由样本估计总体 专项训练-2026届高三数学一轮复习

由样本估计总体专项训练 由样本估计总体专项训练 考点目录 由离散数据样本估计总体 由频率分布直方图估计总体 数据特征值的性质 分层数据的平均数与方差 考点一 由离散数据样本估计总体 例1．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【答案】A 【详解】，故这组数据的75%分位数为， 故选：A 例2．（25-26高三上·重庆·期中）已知某9个数的平均数为5，方差为.现又加入一个新数5，此时这10个数的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵， ∴，解得. 故选：B 例3．（24-25高一下·吉林松原·期末·多选）为了检测员工的技术水平，某企业组织职工技能大赛，在装配钳工比赛中，6位选手的得分分别为：（单位：分），则这组样本数据的（    ） A．极差为4 B．平均数为7 C．分位数为7.5 D．方差为5 【答案】AB 【详解】将位选手的得分排序为. 选项A： 极差为最大值与最小值的差，即，该说法正确. 选项B： 得分总和为，平均数为，该说法正确. 选项C： 分位数的位置为，对应排序后第个数，并非，该说法错误. 选项D： 各得分与平均数的差的平方和为， 所以方差为，并非，该说法错误. 故选：AB 例4．（25-26高二上·贵州毕节·期中·多选）某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩（单位：分）统计如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 82 90 68 80 80 则下列结论正确的是（    ） A．这5位同学成绩的中位数是80 B．这5位同学成绩的极差是10 C．这5位同学成绩的方差是52 D．这5位同学成绩的第80百分位数是86 【答案】AD 【详解】A选项，这5位同学成绩从小到大排列为68，80，80，82，90， 中位数为80，A正确； B选项，这5位同学成绩的极差为，B错误； C选项，这5位同学成绩的平均数为， 所以这5位同学成绩的方差是，C错误； D选项，，故选取第4个数和第5个数的平均数为第80百分位数，即86，D正确. 故选：AD 例5．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为 . 【答案】 【详解】由题意可得，解得， 将数据排序得，，，，， ，则这组数据的第百分位数为第和第位数的平均数，即. 故答案为：. 例6．（25-26高三上·湖北荆州·月考）样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为 ． 【答案】/8.5 【详解】将数按从小到大排列：2，6，7，10，15，18，20，24，42，57，共个数，，第百分位数为第三个数与第四个数的平均数 故答案为： 变式1．（25-26高二上·四川广元·期中）关于以下这组数据：22，24，26，26，28，30，下列说法错误的是（ ） A．极差为8 B．平均数为26 C．众数为26 D．分位数为27 【答案】D 【详解】因为数据：22，24，26，26，28，30， 对于选项A：极差为，故A正确； 对于选项B：平均数为，故B正确； 对于选项C：众数为26，故C正确； 对于选项D：因为，所以分位数为第五个数28，故D错误； 故选：D. 变式2．（25-26高二上·广东茂名·期中）样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位数（25%分位数）为（    ） A．32 B．33 C．48 D．49 【答案】B 【详解】样本数据从小到大排列为22、29、32、34、37、38、42、45、47、49、51、53， 因为，所以下四分位数（25%分位数）为第三个数和第四个数的平均数. 故选：B. 变式3．（25-26高三上·福建福州·期中·多选）某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（    ） A．这14天日促销量的众数是214 B．这14天日促销量的中位数是196 C．这14天日促销量的极差为194 D．这14天日促销量的第80百分位数是260 【答案】AD 【详解】由折线图得14天日促销量从小到大排列为：， 对于A，这14天日促销量的众数是214，A正确； 对于B，这14天日促销量的中位数是，B错误； 对于C，这14天日促销量的极差为，C错误； 对于D，由，得这14天日促销量的第80百分位数是260，D正确. 故选：AD 变式4．（2025·广东·模拟预测·多选）为考察某植物幼苗的成长速度，将六个品种的幼苗在相同的环境下培养7天，得到的高度散点图如图所示，则这6个数据的（   ）    A．极差为10 B．平均数为37 C．上四分位数为40 D．下四分位数为32 【答案】AC 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为：32，33，35，38，40，42， 极差为，故A正确； 平均数为，故B错误； 上四分位数，由，故上四分位数为40，故C正确； 下四分位数，由，故下四分位数为33，故D错误． 故选AC． 变式5．（25-26高三上·上海·期中）柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是剩余学生的成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 . 【答案】 【详解】因为，则遗失的学生成绩是剩余学生的成绩从小到大排列的第3个， 所以遗失的学生成绩为. 因为这10名学生的成绩的平均数为：， 所以方差为. 故答案为：2.09. 变式6．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知 2025 年 9 月份第一、四车间生产的零件数分别为 73 万件和 145 万件， 若四个车间产量随编号增加而增加， 且四个车间产量的中位数与平均数相等，则 2025 年 9 月份该厂生产的零件总数为 万件. 【答案】 【详解】设第二、三车间生产的零件数分别为，，则， 由条件可知，，得， 所以该厂生产的零件总数为万件. 故答案为： 考点二 由频率分布直方图估计总体 例1．（2025·广东广州·模拟预测）对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图．由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 这一批电子元件中寿命的分位数为. 故选：A. 例2．（24-25高一下·广东汕头·期末）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），画出如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ） +    A．可以估计该市月均用水量在区间内的居民用户最多 B．可以估计随着月均用水量的增加，该市居民用户数呈现降低趋势 C．可以估计该市月均用水量的平均数小于中位数 D．可以估计该市居民月均用水量的分位数为14.2 【答案】C 【详解】由众数的定义可知，100户居民月均用水量在区间内的居民用户最多，再由样本估计总体可知，A正确； 由图可知，随着月均用水量的增加，高度呈现降低的趋势，故B正确； 平均数为 ， 因为，，则中位数在第二组内， 设中位数为，则，得， 故可以估计该市月均用水量的平均数大于中位数，故C错误； 因为，， 则分位数在第五组内， 设该市居民月均用水量的分位数为，则， 得，故D正确. 故选：C 例3．（25-26高三上·福建漳州·月考·多选）某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（    ） A． B．样本质量指标值的平均数为 C．样本质量指标值的众数大于其平均数 D．样本质量指标值的第75百分位数为84 【答案】AB 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，样本质量指标值的平均数为，B正确； C选项，样本质量指标值的众数为，C错误； D选项，前三组数据的频率之和为， 前四组数据的频率之和为， 所以第百分位数位于第四组，设其为， 则，解得， 所以样本质量指标值的第75百分位数为，D错误； 故选：AB. 例4．（2025·黑龙江大庆·一模·多选）某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识竞赛，随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. 根据图中数据，下列结论正确的是（    ） A．这100名学生成绩的中位数约为75 B．这100名学生成绩的平均数约为78 C．从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7 D．从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计值为 【答案】BC 【详解】对于A，前组的频率之和为，所以样本数据的中位数约为80，故A错误； 对于B，这100名学生成绩的平均数约为. 故B正确； 对于C，成绩不低于70分的频率为， 所以从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7，故C正确； 对于D，成绩在内的频率为，成绩在的频率为0.5， 设“两名学生成绩都不低于70分”为事件，“恰有一名学生成绩在内”为事件， ， ， 根据条件概率公式，故D错误． 故选：BC． 例5．（24-25高一下·四川巴中·期末）某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为 （百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】14.52 【详解】由题设，可得， 所以平均值为. 故答案为： 例6．（25-26高三上·山西运城·期中）如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在内的销售商中抽取 家．    【答案】7 【详解】由题意，解得， 所以销量在的频率为，频数为， 所以若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家， 则应从销售量在内的销售商中抽取家. 故答案为：7 例7．（24-25高一下·吉林松原·期末）某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； (2)已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1)，第80百分位数为，样本平均数为74； (2)，. 【详解】（1）由题意， 所以前4组频率之和， 前5组频率之和， 所以样本成绩的第80百分位数在区间内，且为， 样本平均数为； （2）由题可得落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 所以两组样本成绩合并后的平均数为， 两组样本成绩合并后的方差为. 例8．（25-26高二上·四川成都·期中）将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在第五组成绩在 (1)求图中的值，估计本次考试成绩的平均分、众数； (2)若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率． 【答案】(1)，平均分为分，众数为分； (2). 【详解】（1）由频率分布直方图，得，因此； 本次考试成绩平均分为； 众数为分. （2）低于70分的同学的频率为，则低于70分的同学应抽取人， 其中成绩在的人数为人，记这3人为， 成绩在的两位同学记为， 从5人中任取两人有，共10种取法， 其中2人分数都在的取法有3种， 所以2人分数都在的概率为. 变式1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）为了调查某学校高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了200名学生，将他们体育活动的时间（单位：分）按，，，分成10组，得到如图所示频率分布直方图，根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A． B．样本的众数估计值为70 C．该校高一年级学生每天体育活动时间的第60百分位数估计值为72 D．若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的共有180人 【答案】C 【详解】对于A，，解得，故A错误； 对于B，由图可得的频率最大，所以众数的估计值为75，故B错误； 对于C，由频率分布直方图得从第一组到第，七组的频率依次是0.02,0.04,0.06,0.08,0.08,0.12,0.16，所以第60百分位数估计值在之间， 所以， 解得，故C正确； 对于D，若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的估计有人，故D错误. 故选：C. 变式2．（2025·云南·模拟预测）某地区对100名新入职教师技能测试的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图．则下列结论中不正确的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【答案】D 【详解】根据频率分布直方图可知：，可得.所以B正确； 成绩在的频数为：，故A正确； 设成绩中位数为， ， 易得中位数在区间内，故C正确； 设成绩平均数为， 而， 平均数在区间内，故D错误. 故选：D. 变式3．（2025·甘肃武威·模拟预测·多选）在乡政府的大力支持下，原贫困村村通过发展养殖业，顺利脱贫致富，村民收入也大幅度提高.为了解该村村民具体收入情况，该村村委会对村民月收入情况进行了抽样调查，并根据收集到的数据绘制了如图所示的月收入频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（   ）    A．样本数据的中位数位于区间内 B．样本数据的第80百分位数约为 C．样本中，该村村民月收入不低于8000元的村民所占比例为45% D．样本中，该村村民的月平均收入为7500元 【答案】ABC 【详解】对于A，∵前三个矩形的面积和为 前四个矩形的面积和为， ∴这组数据的中位数位于区间内，故A正确； 对于B，因为前四个矩形的面积和为 前五个矩形的面积和为 所以这组数据的第80百分位数，则第百分位数为，故B正确； 对于C，这组数据中在区间内的频率为，故C正确； 对于D，由频率分布直方图可知这组数据的平均数为 （千元），故D不正确. 故选：ABC. 变式4．（25-26高三上·云南·月考·多选）近几年，人工智能（AI）逐渐走入人们的生活并得到越来越多的使用．为了解某大学大一学生对AI的使用情况，随机抽取了该校100位大一学生，收集了该100位学生在上学期中向AI提问的次数，得到如图1所示的频率分布直方图（60次及以上的称为经常向AI提问），则下列结论正确的是（　　）    A． B．这100位学生中经常向AI提问的人数为75 C．估计大一学生向AI提问的次数的平均数为70 D．按照“经常向AI提问”与“不经常向AI提问”进行分层随机抽样，从这100人中抽取24人，则在经常向AI提问的学生中应抽取16人 【答案】AB 【详解】A由频率分布直方图可得，故，A正确； B经常向AI提问的次数不少于60的频率为，故这100位学生中经常向AI提问的人数约为， B正确； C经常向AI提问的次数的平均数为，C错误； D“经常向AI提问”与“不经常向AI提问”的人数之比为，故从这100人中抽取24人，在经常向AI提问的人中应抽（人）.D错误； 故选：AB. 变式5．（2025·山东·一模）市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为 ． 【答案】 【详解】由题意得组距，因为小长方形面积和为1， 所以,解得， 而，则第90百分位数在内， 且设其为，得到，解得 故答案为： 变式6．（24-25高一下·天津和平·期末）某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，则图中 ，根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为 . 【答案】 0.03 85 【详解】由频率分布直方图可得，可得； 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以满意度计分的第三四分位数， 所以，即满意度计分的第三四分位数约为85. 故答案为：0.03；85. 变式7．（25-26高二上·广东茂名·期中）一次数学测验中，将全班的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，试估计样本成绩的众数、平均数、第80百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）； (2)全班有男生32人，女生16人，其中男生平均分为72，方差为26；女生平均分为75，方差为20，运用上述数据计算全班学生的平均分，总方差. 【答案】(1)，众数为75，平均数为72，第80百分位数为85 (2)平均分73，总方差26 【详解】（1）各组小矩形的面积之和为1， 所以     解得.     由频率分布直方图可知：众数为75，     平均数为.     设第80百分位数为，成绩在的频率为， 成绩在的频率为     所以，，     解得     故估计样本成绩的众数为75，平均数为72，第80百分位数为85. （2）依题意，得两组成绩合并后的总平均数为，     总方差.     故全班学生的平均分73，总方差26. 变式8．（2025·广东·模拟预测）某研究院种植了一种特殊作物，为了解该种特殊作物成熟期的高度，随机调查了1000棵成熟期作物的高度并绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值及这1000棵成熟期作物的平均高度（同组数据用该组数据区间的中点值表示）； (2)以这1000棵成熟期作物的高度的频率估计所有该特殊作物成熟期高度的概率.若在所有成熟的该种特殊作物中随机抽取20棵，记高度在区间内的棵数为，求的期望和方差. 【答案】(1)，101厘米 (2) 【详解】（1）由，得， 这1000棵成熟期作物的平均高度为 厘米. （2）高度在区间内的频率为， 由样本估计总体知，高度在区间的概率为0.3， 因为，所以. 考点三 数据特征值的性质 例1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知样本，，，，的平均数为12，样本，，，的平均数为16，则样本，，，，，，，，的平均数为（   ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15 【答案】D 【详解】由题知：样本，，，，的平均数为12， 故++++； 样本，，，的平均数为16， 故+++； 所以样本，，，，，，，，的平均数为： ++++++++， 故选:D. 例2．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】由方差的性质，得的方差为，故， 解得．由，可知. 由平均数的性质，得的平均数为， 故，解得. 故选：A． 例3．（25-26高二上·广东江门·月考·多选）一组数据的平均数为7，方差为4，则（    ） A．数据的平均数为3 B．数据的平均数为9 C．数据的标准差为1 D．数据的方差为9 【答案】ACD 【详解】设,则，解得， ，解得，则，故A正确；C正确； 则，，故B错误，D正确. 故选：ACD. 例4．（25-26高二上·湖南·开学考试·多选）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，化简得，故A正确， 对于B，因为，所以由方差的性质得，故B错误， 对于C，由题意得， 由均值的性质得，得到， 则，故C正确， 对于D，由方差的性质得，则， 由题意得 ，故D正确. 故选：ACD 例5．（25-26高二上·浙江·期中）已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为 . 【答案】19 【详解】因为数据的平均数为4，方差为2， 所以的平均数为，方差为， 所以平均数与方差的和为19. 故答案为：19. 例6．（2025·江苏常州·模拟预测）数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意有：， 所以， 故答案为：. 变式1．（2023·北京延庆·二模）已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（    ） A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4 【答案】B 【详解】因的平均数为5，方差为1， 则数据，，，，的平均数为，方差是. 故答案为：B 变式2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（    ） A．2，3 B．2，6 C．4，3 D．4，6 【答案】A 【详解】设的平均数为，方差为， 则数据的平均数为，方差为， 所以，，解得，. 故选：A 变式3．（25-26高三上·广西南宁·月考·多选）已知样本数据，（）（），则（    ） A．若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C．若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】ACD 【详解】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为，则， 由于在上单调递增， 故样本数据中，最大值为，最小值为， 故， 则样本数据的极差为，故A正确： 对于B，由平均数的性质可得，样本数据的平均值为，故B错误； 对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确； 对于D，根据方差的性质可知，样本数据的方差为，故D正确， 故选：ACD． 变式4．（2025·山东·二模·多选）给定一组不全相同的样本数据，关于样本数据的说法正确的是（   ） A．与原数据相比，极差一定变大 B．与原数据相比，众数一定变大 C．与原数据相比，平均数一定变大 D．与原数据相比，方差一定变大 【答案】AD 【详解】对于A，若样本数据中的最小的数为，最大的数为，则极差为， 则样本数据的极差为， 因为，所以，所以A正确， 对于B，若的众数为，则的众数为， 若，则，所以B错误， 对于C，若的平均数为，则的平均数为， 若，则，所以C错误， 对于D，若的方差为，而， 则的方差为 ，所以D正确. 故选：AD 变式5．（25-26高三上·山东济南·开学考试）若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为 . 【答案】14 【详解】由于样本数据的平均数为8，故， 的平均数为， 则， 故数据，的平均数为， 故答案为：14 考点四 分层数据的平均数与方差 例1．（2025·甘肃武威·模拟预测）某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（   ） A．8 B．36 C．64 D．88 【答案】D 【详解】设甲班50名学生成绩的平均数和方差分别为，， 乙班40名学生成绩的平均数和方差分别为，， 则，，，， 所以这90名学生成绩的平均数为， 则这90名学生成绩的方差为 . 故选：D. 例2．（2025·云南昆明·一模）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，则估计该校高三年级学生体重的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记总样本的平均数为，则， 所以总样本的方差， 所以估计该校高三年级学生体重的方差为． 故选：C． 例3．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为 . 【答案】63 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： . 故答案为：63. 例4．（25-26高三上·广东广州·月考）高三（1）班共50人全部参加某次数学测试，该班成绩的方差为30，男生成绩的平均分为86分，标准差为4，女生成绩的平均分为81分，标准差为6，则该班男生有 人，该班成绩的平均分是 分． 【答案】 30 84 【详解】记全班学生成绩的平均数与方差分别为，男生成绩的平均数为，方差为， 女生成绩的平均数为，方差为，设该班男生所占的权重为，则女生所占的权重为 于是， ．整理得，而，解得， 所以男生有（人），该班成绩的平均分为（分）． 故答案为：30；84 变式1．（25-26高二上·安徽·月考）某班男生､女生人数之比为，对该班同学每周运动时间（单位：时）进行调查，得知男生每周运动时间的平均数为，方差为，女生每周运动时间的平均数为，方差为，则该班全体同学每周运动时间的方差为（    ） A．5.2 B．5.3 C．5.4 D．5.5 【答案】C 【详解】该班全体同学每周运动时间的平均数为， 方差为， 故选：C 变式2．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16．若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（    ） A．平均数为5.5 B．平均数为6.5 C．方差为12.5 D．方差为13.5 【答案】D 【详解】甲抽取的样本数据为；乙抽取的样本数据为， 依题意，，，，， 新样本数据的平均数，故A、B错误； 新样本数据的方差 ，故C错误，D正确. 故选：D. 变式3．（24-25高一下·湖北武汉·期末）湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为22.5，已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的学均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是 . 【答案】18 【详解】甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为， 三所学校共有数学强基学生48人， 甲校的数学强基小组人数24； 乙校的数学强基小组人数为16； 丙校的数学强基小组人数8， 把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把所有学生的平均分记为，方差记为． 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得，即，解得， ， 即，解得. 故答案为：18. 变式4．（24-25高一下·福建厦门·月考）厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为 ． 【答案】160 【详解】假设在样本中，学生、教师的人数分别为， 记样本中所有学生的评分为，所有教师的评分为， 由得， 所以 ， 所以，即， 令，则，， 即，解得或， 因为且，得，所以. 所以总样本中学生样本的个数至少为160. 故答案为：160. 2 学科网（北京）股份有限公司 $由样本估计总体专项训练 由样本估计总体专项训练 考点目录 由离散数据样本估计总体 由频率分布直方图估计总体 数据特征值的性质 分层数据的平均数与方差 考点一 由离散数据样本估计总体 例1．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 例2．（25-26高三上·重庆·期中）已知某9个数的平均数为5，方差为.现又加入一个新数5，此时这10个数的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 例3．（24-25高一下·吉林松原·期末·多选）为了检测员工的技术水平，某企业组织职工技能大赛，在装配钳工比赛中，6位选手的得分分别为：（单位：分），则这组样本数据的（    ） A．极差为4 B．平均数为7 C．分位数为7.5 D．方差为5 例4．（25-26高二上·贵州毕节·期中·多选）某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩（单位：分）统计如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 82 90 68 80 80 则下列结论正确的是（    ） A．这5位同学成绩的中位数是80 B．这5位同学成绩的极差是10 C．这5位同学成绩的方差是52 D．这5位同学成绩的第80百分位数是86 例5．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为 . 例6．（25-26高三上·湖北荆州·月考）样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为 ． 变式1．（25-26高二上·四川广元·期中）关于以下这组数据：22，24，26，26，28，30，下列说法错误的是（ ） A．极差为8 B．平均数为26 C．众数为26 D．分位数为27 变式2．（25-26高二上·广东茂名·期中）样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位数（25%分位数）为（    ） A．32 B．33 C．48 D．49 变式3．（25-26高三上·福建福州·期中·多选）某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（    ） A．这14天日促销量的众数是214 B．这14天日促销量的中位数是196 C．这14天日促销量的极差为194 D．这14天日促销量的第80百分位数是260 变式4．（2025·广东·模拟预测·多选）为考察某植物幼苗的成长速度，将六个品种的幼苗在相同的环境下培养7天，得到的高度散点图如图所示，则这6个数据的（   ）    A．极差为10 B．平均数为37 C．上四分位数为40 D．下四分位数为32 变式5．