二次方程：二次方程的定义、二次方程的根、解二次方程复习讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次方程：二次方程的定义、二次方程的根、解二次方程复习讲义 二次方程：二次方程的定义、二次方程的根、解二次方程复习讲义 考点目录 二次方程的定义 二次方程的根 解二次方程 考点一 二次方程的定义 【知识点解析】 1.形如的方程，称之为一元二次方程. 2.分别称之为二次项系数、一次项系数、常数项. 3.二次项系数不为0，一次项系数和常数项可以为0. 【例题分析】 考向一 判定是否为二次方程 例1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 考向二 根据二次方程的定义求参数 例1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 例2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的值为 ． 【变式训练】 考向一 判定是否为二次方程 变式1．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 考向二 根据二次方程的定义求参数 变式1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知是一元二次方程，则 ． 变式2．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 考点二 二次方程的根 【知识点解析】 1. 一元二次方程的根 （1）使得方程成立的数，称之为一元二次方程的根. （2）若是方程的根，则. 2. 已知方程的根求参数或代数式的值 （1）若已知方程的根求参数，则直接将根代入原方程，解方程即可求得参数. （2）若已知方程的根求另一个代数式的值，一般将将根代入原方程得到一个代数式，再利用整体思想求值即可.必要时结合根与系数的关系. 【例题分析】 考向一 已知方程的根求参数 例1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知是方程的一个根，则的值是（   ） A．3 B． C．4 D． 例2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）已知方程的其中一根为3，则k的值为（   ） A． B．8 C． D．5 考向二 已知方程的根整体求值 例1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．13 B． C．39 D．65 例2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若方程的一个根为a，则代数式的值为 ． 例4．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为 ． 【变式训练】 考向一 已知方程的根求参数 变式1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A．3 B． C．9 D． 考向二 已知方程的根整体求值 变式1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）若a为方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）若是方程的一个根，则的值为(    ) A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 变式3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）是方程的根，则式子的值为 ． 变式4．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 考点三 解二次方程 【知识点解析】 1.直接开方法解一元二次方程 （1）对于同号，移项可得，两边同时开方可得； （2）对于，两边同时开方可得，移项可得； （3）对于，两边同时开方可得，移项可得. 2. 配方法解一元二次方程 对于一元二次方程 （1）两边同时除以可得； （2）移项可得； （3）左右两边同时加上，构成完全平方式，再用直接开方法即可. 3. 公式法解一元二次方程 对于一元二次方程，求根公式为，使用前提：判别式. 4. 因式分解法解一元二次方程 （1）提公因式法 （2）公式法：平方差公式与完全平方公式 （3）十字相乘法 ①二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法 对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解. 对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数. ②二次项系数不为1的十字相乘 在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列： 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2)配方法 例2．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）解方程： (1) (2) 例3．（25-26九年级上·河南周口·期中）解下列方程： (1) (2)（用配方法） 例4．（25-26九年级上·天津静海·期中）按要求解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）解方程： (1) (2) 变式2．（25-26九年级上·河南焦作·期中）解方程 (1) (2) 变式3．（25-26九年级上·广东广州·期中）解下列方程： (1) (2) 变式4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 课后提升训练 1．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 2．（24-25九年级上·广西北海·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(   ) A．2 B． C．1 D． 3．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）下列方程中关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川泸州·期末）若关于的方程的一个根为，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东·期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 7．（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 8．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期末）若是一元二次方程，则的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知m是方程的根，则代数式的值为 ． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为 ． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）解方程： (1) (2) 14．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）解方程 (1)； (2)． 15．（25-26九年级上·吉林长春·月考）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 16．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）用适当的方法解方程，有要求的按规定方法求解： (1)；（配方法） (2)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次方程：二次方程的定义、二次方程的根、解二次方程复习讲义 二次方程：二次方程的定义、二次方程的根、解二次方程复习讲义 考点目录 二次方程的定义 二次方程的根 解二次方程 考点一 二次方程的定义 【知识点解析】 1.形如的方程，称之为一元二次方程. 2.分别称之为二次项系数、一次项系数、常数项. 3.二次项系数不为0，一次项系数和常数项可以为0. 【例题分析】 考向一 判定是否为二次方程 例1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：中含有分式，不是整式方程，∴ 不是一元二次方程． 选项B：中，未明确（若，则不是二次方程），∴ 不一定是一元二次方程． 选项C：可化为，即，是整式方程且最高次项为2，∴ 是一元二次方程． 选项D：中最高次项为3，∴ 不是一元二次方程． ∴ 正确答案是C． 故选：C． 例2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：符合一元二次方程定义的需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A：含有分式，不是整式方程，故不符合题意； B：形式为，但可能为0，当时不是一元二次方程，故不符合题意； C：含有两个未知数和，不是一元二次方程，故不符合题意； D：只含未知数，且未知数的最高次数为2，是整式方程，故符合题意； 故选：D． 考向二 根据二次方程的定义求参数 例1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为3． 例2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，方程是一元二次方程， 则且， 由，解得， 由，解得， 因此k的值为：， 故答案为：． 【变式训练】 考向一 判定是否为二次方程 变式1．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，只含未知数，最高次数为，且为整式方程，是一元二次方程； 选项B：，含两个未知数，不是一元二次方程； 选项C：，含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程； 选项D：，未知数最高次数为，不是一元二次方程． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是二元一次方程，故A不符合； 是一元二次方程，故B符合； 中最高次数为3，故C不符合； 中分母含未知数，故D不符合， 故选：B． 考向二 根据二次方程的定义求参数 变式1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知是一元二次方程，则 ． 【答案】2 【详解】解：由题意，得， 解得， 所以． 又因为二次项系数， 即， 所以． 故答案为：2． 变式2．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得或， 同时，二次项系数，即， ∴. 故答案为：. 考点二 二次方程的根 【知识点解析】 1. 一元二次方程的根 （1）使得方程成立的数，称之为一元二次方程的根. （2）若是方程的根，则. 2. 已知方程的根求参数或代数式的值 （1）若已知方程的根求参数，则直接将根代入原方程，解方程即可求得参数. （2）若已知方程的根求另一个代数式的值，一般将将根代入原方程得到一个代数式，再利用整体思想求值即可.必要时结合根与系数的关系. 【例题分析】 考向一 已知方程的根求参数 例1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知是方程的一个根，则的值是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：是方程 的根， 代入得 ， 即 ， ， 解得， 故选：A． 例2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）已知方程的其中一根为3，则k的值为（   ） A． B．8 C． D．5 【答案】B 【详解】解：∵方程的其中一根为3， ∴， ∴． 故选：B． 考向二 已知方程的根整体求值 例1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．13 B． C．39 D．65 【答案】B 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若方程的一个根为a，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】∵是方程的一个根， ∴， 即． 代数式， 代入， 得． 故答案为． 例4．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 考向一 已知方程的根求参数 变式1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得：， 即， 整理得：， ∴． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 因此，a的值为． 故选：D． 考向二 已知方程的根整体求值 变式1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）若a为方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵a为方程的解， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）若是方程的一个根，则的值为(    ) A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】A 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即． ∴． 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）是方程的根，则式子的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的根， ∴，则， ∴ ， 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】4 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以， 即， 则， 故答案为：4． 考点三 解二次方程 【知识点解析】 1.直接开方法解一元二次方程 （1）对于同号，移项可得，两边同时开方可得； （2）对于，两边同时开方可得，移项可得； （3）对于，两边同时开方可得，移项可得. 2. 配方法解一元二次方程 对于一元二次方程 （1）两边同时除以可得； （2）移项可得； （3）左右两边同时加上，构成完全平方式，再用直接开方法即可. 3. 公式法解一元二次方程 对于一元二次方程，求根公式为，使用前提：判别式. 4. 因式分解法解一元二次方程 （1）提公因式法 （2）公式法：平方差公式与完全平方公式 （3）十字相乘法 ①二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法 对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解. 对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数. ②二次项系数不为1的十字相乘 在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列： 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2)配方法 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ， 则或， 解得，； （2）解：， ， ， 则， 解得 例2．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或， ∴，； （2）解： ∴ ∴，． 例3．（25-26九年级上·河南周口·期中）解下列方程： (1) (2)（用配方法） 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： （2）解： ， 例4．（25-26九年级上·天津静海·期中）按要求解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， 则或， 所以； （2）， ， 则， 所以； （3）， 或， 所以； （4）， 则或， 所以． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： ， ， ∴或， 解得，． （2） ， ， 或， 解得． 变式2．（25-26九年级上·河南焦作·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， ． （2）解： ， 或， ． 变式3．（25-26九年级上·广东广州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) ， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， ，或， ∴，． 变式4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 因式分解得， 或 解得，； （2）解： 移项得， 或 解得，； （3）解： 或 解得，； （4）解： 或 解得，． 课后提升训练 1．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 【答案】A 【详解】解：， ∴ 移项得， ∴ 一次项系数为，常数项为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广西北海·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(   ) A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 3．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）下列方程中关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程， 选项A：，当时是一元二次方程，但题中未明确，故不一定成立； 选项B：，含有两个未知数x和y，不是一元二次方程； 选项C：，化简得：，是一元一次方程； 选项D：，只含未知数x，且最高次数为2，符合定义； 故选D． 4．（24-25九年级上·四川泸州·期末）若关于的方程的一个根为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入一元二次方程得， 解得． 故选：B． 5．（24-25九年级上·广东·期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 【答案】C 【详解】解：把代入方程中得：， ， ． 故选：C． 7．（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期末）若是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，解得：， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即． ∴ ． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知m是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵关于x的方程的一个根为， ∴关于的方程的一个根为， ∴， 即关于x的方程的一个根为， 故答案为： 13．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，． （2）解： ， ， ， ，． 14．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·吉林长春·月考）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得： 16．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）用适当的方法解方程，有要求的按规定方法求解： (1)；（配方法） (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴或， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $