5.3.1 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数的性质这一核心知识点，先通过周期函数定义及最小正周期概念搭建基础，再结合图象系统梳理定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值与对称性，形成从概念到性质应用的学习支架，辅以知识点点拨和例题解析。 资料以数学抽象、逻辑推理等核心素养为导向，设计“探究点-方法总结-对点练”环节，如用整体代换求单调区间培养数学抽象能力，比较函数值大小时结合诱导公式提升运算素养。课中助力教师高效授课，课后学生可通过分层练习和错题解析查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　正弦函数、余弦函数的性质 学习目标 1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期，培养数学抽象核心素养. 2.会根据之前所学结合三角函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性，提高直观想象核心素养. 3.能够利用三角函数的性质解决一些简单的三角问题，培养逻辑推理及数学运算核心素养. 知识点一　函数的周期性 1.周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)＝f(x)，则称函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期. 2.最小正周期：如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期. [点拨]　(1)对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求. (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的周期常用公式T＝来求. 知识点二　正弦函数、余弦函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单 调 性 增 区 间 ［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z) [－π＋2kπ，2kπ](k∈ Z) 减 区 间 (k∈Z) [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴方程：x＝kπ＋(k∈Z) 对称中心：(k∈Z) 对称轴方程：x＝kπ(k∈Z) [点拨]　(1)若函数的定义域不是R，则一定要在给定区间内结合单调性求其值域与最值. (2)利用函数y＝sin x和y＝cos x的值域和最值，可以求出由它们复合而成的函数的值域和最值. (3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值. (4)正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.特别地，对称中心的横坐标即函数的零点. (5)判断正弦函数、余弦函数的奇偶性，关键是确定f(x)与f(－x)的关系，但前提是其定义域必须关于原点对称. 学生用书⬇第134页 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在区间[0，3π]上，函数y＝cos x仅在x＝0时取得最大值1. (　　) (2)正弦函数在第一象限是增函数. (　　) (3)存在实数x，使得cos x＝. (　　) (4)余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　) A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.c＞a＞b 答案：B 解析：因为a＝sin 33°＜b＝sin 35°，c＝tan 35°＝＞sin 35°＝b，所以c＞b＞a，故选B. 3.函数y＝sin(－2x＋)的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案：D 解析：函数y＝sin＝－sin的单调递增区间是函数y＝sin的单调递减区间. 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数y＝sin＝－sin的单调递增区间为，k∈Z，故选D. 4.函数y＝3cos在x＝　　　　时，y取最大值. 答案：4kπ＋(k∈Z) 解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z). 探究点一　正弦、余弦函数的单调区间 求下列函数的单调区间. (1)f(x)＝2＋cos； (2)f(x)＝2sin. 解：(1)令z＝＋，函数y＝2＋cos z的单调递减区间和递增区间分别为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)和[π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)，由2kπ≤＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z). 故函数的单调递减区间是(k∈Z). 由2kπ＋π≤＋≤2kπ＋2π(k∈Z)， 得4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z). 故函数的单调递增区间是(k∈Z). (2)令z＝2x－，函数y＝2sin z的单调递增区间和递减区间分别为(k∈Z)和(k∈Z)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z). 故函数的单调递增区间是(k∈Z). 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z). 故函数的单调递减区间是(k∈Z). 求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧 1.数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. 2.整体代换：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω＜0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数. 对点练1.求函数y＝2sin的单调区间. 解：因为y＝2sin＝－2sin， 所以函数y＝－2sin的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定. 2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， ① 2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z). ② 解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 解②得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z). 故函数y＝2sin(－x)的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z). 学生用书⬇第135页 探究点二　正弦、余弦函数单调性的应用 比较下列各组值的大小. (1)sin与sin； (2)sin与cos 5. 解：(1)sin＝sin＝sin， sin＝sin＝sin. 因为y＝sin x在上单调递增， 且0＜＜＜， 所以sin＜sin，所以sin＜sin. (2)cos 5＝cos(2π－5)，sin ＝cos . 因为y＝cos x在上递减， 且0＜2π－5＜－＜， 所以cos(2π－5)＞cos， 所以cos 5＞sin. 三角函数值大小比较的策略 1.不同名的函数化为同名的函数. 2.自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小. 3.利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内. 对点练2.比较下列各组数的大小. (1)sin 250°与sin 260°； (2)cos与cos. 解：(1)因为函数y＝sin x在上单调递减，且90°＜250°＜260°＜270°， 所以sin 250°＞sin 260°. (2)cos＝cos ＝cos， cos＝cos ＝cos. 因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减， 且0＜＜＜π， 所以cos＞cos， 所以cos＞cos. 探究点三　正、余弦(型)函数的值域与最值 求下列函数的最值，并求函数取最值时，相应x的值. (1)y＝3sin； (2)y＝1＋cos，x∈. 解：(1)当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)， 即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝3； 当2x＋＝2kπ－(k∈Z)， 即x＝kπ－(k∈Z)时，ymin＝－3. (2)因为x∈， 所以2x＋∈. 所以－≤cos≤1. 当2x＋＝0即x＝－时，函数取最大值，ymax＝1＋1＝2. 当2x＋＝，即x＝时，函数取最小值，ymin＝－＋1＝. 三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法 1.形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论. 2.形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值. 3.形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定. 对点练3.求函数y＝cos2x－sin x，x∈的最值. 解：y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x ＝－2＋. 因为－≤x≤，－≤sin x≤， 所以当x＝－，即sin x＝－时， 函数取得最大值，ymax＝； 当x＝，即sin x＝时， 函数取得最小值，ymin＝－. 学生用书⬇第136页 探究点四　三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝. 解：(1)显然x∈R，f(x)＝cos x，因为f(－x)＝cos＝cos x＝f(x)，且f(－x)＝f(x). 所以f(x)是偶函数. (2)由得－1＜sin x＜1， 解得定义域为， 所以f(x)的定义域关于原点对称. 又因为f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x) 所以f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]. ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). 所以f(x)为奇函数. (3)因为1＋sin x≠0，所以sin x≠－1， 所以x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. 因为定义域不关于原点对称， 所以该函数是非奇非偶函数. 判断函数奇偶性的方法 对点练4.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝cos＋x2sin x； (2)f(x)＝＋. 解：(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x， 因为x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数. (2)由得cos x＝. 所以f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z. 即f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. 1.函数f(x)＝sin的一个单调递减区间是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，当k＝0时，x∈，故选D. 2.当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有(　　) A.最大值1，最小值－1 B.最大值1，最小值－ C.最大值2，最小值－2 D.最大值2，最小值－1 答案：D 解析：因为－≤x≤，所以－≤x＋≤.所以－≤sin≤1.所以－1≤f(x)≤2，所以f(x)的最大值为2，最小值为－1. 3.函数y＝－2sin＋1的单调递减区间为　　　　　　　　. 答案：，k∈Z 解析：求函数y＝－2sin＋1的单调递减区间即求函数y＝2sin－1的单调递增区间， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝－2sin＋1的单调递减区间为，k∈Z. 4.求下列函数的最大值和最小值. (1)f(x)＝sin，x∈； (2)f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈. 解：(1)当x∈时， 2x－∈，由函数图象知，(图略) f(x)＝sin∈ ＝. 所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－. (2)f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3 ＝2sin2x＋2sin x＋1 ＝22＋. 因为x∈，所以≤sin x≤1. 当sin x＝1时，ymax＝5； 当sin x＝时，ymin＝. 所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为5，. 课时分层评价38　正弦函数、余弦函数的性质 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是(　　 ) A.　　　　　　 B.(－π，0] C. D.(－π，π) 答案：B 解析：y＝cos x在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a∈(－π，0]. 2.函数y＝cos图象的一条对称轴方程是(　　) A.x＝－ B.x＝－ C.x＝－ D.x＝π 答案：C 解析：令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－＋，k∈Z.当k＝0时，x＝－.故选C. 3.函数y＝cos的单调递减区间是(　　 ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案：A 解析：y＝cos＝cos， 令2kπ≤3x－≤2kπ＋π， 解得＋≤x≤＋，k∈Z.故选A. 4.下列关系式中正确的是(　　) A.sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B.sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C.sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D.sin 168°＜cos 10°＜sin 11° 答案：C 解析：由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，因为当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝sin x是单调递增的，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 5.函数y＝sin图象的一条对称轴是(　　) A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝ 答案：C 解析：对于A：将x＝－代入2x＋＝＋kπ(k∈Z)可得k＝－∉Z，故x＝－不是函数的对称轴，故选项A不正确； 对于B：将x＝－代入2x＋＝＋kπ(k∈Z)可得k＝－∉Z，故x＝－不是函数的对称轴，故选项B不正确； 对于C：将x＝代入2x＋＝＋kπ(k∈Z)可得k＝0∈Z，故x＝是函数的对称轴，故选项C正确； 对于D：将x＝代入2x＋＝＋kπ(k∈Z)可得k＝∉Z，故x＝不是函数的对称轴，故选项D不正确；故选C. 6.函数值sin ，sin ，sin 从大到小的顺序为　　　　　　　　(用“＞”连接). 答案：sin ＞sin ＞sin 解析：因为＜＜＜＜π，又函数y＝sin x在上单调递减， 所以sin ＞sin ＞sin . 7.不等式sin≥的解集为　　　　. 答案： 解析：作函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象(图略). 由图象知sin＝sin ＝，又y＝sin x的周期为2π，所以sin α≥的解集为.令2x＋＝α，可得不等式的解集为. 8.函数y＝2sin(－2x)＋1的单调递增区间为　　　　　　　　. 答案：，k∈Z 解析：方法一：y＝2sin＋1＝2sin＋1＝2sin＋1， 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ－，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为，k∈Z. 方法二：函数y＝2sin x的单调递减区间为，k∈Z，y＝－2x是单调减函数，因此由复合函数的单调性可知，求y＝2sin(－2x)＋1的单调递增区间，即求＋2kπ≤－2x≤＋2kπ，k∈Z的解集. 解之可得，－－kπ≤x≤－－kπ，k∈Z　①，由k的任意性可知，①式等价于kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以y＝2sin(－2x)＋1的单调递增区间为，k∈Z. 9.(10分)比较下列各组数的大小： (1)sin 220°与sin 230°； (2)cos 与sin ； (3)sin 与cos . 解：(1)因为函数y＝sin x在上单调递减，且90°＜220°＜230°＜270°， 所以sin 220°＞sin 230°. (2)sin ＝sin＝cos， cos ＝cos＝cos . 因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0＜＜＜π，所以cos ＞cos ，即cos ＞sin . (3)sin＝sin ＝－sin ， cos＝cos ＝－cos ＝－sin . 因为函数y＝sin x在上单调递增，且－＜＜＜， 所以sin ＜sin ， 所以－sin ＞－sin . 即sin＞cos. 10.(10分)求下列函数取最大值和最小值时x的取值，并求出函数最大值和最小值. (1)y＝2－sin ； (2)y＝3cos. 解：(1)因为y＝sin x∈[－1，1]，所以当sin ＝1时，函数取得最小值ymin＝2－1＝1，此时＝＋2kπ，k∈Z，即x＝4kπ＋π，k∈Z， 当sin ＝－1时，函数取得最大值ymax＝2＋1＝3，此时＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝4kπ－π，k∈Z， 所以当x＝4kπ－π，k∈Z时，y取最大值3；当x＝4kπ＋π，k∈Z时，y取最小值1. (2)当cos＝1，函数取得最大值ymax＝3，此时2x－＝2kπ，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z， 当cos＝－1，函数取得最小值ymin＝－3，此时2x－＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝kπ＋π，k∈Z， 所以当x＝kπ＋，k∈Z时，y取最大值3； 当x＝kπ＋π，k∈Z时，y取最小值－3. (11、12每小题5分，共10分) 11.定义函数max{f(x)，g(x)}＝则max{sin x，cos x}的最小值为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：C 解析：根据题中定义，可知max{sin x，cos x}＝则该函数图象如图所示： 由图可知所求最小值为－，故选C. 12.函数y＝sin x的图象和y＝的图象的交点个数是　　　　. 答案：3 解析：函数y＝sin x的图象和y＝的图象关于原点对称，且原点是其中的一个交点(如图所示)，当x＞0时，当x＝时，y＝sin x＝1，y＝＝＜1；当x＝时，y＝sin x＝1，y＝＝＞1，故只有1个交点，根据对称性，当x＜0时也只有1个交点，所以交点为3个. 学生用书⬇第137页 学科网（北京）股份有限公司 $