（25-26高三上·上海·期中）柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是剩余学生的成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 . 变式6．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知 2025 年 9 月份第一、四车间生产的零件数分别为 73 万件和 145 万件， 若四个车间产量随编号增加而增加， 且四个车间产量的中位数与平均数相等，则 2025 年 9 月份该厂生产的零件总数为 万件. 考点二 由频率分布直方图估计总体 例1．（2025·广东广州·模拟预测）对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图．由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·广东汕头·期末）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），画出如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ） +    A．可以估计该市月均用水量在区间内的居民用户最多 B．可以估计随着月均用水量的增加，该市居民用户数呈现降低趋势 C．可以估计该市月均用水量的平均数小于中位数 D．可以估计该市居民月均用水量的分位数为14.2 例3．（25-26高三上·福建漳州·月考·多选）某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（    ） A． B．样本质量指标值的平均数为 C．样本质量指标值的众数大于其平均数 D．样本质量指标值的第75百分位数为84 例4．（2025·黑龙江大庆·一模·多选）某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识竞赛，随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. 根据图中数据，下列结论正确的是（    ） A．这100名学生成绩的中位数约为75 B．这100名学生成绩的平均数约为78 C．从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7 D．从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计值为 例5．（24-25高一下·四川巴中·期末）某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为 （百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 例6．（25-26高三上·山西运城·期中）如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在内的销售商中抽取 家．    例7．（24-25高一下·吉林松原·期末）某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； (2)已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 例8．（25-26高二上·四川成都·期中）将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在第五组成绩在 (1)求图中的值，估计本次考试成绩的平均分、众数； (2)若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率． 变式1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）为了调查某学校高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了200名学生，将他们体育活动的时间（单位：分）按，，，分成10组，得到如图所示频率分布直方图，根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A． B．样本的众数估计值为70 C．该校高一年级学生每天体育活动时间的第60百分位数估计值为72 D．若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的共有180人 变式2．（2025·云南·模拟预测）某地区对100名新入职教师技能测试的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图．则下列结论中不正确的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 变式3．（2025·甘肃武威·模拟预测·多选）在乡政府的大力支持下，原贫困村村通过发展养殖业，顺利脱贫致富，村民收入也大幅度提高.为了解该村村民具体收入情况，该村村委会对村民月收入情况进行了抽样调查，并根据收集到的数据绘制了如图所示的月收入频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（   ）    A．样本数据的中位数位于区间内 B．样本数据的第80百分位数约为 C．样本中，该村村民月收入不低于8000元的村民所占比例为45% D．样本中，该村村民的月平均收入为7500元 变式4．（25-26高三上·云南·月考·多选）近几年，人工智能（AI）逐渐走入人们的生活并得到越来越多的使用．为了解某大学大一学生对AI的使用情况，随机抽取了该校100位大一学生，收集了该100位学生在上学期中向AI提问的次数，得到如图1所示的频率分布直方图（60次及以上的称为经常向AI提问），则下列结论正确的是（　　）    A． B．这100位学生中经常向AI提问的人数为75 C．估计大一学生向AI提问的次数的平均数为70 D．按照“经常向AI提问”与“不经常向AI提问”进行分层随机抽样，从这100人中抽取24人，则在经常向AI提问的学生中应抽取16人 变式5．