课时分层作业12 基本不等式（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

课时分层作业(十二) A组　基础合格练 1．ACD　[当且仅当>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．] 2．C　[∵a>b>0，由基本不等式知一定成立．] 3．A　[由a＋b≥2可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立， ∴c＋d≥ab．故选A．] 4．B　[仅②④正确．] 5．D　[由得a＋b≥2，∴A成立； ∵＝2，∴B成立； ∵，∴C成立； ∵，∴D不一定成立．] 6．　[∵a>b>c， ∴a－b>0，b－c>0， ∴．] 7．x≤　[由题意得第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝， ∴x≤，当且仅当a＝b时等号成立．] 8．36　[y＝4x＋(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时函数取得最小值4．又由已知x＝3时，ymin＝4， ∴＝3，即a＝36．] 9．证明：＝1＋＋1＝2＋＝4． 当且仅当a＝b时“＝”成立． 10．证明：左边＝－3． ∵a，b，c为正数， ∴≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)； ≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)； ≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)． 从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)． ∴ ＋－3≥3， 即≥3． B组　能力过关练 11．ACD　[由0<a<b，a＋b＝1，得0<a<<b<1．对于A，将a＋b＝1两边平方，整理得a2＋b2＝1－2ab＝b＋a－2ab＝b＋a(1－2b)．又<b，所以1－2b<0，所以a2＋b2<b，所以A正确．对于B，<b⇒1<2b⇒a<2ab<a2＋b2，所以B错误．对于C，由B知a<2ab．又2ab<2×，所以C正确．对于D，易知a2＋b2>．又a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b＝1，所以D正确．故选ACD．] 12．C　[当a，b是正数时，，令b＝1，得．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．] 13．①②③　[由于a2＋1－a＝>0，故①恒成立； 由于＝4．当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立； 由于(a＋b)＝4．当且仅当，即a＝b时，“＝”成立，故③恒成立； 当a＝3时，a2＋9＝6a， 故④不恒成立． 综上，恒成立的是①②③．] 14．CD　[在Rt△ADB中，DC为高，由△ACD∽△BCD可知CD2＝AC·CB， ∴CD＝．] C组　拓广探索练 15．证明：(1)∵， ∴(a＋b)(当且仅当a＝b时，等号成立)； 同理，(b＋c)(当且仅当b＝c时，等号成立)； (a＋c)(当且仅当a＝c时，等号成立)． 三式相加得(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)． (2)∵0<x<1， ∴1－x>0， 左边＝(x＋1－x)＝a2＋b2＋a2 ≥a2＋b2＋2 ＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝右边．当且仅当 a2时等号成立． 即≥(a＋b)2． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十二)　基本不等式 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共105分 一、选择题 1．(多选题)下列条件可使≥2成立的是(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－b<0 B．0<<1 C．< D．ab>a＋b 3．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　) A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 4．下列各不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 5．已知a，b是正实数，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 ≥2 C．≥2 二、填空题 6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________． 7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 8．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 三、解答题 9．已知a，b为正实数，且a＋b＝1．求证：≥4． 10．已知a，b，c为正数，求证：≥3． 11．(多选题)设0<a<b，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋b2<b B．a＞a2＋b2 C．a<2ab< <a2＋b2<1 12．已知a>1，则三个数的大小关系是(　　) A．<< << C．<< < 13．设a>0，b>0，给出下列不等式： ①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a． 其中恒成立的是________．(填序号) 14．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段________的长度是a，b的几何平均数． 15．(1)已知a，b，c∈R，求证：(a＋b＋c)； (2)若0<x<1，a>0，b>0，求证：． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $