5.3.2 正切函数的图象与性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦正切函数的图象与性质核心知识点，系统梳理“三点两线法”画图象，定义域、值域、周期、奇偶性、单调性等性质，通过整体代换实现从基础函数到正切型函数的拓展，构建知识递进的学习支架。 资料以问题驱动培养数学思维与运算素养，如判断正误辨析定义域误区，比较大小题用诱导公式转化角培养逻辑推理，探究点结合二次函数求值域提升运算能力。课中辅助教师教学，课后分层评价助力学生查漏补缺。

5.3.2　正切函数的图象与性质 学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质. 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题，培养直观想象和数学运算核心素养. 知识点　正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小 正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间(k∈Z)上单调递增 [点拨]　(1)画正切函数y＝tan x，x∈图象常用“三点两线法”.找三个关键点：，(0，0)，，两条平行线：x＝，x＝－. (2)正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间(k∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间(k∈Z)上是增函数，但不能说函数y＝tan x在定义域内是增函数. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R. (　　) (2)正切函数在R上是递增的. (　　) (3)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心. (　　) (4)正切函数的最小正周期为π. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.函数f(x)＝－tan x在［－，］上的值域是(　　) A.[－，－1] B.[－，1] C.[－1， ] D.[1， ] 答案：B 解析：f(x)＝－tan x在上是减函数，函数值域为，即[－，1].故选B. 3.函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案：B 解析：令－＋kπ＜－＜＋kπ(k∈Z)，解得2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为(k∈Z). 4.比较大小：tan　　　　tan. 答案：＜ 解析：tan＝tan，且0＜＜＜， 又y＝tan x在上单调递增， 所以tan＜tan，即tan＜tan. 学生用书⬇第138页 探究点一　正切(型)函数的定义域与值域 (1)求函数y＝3tan 的定义域； (2)求函数y＝tan2x－2tan x的值域. 解：(1)令－≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z， 即函数的定义域为. (2)令u＝tan x，因为｜x｜≤，所以由正切函数的图象知u∈[－， ]， 所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－， ]， 因为该二次函数的图象开口向上，图象的对称轴方程为u＝1， 所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，所以原函数的值域为[－1，3＋2 ]. 1.求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x的取值范围. 2.求正切函数值域的方法 (1)对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域. (2)对于与y＝tan x有关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域. 对点练1.函数y＝3tan(π＋x)的值域为　　　　. 答案：(－3， ] 解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tan x，因为正切函数在上是增函数，所以－3＜y≤，所以值域为(－3， ]. 对点练2.函数y＝lg(－tan x)的定义域为　　　　　　　　. 答案： 解析：因为－tan x＞0，所以tan x＜. 又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z). 根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z). 所以函数的定义域是. 探究点二　正切(型)函数的周期性与奇偶性 已知函数y＝tan(ω＜0)的周期为，求该函数的定义域、值域，并判断奇偶性. 解：因为y＝tan＝tan(ωx＋＋π)＝tan， 所以＝， 所以ω＝－2， 故y＝tan＝－tan. 由2x－≠kπ＋(k∈Z)， 解得x≠＋(k∈Z)， 所以该函数的定义域为，值域为R. 由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数. 正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 1.一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期. 2.判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则 该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系. 对点练3.函数f(x)＝x·tan x的奇偶性为(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 答案：B 解析：函数的定义域为，关于原点对称.又f(－x)＝(－x)tan(－x)＝xtan x＝f(x)，故函数为偶函数.故选B. 对点练4.若函数f(x)＝2tan的最小正周期为4π，则ω＝　　　　. 答案：± 解析：由正切型函数周期公式知4π＝， 故ω＝±. 学生用书⬇第139页 探究点三　正切(型)函数的单调性 (1)比较大小：tan=和tan； (2)求函数y＝3tan的单调区间. 解：(1)因为tan＝－tan＝tan， tan＝－tan＝tan， 又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增， 所以tan＜tan. 即tan＞tan. (2)由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－＜x＜2kπ＋π(k∈Z)， 所以函数y＝3tan的单调递增区间是(k∈Z). 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用正切函数单调性比较大小关系. 2.求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可. (2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可. 对点练5.比较大小. (1)tan与tan； (2)tan 126°与tan 496°. 解：(1)因为y＝tan x在上是增函数，－＜－＜－＜， 所以tan＜tan. (2)因为tan 496°＝tan 136°，当90°＜x＜270°时，y＝tan x是增函数，又270°＞136°＞126°＞90°， 所以tan 136°＞tan 126°， 即tan 496°＞tan 126°. 对点练6.函数y＝tan的单调递减区间为　　　　　　　　. 答案：(k∈Z) 解析：y＝tan＝－tan. 由－＋kπ＜3x－＜＋kπ(k∈Z)， 得－＋＜x＜＋(k∈Z). 所以函数y＝tan的单调递减区间为(k∈Z). 1.函数f(x)＝｜tan 2x｜是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 答案：D 解析：f(－x)＝｜tan(－2x)｜＝｜tan 2x｜＝f(x)为偶函数，结合y＝tan 2x的图象可知最小正周期T＝. 2.函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π 答案：B 解析：函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝. 3.比较大小：tan　　　　tan. 答案：＜ 解析：因为tan＝－tan， tan＝－tan， 又0＜＜＜，y＝tan x在［0，)上是增函数， 所以tan＞tan， 所以－tan＜－tan， 即tan＜tan. 4.求函数y＝tan的单调区间及最小正周期. 解：y＝tan＝－tan ， 令－＋kπ＜x－＜＋kπ(k∈Z)， 得－π＋4kπ＜x＜3π＋4kπ，k∈Z， 所以函数y＝tan的单调递减区间是(－π＋4kπ，3π＋4kπ)(k∈Z). 最小正周期T＝＝4π. 课时分层评价39　正切函数的图象与性质 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.函数y＝tan 的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：令2x－≠＋kπ，k∈Z， 则x≠＋，k∈Z， 所以函数的定义域为.故选A. 2.下列命题正确的是(　　 ) A.y＝tan x为增函数 B.y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为 C.在x∈[－π，π]上y＝tan x是奇函数 D.在上y＝tan x的最大值是1，最小值为－1 答案：D 解析：函数y＝tan x在定义域内不具有单调性，故A错误；函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，故B错误；当x＝－时，y＝tan x无意义，故C错误；由正切函数的图象可知D正确. 3.函数y＝tan x的值域是(　　) A.(－1，1) B. C.(－1，) D.[－1， ] 答案：C 解析：因为函数y＝tan x在上单调递增，且tan＝，tan＝－1， 所以函数的值域是(－1，).故选C. 4.函数y＝tan 在一个周期内的图象是(　　) 答案：A 解析：当x＝时，tan＝0，故排除C，D；当x＝时，tan＝tan ，无意义，故排除B.故选A. 5.(多选)与函数y＝tan的图象不相交的直线是(　　) A.x＝ B.x＝－ C.x＝ D.x＝－ 答案：AD 解析：令2x－＝＋kπ，k∈Z， 得x＝＋，k∈Z， 所以直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan的图象不相交，结合选项可知A、D符合.故选AD. 6.比较大小：tan 　　　　tan . 答案：＜ 解析：tan ＝tan＝tan . 因为y＝tan x在上是增函数且0＜＜＜， 所以tan ＜tan ，即tan ＜tan . 7.函数y＝tan的最小正周期是　　　　，单调递增区间是　　　　　　　　. 答案：　，k∈Z 解析：因为y＝tan，所以T＝. 令－＋kπ＜3x＋＜＋kπ，k∈Z， 得－＜x＜＋，k∈Z， 所以函数y＝tan，k∈Z. 8.已知函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈，则其值域为　　　　. 答案：[－4，4] 解析：因为－≤x≤， 所以－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1，1]，y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5，易知y＝－t2＋4t＋1在[－1，1]上单调递增， 所以当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4；当t＝1，即x＝时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4，4]. 9.(10分)根据正切函数的图象，写出使不等式3＋tan 2x≥0成立的x的取值集合. 解：因为3＋tan 2x≥0，所以tan 2x≥－. 如图所示，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝tan x，x∈的图象和直线y＝－. 由图得，在区间内，不等式tan x≥－， 所以在函数y＝tan x的定义域{x｜x≠kπ＋，k∈Z}内，不等式tan x≥－的解集是{x≤x＜kπ＋，k∈Z}. 令kπ－≤2x＜kπ＋(k∈Z)，得－≤x＜＋(k∈Z)， 所以使不等式3＋tan 2x≥0成立的x的取值集合是. 10.(10分)已知函数f(x)＝3tan. (1)求f(x)的定义域、值域； (2)探究f(x)的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性. 解：(1)令x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋2kπ，k∈Z， 所以f(x)的定义域为，值域为R. (2)易得f(x)为周期函数，且最小正周期T＝＝2π. f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 令－＋kπ＜x－＜＋kπ，k∈Z，得－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间. 令x－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的图象的对称中心是(k∈Z). (11、12每小题5分，共10分) 11.函数y＝cos x·｜tan x｜的大致图象是(　　) 答案：C 解析：依题意， y＝cos x·｜tan x｜＝由此判断出正确的选项为C.故选C. 12.已知x∈，则函数y＝＋2tan x＋1的最小值为　　　　，取最小值时相应的x的值为　　　　. 答案：1　－ 解析：y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1. 因为x∈， 所以tan x∈[－，1]. 当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1. 学生用书⬇第140页 学科网（北京）股份有限公司 $