（2025·山东·一模）市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为 ． 变式6．（24-25高一下·天津和平·期末）某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，则图中 ，根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为 . 变式7．（25-26高二上·广东茂名·期中）一次数学测验中，将全班的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，试估计样本成绩的众数、平均数、第80百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）； (2)全班有男生32人，女生16人，其中男生平均分为72，方差为26；女生平均分为75，方差为20，运用上述数据计算全班学生的平均分，总方差. 变式8．（2025·广东·模拟预测）某研究院种植了一种特殊作物，为了解该种特殊作物成熟期的高度，随机调查了1000棵成熟期作物的高度并绘制成如下频率分布直方图. (1)求的值及这1000棵成熟期作物的平均高度（同组数据用该组数据区间的中点值表示）； (2)以这1000棵成熟期作物的高度的频率估计所有该特殊作物成熟期高度的概率.若在所有成熟的该种特殊作物中随机抽取20棵，记高度在区间内的棵数为，求的期望和方差. 考点三 数据特征值的性质 例1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知样本，，，，的平均数为12，样本，，，的平均数为16，则样本，，，，，，，，的平均数为（   ） A．13.5 B．14 C．14.5 D．15 例2．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 例3．（25-26高二上·广东江门·月考·多选）一组数据的平均数为7，方差为4，则（    ） A．数据的平均数为3 B．数据的平均数为9 C．数据的标准差为1 D．数据的方差为9 例4．（25-26高二上·湖南·开学考试·多选）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高二上·浙江·期中）已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为 . 例6．（2025·江苏常州·模拟预测）数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为 ． 变式1．（2023·北京延庆·二模）已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（    ） A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4 变式2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（    ） A．2，3 B．2，6 C．4，3 D．4，6 变式3．（25-26高三上·广西南宁·月考·多选）已知样本数据，（）（），则（    ） A．若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C．若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 变式4．（2025·山东·二模·多选）给定一组不全相同的样本数据，关于样本数据的说法正确的是（   ） A．与原数据相比，极差一定变大 B．与原数据相比，众数一定变大 C．与原数据相比，平均数一定变大 D．与原数据相比，方差一定变大 变式5．（25-26高三上·山东济南·开学考试）若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为 . 考点四 分层数据的平均数与方差 例1．（2025·甘肃武威·模拟预测）某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（   ） A．8 B．36 C．64 D．88 例2．（2025·云南昆明·一模）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，则估计该校高三年级学生体重的方差为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为 . 例4．（25-26高三上·广东广州·月考）高三（1）班共50人全部参加某次数学测试，该班成绩的方差为30，男生成绩的平均分为86分，标准差为4，女生成绩的平均分为81分，标准差为6，则该班男生有 人，该班成绩的平均分是 分． 变式1．（25-26高二上·安徽·月考）某班男生､女生人数之比为，对该班同学每周运动时间（单位：时）进行调查，得知男生每周运动时间的平均数为，方差为，女生每周运动时间的平均数为，方差为，则该班全体同学每周运动时间的方差为（    ） A．5.2 B．5.3 C．5.4 D．5.5 变式2．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16．若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（    ） A．平均数为5.5 B．平均数为6.5 C．方差为12.5 D．方差为13.5 变式3．（24-25高一下·湖北武汉·期末）湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为22.5，已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的学均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是 . 变式4．（24-25高一下·福建厦门·月考）厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $