直接求最值 (1)当x＞0时，求＋4x的最小值； 解：因为x＞0，所以＞0，4x＞0. 所以＋4x≥2 ＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， 所以当x＞0时，＋4x的最小值为8. 典例 2 (2)当x＜0时，求＋4x的最大值； 解：因为x＜0，所以－x＞0. 则＋(－4x)≥2 ＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号. 所以＋4x≤－8. 所以当x＜0时，＋4x的最大值为－8. (3)已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值. 解：4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， 所以a＝36. 应用基本不等式求最值的原则 　　利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： 1.一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0； 2.二定：化不等式的一边为定值； 3.三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立，以上三点缺一不可. 规律方法 对点练2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82 √ 因为x＞0，y＞0，x＋y＝18， 所以x＋y≥2， 所以xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，所以xy有最大值81. 探究点三　用基本不等式证明不等式 已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：＞8. 证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1， 所以－1＝＝＞， ① －1＝＝＞， ② －1＝＝＞， ③ 又x，y，z为正数，由①×②×③， 得＞8. 典例 3 利用基本不等式证明不等式的注意事项 1.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，从而达到放缩的目的. 2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到. 3.解题时要注意技巧，当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式. 4.在证明不等式的过程中，注意充分利用“1”的代换，即把常数1替换为已知的式子，然后经过整理后再利用基本不等式进行证明. 规律方法 对点练3．设a，b，c都是正数，求证：≥a＋b＋c. 解：因为a，b，c都是正数， 所以，，也都是正数， 所以≥2c，≥2a，≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即≥a＋b＋c， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 返回 随堂评价 返回 1.不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为 A.x≥2y B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y √ 因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B. 2.已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是 A.a2＋b2＞2ab B.a＋b≥2 C.＞ D.≥2 √ 对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，ab＞0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab＞0，所 以＞0，＞0，所以≥2，即≥2恒成立. 3.已知a＋b＝4，则ab的最大值是____. 4 因为a2＋b2≥2ab， 所以(a＋b)2≥4ab，即ab≤2， 又a＋b＝4， 所以ab≤2＝4， 当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 所以ab的最大值是4. 4.已知a＞0，b＞0，求证：a＋b＋1≥ ＋ ＋ . 证明：因为a＞0，b＞0， 所以a＋b≥2 ，a＋1≥2 ，b＋1≥2 ， 上面三式相加， 得2(a＋b＋1)≥2 ＋2 ＋2 ， 所以a＋b＋1≥ ＋ ＋ . 返回 课时分层评价 返回 1.若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大 的是 A.a2＋b2 B.2 C.2ab D.a＋b √ 法一：因为0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，所以a2＋b2＞2ab，a＋b＞2，a＞a2，b＞b2，所以a＋b＞a2＋b2，故选D. 法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.对于s＜0，t＜0，下列不等式中不成立的是 A.≥ B.≥2 C.st≤ D.≤ √ 对于A，令a＝－， b＝－， 则＝－a－b＝－(a＋b)≤－2＝－，当且仅当s＝t时取等号，不成立； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于B， ＞0， ＞0，所以≥2，当且仅当s＝t时取等号，成立； 对于C，st＝(－s)(－t)≤＝，当且仅当s＝t时取等号，成立； 对于D，＝＝st≤，当且仅当s＝t时取等号，成立. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知正实数x，y，满足4x＋3y＝4，则的最小值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由正实数x，y满足4x＋3y＝4，可得2(2x＋1)＋(3y＋2)＝8.令a＝2x＋1，b＝3y＋2，可得2a＋b＝8. 所求＝＝()×()＝×(2＋＋1)≥×(2＋2 ＋1)＝， 当且仅当＝，即a＝8－4，b＝8－8时取等号，所以答案为. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)下列选项中正确的是 A.不等式a＋b≥2恒成立 B.若a，b为正实数，则≥2 C.当a≠0，不等式a＋≥2恒成立 D.若正实数x，y满足x＋2y＝1，则≥8 √ √ 取a＝－2，b＝－1，则a＋b＝－3，2＝2，A错； 因为a，b为正实数， 所以＞0，＞0， 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 所以≥2 ＝2，当且仅当a＝b时等号成立，B对； 取a＝－1，则a＋＝－2，C错； 因为正实数x，y满足x＋2y＝1， 所以＝(x＋2y)＝2＋＋2≥4＋2 ＝8， 当且仅当x＝，y＝时等号成立，D对，故选BD. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.设a＞2，b＞1，若a＋b＝4，则的最小值为 A.5 B.7 C.9 D.11 √ 因为a＞2，b＞1，所以a－2＞0，b－1＞0， 所以(a－2)＋(b－1)＝a＋b－3＝4－3＝1， 所以()[(a－2)＋(b－1)]＝5＋≥5＋2 ＝9， 当且仅当＝，即b－1＝2(a－2)＝时等号成立， 故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.函数y＝9x＋(x＞0)的最小值是____. 3 因为x＞0， 所以y＝9x＋≥2＝3，当且仅当9x＝，即x＝时取等号， 所以函数y＝9x＋(x＞0)的最小值是3. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.若x＞－1，则x＋的最小值是_________. 2－1 因为x＞－1，所以x＋1＞0， 所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1， 当且仅当x＋1＝即x＝－1时，取等号成立. 故x＋的最小值为2－1. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.已知x＞0，y＞0，x＋2y＝6，则的最小值为___. 由x＋2y＝6，得＝1， 所以＝ ＝ ＝≥＋2 ＝， 当且仅当＝，即x＝3，y＝时取等号， 所以. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：a＋b＋c＜. 证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1， 所以≥＝2c，≥＝2a， ≥＝2b， 以上三个不等式相加，得： 2≥2(a＋b＋c)， 即≥a＋b＋c， 因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不能同时成立，所以a＋b＋c＜. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)设a＞0，b＞0，且a＋2b＝3. (1)求ab的最大值； 解：ab＝a×2b≤2＝，当且仅当时等号成立. 所以当时，ab有最大值. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2)求的最小值. 解：＝×3×＝(a＋2b)＝≥(14＋4)，即b＝a时取等号. 所以. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为 A.≤(a＞0，b＞0) B.(a＞0，b＞0，a≠b) C.≤(a＞0，b＞0) D.(a＞0，b＞0，a≠b) √ 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝， 易得DC＝＝，DE＝＝. 因为DE＜DC＜DO， 所以(a＞0，b＞0，a≠b).故选D. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.规定记号“☉”表示一种运算，即a☉b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1☉k＝3，则k的值为____，此时函数y＝的最小值为____. 1 3 由题意得1☉k＝＋1＋k＝3， 即k＋－2＝0，所以＝1或＝－2(舍去)， 所以k＝1，y＝＝＝1＋≥1＋2＝3， 当且仅当＝，即x＝1时，等号成立. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 2.1　相等关系与不等关系 返回 $