5.4 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换核心知识点，从基本正弦函数y=sinx出发，系统梳理参数A（振幅）、ω（周期）、φ（相位平移）对图象的影响规律，结合简谐振动的物理意义，构建从数学抽象到实际应用的学习支架。 资料通过“五点法”作图培养几何直观，图象变换辨析题（如平移与伸缩顺序辨析）发展数学思维，简谐振动应用体现数学眼光。课中助力教师突破难点，课后分层评价与对点练帮助学生查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

5.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义. 2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相，会解决简单的三角函数应用问题，培养直观想象、数学运算的核心素养. 知识点一　A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 1.φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响 2.ω(ω＞0且ω≠1)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 3.A(A＞0且A≠1)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 [点拨]　对A，ω，φ的三点说明(A＞0，ω＞0) (1)A越大，函数图象的最值越大，最值与A是正比例关系. (2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系. (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”. 知识点二　简谐振动 简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅. 若x表示时间(x∈[0，＋∞))，则这个简谐振动的周期是T＝，而f＝＝表示单位时间内往复振动的次数，称为频率.ωx＋φ称为相位.x＝0时的相位φ称为初相. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象.(　　) (2)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象.(　　) (3)把函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos 3x的图象.(　　) (4)函数y＝sin的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 学生用书⬇第141页 2.为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移π个单位长度 D.向右平移π个单位长度 答案：A 解析：由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 3.用“五点法”作函数f(x)＝sin在x∈[0，π]上的图象时，下列所给点可以是“五点法”中的点的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：当x＝0时，2x－＝－不是“五点法”中的点，故A错；当x＝π时，2x－＝正确，故B对；当x＝时，2x－＝0，且sin(2x－)＝0，故C错；当x＝π时，2x－＝π不是“五点法”中的点，故D错.故选B. 4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为　　　　　　　. 答案：f(x)＝sin(2x＋) 解析：由题图可知A＝，＝－＝， 所以T＝π，所以ω＝2， 所以f(x)＝sin(2x＋φ). 又函数f(x)的图象过点， 所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 所以φ＝2kπ＋，k∈Z， 又｜φ｜＜π，所以φ＝， 所以f(x)＝sin. 探究点一　“五点法”作图 用五点法作出函数y＝2sin＋3的图象，并指出它的周期、最值及单调区间. 解：①列表如下： x π π π π x－ 0 π π 2π y 3 5 3 1 3 ②描点. ③连线成图， 将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得y＝2sin＋3的图象.如图所示： 函数的周期T＝2π，最大值为5，最小值为1， 函数的减区间为，k∈Z， 增区间为，k∈Z. 1.“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象. 2.“五点法”作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是： (1)计算x取端点值时的ωx＋φ的范围； (2)取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值； (3)利用ωx＋φ的值计算y值； (4)描点(x，y)，连线得到函数图象. 对点练1.已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象. 解：用“五点法”作函数f(x)＝cos，x∈[0，π]的图象. 列表如下： 2x－ － 0 π x 0 π f(x) 1 0 －1 0 描点，连线，图象如图. 探究点二　三角函数的图象变换 (多选)有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象的是(　　) A.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变) B.横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 学生用书⬇第142页 C.横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变) 答案：AB 解析：选项A：向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象； 选项B：横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin＝sin的图象； 选项C：横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin＝sin的图象； 选项D：向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)， 正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象，因此A和B符合题意，故选AB. 1.图象平移变换的方法 (1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键. (2)当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位长度；若φ＜0，则右移｜φ｜个单位长度. (3)当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移个单位长度；若φ＜0，则右移个单位长度. 2.三角函数图象伸缩变换的方法 对点练2.将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，最后得到函数g(x)，则g(x)＝(　　) A.sin B.sin C.sin x D.cos x 答案：A 解析：将函数f(x)＝sin个单位长度后， 得到的图象的解析式为f＝sin， 再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)＝sin，故选A. 1.下列命题正确的是(　　) A.y＝cos x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象 B.y＝sin x的图象向右平移 个单位长度得到y＝cos x的图象 C.当φ＜0时，y＝sin x向左平移｜φ｜个单位长度可得y＝sin(x＋φ)的图象 D.y＝sin的图象由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 答案：A 解析： A.y＝cos xy＝cos＝sin x； B.y＝sin xy＝sin＝－cos x； C.y＝sin xy＝sin(x＋｜φ｜)＝sin (x－φ)； D.y＝sin 2xy＝sin 2＝sin. 2.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　) A.y＝sin　　　　 B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 答案：C 解析：函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin的图象；再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin. 3.将函数y＝2sin图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移π个单位，所得图象对应的函数解析式为　　　　　　　. 答案：y＝2sin x 解析：将函数y＝2sin图象上各点的横坐标变为原来的2倍后，所得图象对应的解析式为y＝2sin＝2sin，再把所得图象向右平移π个单位，所得图象对应的函数解析式为y＝2sin＝2sin x. 4.已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f(x)的解析式. 解：逆向思维， y＝sin xy＝siny＝sin， 即f(x)＝sin＝－cos 2x. 课时分层评价40　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.用“五点法”画函数y＝2sin(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则ω＝(　　 ) A. B.2 C. D.3 答案：B 解析：周期T＝－＝π，所以＝π，ω＝2. 2.要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝cos的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案：D 解析：因为y＝cos＝cos，所以y＝cos个单位长度可得到函数y＝cos 2x的图象，故选D. 3.函数y＝3sin的相位和初相分别是(　　 ) A.－x＋　 B.x＋　 C.x－　－ D.x＋　 答案：D 解析：y＝3sin化为y＝3sin，相位x＋，初相. 4.将函数y＝cos向右平移得到y＝sin x的图象，则平移的单位数是(　　 ) A. B. C. D. 答案：D 解析：y＝sin x＝cos＝cos， y＝cos的图象变换为y＝cos个单位. 5.有以下四种变换方式： ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变； ②向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变； ③将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度； ④将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度. 其中能将函数y＝sin(2x－)的图象变为函数y＝sin x图象的是(　　) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 答案：A 解析：①把函数y＝sin的图象，向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin 2x的图象； 再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即可变为函数y＝sin x图象，故①正确. ②把函数y＝sin的图象，向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象， 再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即可得到y＝sin的图象，故②错误. ③把函数y＝sin的图象，将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin的图象， 再向左平移个单位长度，即可得到y＝sin x的图象，故③正确. ④把函数y＝sin的图象，将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin的图象， 再向右平移个单位长度，可得y＝sin＝－cos x的图象，故④错误. 6.某同学给出了以下结论： ①将y＝cos x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin x的图象； ②将y＝sin x的图象向右平移2个单位长度，得到y＝sin(x＋2)的图象； ③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图象； ④函数y＝sin的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到的. 其中正确的结论是　　　　(将所有正确结论的序号都填上). 答案：①③ 解析：由图象平移变换可知①③正确. ②将y＝sin x的图象向右平移2个单位长度，得到y＝sin(x－2)的图象. ④函数y＝sin的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到的. 7.将函数y＝sin的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，可得到函数　　　　　　的图象. 答案：y＝sin 解析：把y＝sin的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，得到y＝sin的图象. 8.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝　　　　　　. 答案：2sin－1 解析：将y＝2sin个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象， 即f(x)＝2sin－1. 9.(10分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； (2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心. 解：(1)根据表中已知数据，可知T＝2＝π，A＝5，＝π，ω＋φ＝＋2kπ，k∈Z，｜φ｜＜，解得ω＝2，φ＝－.数据补全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 函数解析式为f(x)＝5sin. (2)由(1)知， f(x)＝5sin， 因此g(x)＝5sin＝5sin. 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z. 即y＝g(x)的图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为. 10.(10分)已知f(x)＝2sin 2x，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：g(x)＝0在[a，b]上至少含有30个根，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值. 解：f(x)＝2sin 2x， g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1. g(x)＝0⇒sin＝－⇒x＝kπ－或x＝kπ＋π，k∈Z， 即g(x)＝0的根相邻间隔依次为， 故若g(x)＝0在[a，b]上至少含有30个根，则b－a的最小值为14×π＋＝. (11、12每小题5分，共10分) 11.(多选)将函数f(x)＝3sin x的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的(　　 ) A.周期是π B.增区间是 (k∈Z) C.图象关于点对称 D.图象关于直线x＝对称 答案：ABC 解析：将函数f(x)＝3sin x的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)＝3sin(2x－)，对于选项A，函数g(x)的周期为＝π，即A正确；对于选项B，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即函数g(x)的增区间是(k∈Z)，即B正确；对于选项C，令2x－＝kπ，k∈Z，解得：x＝＋，k∈Z，即函数g(x)的对称中心为，k∈Z，即C正确；对于选项D，令2x－＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，即函数g(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，即选项D错误.综上可得选项A，B，C正确，故选ABC. 12.把函数y＝cos的图象向右平移φ个单位长度，所得到的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：将y＝cos的图象向右平移φ个单位长度，得y＝cos的图象， 因为y＝cos的图象关于y轴对称， 所以cos＝±1. 所以φ－＝kπ，k∈Z. 当k＝－1时，φ取得最小正值. 学生用书⬇第143页 学科网（北京）股份有限公司 $