5.3.1 函数的单调性（六大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1 函数单调性 题型一 用导数判断或证明已知函数的单调性 1．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 2．（多选）是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则有（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是 ． 4．已知． (1)求的解析式，并判断的单调性（无需证明）； (2)若，，求实数的取值范围； (3)若，，有两个实数根，求实数的取值范围． 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参） 5．函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数，则其单调递减区间可以为（   ） A． B． C． D． 7．设，则使得的的取值范围是 . 8．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 题型三 由函数的单调区间求参数 9．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 11．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 12．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)证明函数为中心对称图形； (3)设，当时，，求的最大值. 题型四 由函数在区间上的单调性求参数 13．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 15．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 16．已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 题型五 函数与导函数图像之间的关系 17．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A． B． C． D．   18．（多选）已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．在上单调递增 C．在区间内单调递减 D．在处取得极大值 19．函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 ． 20．已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）令，若，函数有两个零点，求实数的取值范围. 题型六 利用导数求函数（含参）的单调区间 21．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（多选）已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调 B．当时，函数在上不单调 C．当时，函数在上不单调 D．当时，函数在上单调 23．已知函数，若存在实数，使得在区间上有三个零点，则实数的取值范围为 ． 24．已知． (1)讨论的单调性； (2)若任意的，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.1 函数单调性 题型一 用导数判断或证明已知函数的单调性 1．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，结合图象即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 2．（多选）是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由可以判断项，令，通过单调性可以判断C项． 【详解】，且，， ，即在上是减函数， 又，，，B、D正确， 令，则， ，在上是减函数， 由，得，故C正确. 故选：BCD 3．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】设，求导确定单调性，又从而有单调性可得不等式解集. 【详解】设，则， 所以在上单调递减， 又，由， 即，所以，则，不等式的解集为. 故答案为：. 4．已知． (1)求的解析式，并判断的单调性（无需证明）； (2)若，，求实数的取值范围； (3)若，，有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上为增函数，在为减函数，在为增函数 (2) (3) 【分析】（1）利用配凑法求的解析式，再利用单调性的性质以及导数判定函数单调性； （2）分析可知，参变分离结合基本不等式处理恒成立问题； （3）设，结合对数函数可得，，再结合的单调性分析方程根的问题. 【详解】（1）因为， 则，所以， 又因为在定义域内单调递增，可知在上为增函数， 且， 令，解得；令，解得； 所以在内为减函数，在内为增函数． （2）因为在上为增函数， 由，则， 若，则， 又因为，当且仅当，时，等号成立， 即的最小值为2，可得， 所以实数的取值范围为. （3）设，则， 若，则，可得，所以， 因为，则， 由的单调性可知在内为减函数，内为增函数， 且，，， 若有两个实数根， 则或，解得或， 所以的取值范围为. 题型二 利用导数求函数的单调区间（不含参） 5．函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令导数小于零求解． 【详解】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 6．（多选）已知函数，则其单调递减区间可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先求函数定义域，求导，令导数小于，得到函数递减区间，看选项是否符合即可. 【详解】函数的定义域为， 对求导得：，令得且, 即函数在和内单调递减. 对A、B、C、D选项，只有C、D选项符合条件， 故选：CD 7．设，则使得的的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造新函数，判断其奇偶性，然后利用导数判断单调性，结合奇偶性和单调性去掉函数符号即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数即为， 则，易知， 所以是定义在上的偶函数， ， 当时，，所以， 所以函数在上单调递减， 又， 所以，即，即，解得. 故答案为： 8．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【详解】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 题型三 由函数的单调区间求参数 9．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得在上恒成立，即在恒成立，据此可得答案. 【详解】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． 10．（多选）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】BD 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解． 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 11．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【详解】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 12．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)证明函数为中心对称图形； (3)设，当时，，求的最大值. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用函数的单调性与导函数的符号的关系求解即可； （2）由解析式可得，即可得结论； （3）根据题意可得在单调递增，求导，利用函数的单调性与导函数的符号的关系求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，恒成立，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. （2）因为的定义域为，由（1）可得， 设，则， 整理得对任意恒成立， 所以即，故 所以，其中为常数，令，则， 故，所以关于点，即中心对称， 所以是中心对称图形. （3）由题意，， 因为当时，， 所以存在，使得在上单调递增， 因为 ， 又，所以只需在恒成立即可， 令，则，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为， 此时在上恒成立，即在上单调递增，满足题意， 综上的最大值为. 题型四 由函数在区间上的单调性求参数 13．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定义域，得到，求导，得到函数单调性，极值情况，时，，满足要求，时，需满足在内，从而得到不等式，求出答案. 【详解】函数的定义域为，故需满足，故， ， ，解得，，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值. 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意； 当时，函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 在内， 即，即，即， 此时，综上. 故选：B. 14．（多选）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】BD 【分析】先对函数进行求导，再根据导数小于零有解来确定的取值范围即可. 【详解】的定义域为，， 函数存在单调递减区间， 在上有解，即在上有解， 令， 故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误. 故选：BD. 15．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数求的单调区间，由在区间上单调，求的取值范围. 【详解】因为， 所以， 设，则， 所以时，，故在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以时；时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，所以的取值范围是. 故答案为： 16．已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据导数的几何意义，求得函数在处的切线斜率，并根据切点是函数图象与切线的交点，可求得实数a，b的值. (2)根据函数在上单调，得或在上恒成立，从而列出关于的不等式，求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数，所以. 所以. 所以函数在处的切线的斜率为. 由题可知：就是函数在处的切线方程.所以,所以 又切线过点,所以即所以 所以 （2）解:因为在上单调，或在上恒成立. 因为，且恒成立，所以或在上恒成立， 所以或在上恒成立.所以或. 所以的取值范围是： 题型五 函数与导函数图像之间的关系 17．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A． B． C． D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 18．（多选）已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．在上单调递增 C．在区间内单调递减 D．在处取得极大值 【答案】AC 【分析】根据导函数的图象可判断的单调性，即可求解AB，根据导函数的图象，结合极值的定义即可求解CD. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 对于A, 是的极小值点，故A正确， 对于B，在上单调递减，B错误， 对于C, 在区间内单调递减,C正确， 对于D, 在处取得极小值，D错误， 故选：AC 19．函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 ． 【答案】 【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案. 【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间上单调递增，即当时, ;当时, . 因为可化为或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 20．已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）令，若，函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）当时， ，求出，可得函数的单调区间； （2）依题意得，，然后求导，得，然后，分情况讨论即可求出实数的取值范围 【详解】（1）函数的定义域为 当时， 令得，解得， 令得，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）， 由得 ①当时，，函数在上单调递增， 所以，即，函数在上没有零点. ②当时，时，，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增 因为， 所以函数在有两个零点只需 解得 综上所述，实数的取值范围为 题型六 利用导数求函数（含参）的单调区间 21．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，排除，当时得到函数的单调性以及函数的取值范围，再列不等式组求解即可. 【详解】因为 所以 若时恒成立， 在上单调递增，函数不可能有两个不同的零点，不合题意； 所以，只有 时，，函数递减，此时 时，，函数递增，此时， 因为函数有两个不同的零点， 所以 解得 故选：D. 22．（多选）已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调 B．当时，函数在上不单调 C．当时，函数在上不单调 D．当时，函数在上单调 【答案】BCD 【分析】首先求，之后对的分子部分单独构造函数，接着分类讨论研究的正负，进而得到的单调性. 【详解】，， 令，． ①当时，， 则当时，， 即，当时，则，即， 所以此时函数在上不单调，故A错误； ②当时，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以此时函数在上不单调，故B正确； ③当时，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以此时函数在上不单调， 当时，， 则当时，，即， 当时，，即， 所以在上不单调， 所以当时，在上不单调，故C正确； ④当时，，此时恒成立， 函数在上单调递减，故D正确． 故选：BCD． 23．已知函数，若存在实数，使得在区间上有三个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】给函数变形，把零点问题转化为两个函数图像的交点问题，分离讨论，利用导数的性质即可求出答案. 【详解】由题意得，使与在有三个交点， 则，令，则. 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 与在内不可能有三个交点. 当时，恒成立，在上单调递增， 与在内不可能有三个交点. 当时，在和上单调递增，在上单调递减，， 与在内要有三个交点，则设与相切时，切点，其中， ，即，. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 24．已知． (1)讨论的单调性； (2)若任意的，求的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析. (2) 【分析】（1）先确定函数的定义域，接着对函数进行求导，令，得到临界点和，最后根据与的大小关系，分四种情况讨论在不同区间的符号，从而确定的单调性.      （2）根据，构造函数，由条件得出在上单调递增，所以在上恒成立，变形得到在上恒成立，最后求的最大值即可得到的取值范围． 【详解】（1）的定义域为． 若，则． ①若，当时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递减，在上单调递增； ②若，当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③若，当且仅当时取等号，此时在上单调递增； ④若，当或时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在（0，2）上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）不妨设，则 ． 设，则， 所以在上单调递增，所以对恒成立， 所以对恒成立， 又，所以当时，取最大值， 所以，解得，即的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $