6.4.3-6.4.4 用频率分布直方图估计总体分布 百分位数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦用频率分布直方图估计总体分布及百分位数两大核心知识点，承接频率分布直方图绘制，系统梳理众数、中位数、平均数的估计方法，进而引入百分位数概念与计算步骤，构建从图表到统计量的完整学习支架。 资料通过学生成绩、居民用电量等实例设计探究活动，以“知识点解析-例题示范-对点练习”模式，培养数据分析、逻辑推理素养。课中助力教师分层教学，课后分层评价与综合应用练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

6.4.3　用频率分布直方图估计总体分布　6.4.4　百分位数 学习目标 1.通过实例体会分布的意义和作用，能够利用频率分布直方图估计总体分布的数字特征，提升数据分析、数学运算的核心素养. 2.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义，提升数学抽象、逻辑推理和数据分析的核心素养. 知识点一　众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 1.平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 2.中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. 3.众数：频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点所对应的数据. 知识点二　百分位数 1.百分位数 百分位数是位于按从小到大的顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值，以Pr表示，其中r是区间[1，99]上的整数.一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有r％的观测值小于或等于它，且至少有(100－r)％的观测值大于或等于它，当r％＝50％时，Pr即对应中位数. 2.计算一组n个数据的百分位数Pr的步骤 设观测数据已经按从小到大的顺序排列，如x1，x2，…，xn. 第一步，计算c＝n×r％； 第二步，如果c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求的Pr是xm，如果c是整数，则所求的Pr是. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)样本的平均数描述了样本数据的平均水平. (　　) (2)方差越大，数据越集中在平均数左右. (　　) (3)百分位数P50是一组数据最中间的一个数. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，百分位数P50，则有(　　) A.a＝13.7，P50＝15.5 B.a＝14，P50＝15 C.a＝12，P50＝15.5 D.a＝14.7，P50＝15 答案：D 解析：把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，P50＝＝15. 3.(链接湘教必修一P249例9探究)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是(　　) 学生用书⬇第173页 A.a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数 B.a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数 C.a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数 D.a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数 答案：A 解析：在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积和相等，平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积之积的和近似代替，结合两个频率分布直方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数.故选A. 4.某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是　　　　. 答案：13.7，14.7，15.3 解析：将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.由i＝12×25％＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，即＝13.7；由i＝12×50％＝6，得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即＝14.7；由i＝12×75％＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即＝15.3. 探究点一　根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示. (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分； (4)求抽取学生中80分以下的学生人数. 解：(1)由题图知众数为＝75. (2)由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3. (3)由题图知这次数学成绩的平均分为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72. (4)[40，80)分的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7. 所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56. 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系 1.众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标. 2.中位数：在样本中，至少有50％的个体小于或等于中位数，至少有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. 3.平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与每个小矩形底边中点的横坐标之积的和. 对点练1.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05. 求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数； 学生用书⬇第174页 (2)高一参赛学生的平均成绩. 解：(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又因为第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，所以中位数为60＋5＝65. (2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分. 探究点二　百分位数的计算 (1)某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是(　　) 件数 7 8 9 10 11 人数 3 6 5 4 2 A.8.5 B.9 C.9.5 D.10 (2)为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了某地区1 000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：min)分成6组：第一组[30，40)，第二组[40，50)，第三组[50，60)，第四组[60，70)，第五组[70，80)，第六组[80，90]，经整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为　　　　 min. 答案：(1)B　(2)47.5 解析：(1)抽取的工人总数为20，20×60％＝12，那么第60百分位数是所有数据从小到大排序后的第12项与第13项数据的平均数，第12项与第13项数据分别为9，9，所以第60百分位数是P60＝9.故选B. (2)由10×0.01＝0.1＜0.25，10×0.01＋10×0.02＝0.3＞0.25，故第25百分位数位于[40，50)内，则第25百分位数为P25＝40＋×10＝47.5，可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5. 计算一组n个数据的百分位数Pr的一般步骤 1.排列：按照从小到大排列原始数据； 2.计算i：计算i＝n×r％； 3.定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则百分位数Pr为第j项数据；若i是整数，则百分位数Pr为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 对点练2.考察某校高二年级男生的身高，随机抽取40名高二男生，实测身高数据(单位：cm)如下： 171　163　163　166　166　168　168　160 168　165　171　169　167　169　151　168 170　160　168　174　165　168　174　159 167　156　157　164　169　180　176　157 162　161　158　164　163　163　167　161 请估计该校高二年级男生身高的第25，50，75百分位数. 解：把这40名男生的身高数据按从小到大排序，可得 151　156　157　157　158　159　160　160 161　161　162　163　163　163　163　164 164　165　165　166　166　167　167　167 168　168　168　168　168　168　169　169 169　170　171　171　174　174　176　180 由25％×40＝10，50％×40＝20，75％×40＝30，可知样本数据的第25百分位数为＝161.5，第50百分位数为＝166，第75百分位数为＝168.5. 据此可估计该校高二男生身高的第25，50，75百分位数分别约为161.5，166和168.5. 探究点三　百分位数的综合应用 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. 学生用书⬇第175页 (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80％，求a，b的值； (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的百分位数：P75. 解：(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60； 当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140. 所以y与x之间的函数解析式为 y＝ (2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80％， 结合频率分布直方图可知 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0. (3)设百分位数：P75＝m， 因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60％， 用电量不超过400千瓦时的占80％， 所以百分位数：P75为m在[300，400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75， 解得m＝375千瓦时，即用电量的百分位数P75＝375千瓦时. 　　根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要掌握频率分布直方图中各组数据频率的计算方法，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得. 对点练3.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人. (1)求x； (2)求抽取的x人的年龄的百分位数P50(结果保留整数)； (3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的百分位数P20和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“中国梦”的伟大构想的认知程度，并谈谈你的感想. 解：(1)第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝＝100. (2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40％，年龄低于35岁的所占比例为70％，所以抽取的x人的年龄的50％分位数在[30，35)内，设P50＝m，由0.4＋(m－30)×0.06＝0.50，m≈32，所以抽取的x人的年龄的百分位数P50＝32. (3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列： 88，90，92，92，95，96，96，97，98，99， 计算10×20％＝2，所以这10人成绩的百分位数P20＝＝91，这10人成绩的平均数为(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3. 评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高. 感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可. 学生用书⬇第176页 1.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的百分位数P65＝4.5，则实数x的取值范围是(　　) A.[4.5，＋∞) B.[4.5，6.6) C.(4.5，＋∞) D.[4.5，6.6] 答案：A 解析：因为8×65％＝5.2，所以这组数据的百分位数P65是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A. 2.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　) A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的百分位数P80等于乙的成绩的百分位数P80 D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 答案：BC 解析：由题图可得，＝＝6， ＝＝6，＝，A项错误； 甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，B项正确； 甲的成绩的百分位数P80＝＝7.5，乙的成绩的百分位数P80＝＝7.5，所以二者相等，所以C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项不正确. 3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的百分位数P50＝　　　　. 答案： 解析：样本数据低于10的比例为0.08＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的百分位数P50在[10，14)内，估计此样本数据的百分位数P50＝10＋×4＝. 4.某中学共有3 000名学生，其中高一年级有1 200名学生，为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间(单位：小时)，绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)求样本中高一年级学生的人数及图中a的值； (2)估计样本数据的中位数(保留两位小数)； (3)估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数. 解：(1)样本中高一年级学生的人数为×1 200＝80. (0.74＋a＋0.34＋0.12＋0.10＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.66. (2)设中位数为x，7＜x＜7.5， 则0.10×0.5＋0.34×0.5＋0.66(x－7)＝0.5，得x≈7.42， 故样本数据的中位数约为7.42. (3)由图可知，样本数据落在[7，9]的频率为(0.74＋0.66＋0.12＋0.04)×0.5＝0.78， 故全校睡眠时间不低于7小时的学生人数约为3 000×0.78＝2 340. 课时分层评价47　用频率分布直方图估计总体分布　百分位数 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116，这组数据的60％分位数是(　　 ) A.98 B.99 C.99.5 D.100 答案：C 解析：这组数据的60％分位数是＝99.5. 2.如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为(　　 ) A.22.5，20 B.22.5，22.75 C.22.75，22.5 D.22.75，25 答案：C 解析：由题意，这批产品的平均数为＝5×(0.02×12.5＋0.04×17.5＋0.08×22.5＋0.03×27.5＋0.03×32.5)＝22.75， 其中位数为x0＝20＋＝22.5.故选C. 3.已知100个数据的百分位数P75＝9.3，则下列说法正确的是(　　 ) A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 答案：C 解析：因为100×75％＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为百分位数P75＝9.3，选C. 4.如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的百分位数P80是(　　 ) A.－2 B.0 C.1 D.2 答案：D 解析：由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2， 因为共有10个数据，所以10×80％＝8，是整数，则这10天最低气温的百分位数P80＝＝2. 5.为了解某幼儿园儿童的身高情况，抽查该幼儿园120名儿童的身高绘制成如图所示的频率分布直方图，则抽查的120名儿童中身高大于或等于98 cm且小于104 cm的有(　　 ) A.90名 B.75名 C.65名 D.40名 答案：A 解析：由题图可知身高大于或等于98 cm且小于104 cm的儿童的频率为(0.1＋0.15＋0.125)×2＝0.75，抽查的120名儿童中有120×0.75＝90(名)儿童的身高大于或等于98 cm且小于104 cm. 6.某校为了解高一1 000名学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图(如图所示)，那么估计该校高一学生中一周阅读时间在[4，8)小时内的人数为　　　　. 答案：540 解析：根据频率分布直方图，可得阅读时间在[4，8)小时内的频率为(0.12＋0.15)×2＝0.54，所以估计该校高一学生中一周阅读时间在[4，8)小时内的人数为1 000×0.54＝540. 7.已知30个数据的百分位数：P60＝8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是　　　　. 答案：8.6 解析：由于30×60％＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即19个数据是8.6. 8.求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的百分位数P25＝　　　　；百分位数P90＝　　 　. 答案：3　9.5 解析：因为数据个数为10，而且10×25％＝2.5，10×90％＝9，所以该组数据的百分位数P25＝3，百分位数P90＝＝＝9.5. 9.(10分)我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，… ，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值； (2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差. 解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5， 2)，[2， 2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02. 由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5， 解得a＝0.30. (2)由题意可知，这9组居民月均用水量的平均数依次是＝0.25，＝0.75，＝1.25，＝1.75，＝2.25，＝2.75，＝3.25，＝3.75，＝4.25， 这100户居民的月均用水量为＝0.04×0.25＋0.08×0.75＋0.15×1.25＋0.21×1.75＋0.25×2.25＋0.15×2.75＋0.06×3.25＋0.04×3.75＋0.02×4.25＝2.03， 则这100户居民月均用水量的方差为 s2＝0.04×[0.3＋(0.25－2.03)2]＋0.08×[0.3＋(0.75－2.03)2]＋0.15× [0.3＋(1.25－2.03)2]＋0.21× [0.3＋(1.75－2.03)2]＋0.25×[0.4＋(2.25－2.03)2]＋0.15×[0.4＋(2.75－2.03)2]＋0.06×[0.4＋(3.25－2.03)2]＋0.04×[0.4＋(3.75－2.03)2]＋0.02×[0.4＋(4.25－2.03)2]＝1.113 6. 10.(10分)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2022年11月11日的网购金额，所得数据如下表： 网购金额(单位：千元) 人数 频率 [0，1) 16 0.08 [1，2) 24 0.12 [2，3) x p [3，4) y q [4，5) 16 0.08 [5，6] 14 0.07 合计 200 1.00 已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2. (1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)； (2)估计网购金额的百分位数P25(结果保留3位有效数字). 解：(1)根据题意有 解得所以p＝0.4，q＝0.25. 补全频率分布直方图如图所示 (2)由(1)可知，网购金额不高于2千元的频率为0.08＋0.12＝0.2， 网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6， 所以网购金额的百分位数P25在[2，3)内， 则网购金额的百分位数P25＝2＋×1≈2.13千元. (11、12每小题5分，共10分) 11.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得： (1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为　　　　； (2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的百分位数P95＝　　　　岁. 答案：(1)0.04　(2)42.5 解析：(1)设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04. (2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9， 且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的百分位数P95在[40，45]内， 因此志愿者年龄的百分位数P95＝40＋×5＝42.5岁. 12.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的百分位数P70＝　　　　秒. 答案：16.5 解析：设成绩的百分位数P70＝x，因为＝0.55，＝0.85，所以x∈[16，17)， 所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5，即P70＝16.5秒. 学生用书⬇第177页 学科网（北京）股份有限公司 $