5.3.1 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数的图象这一核心知识点，系统梳理利用单位圆作图象的方法，重点讲解“五点法”作图的关键五点坐标及定义域、值域等基本性质，为后续学习三角函数性质奠定基础。 通过“五点法”作图步骤的详细呈现，结合列表描点培养学生直观想象核心素养，利用图象解决定义域、方程解的个数等问题发展数学思维，课中助力教师引导学生动手操作，课后分层评价帮助学生查漏补缺。

5.3　三角函数的图象与性质 5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的图象 学习目标 1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法. 2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象. 3.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题，培养直观想象核心素养. 知识点　正弦函数、余弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 图象 画法 五点法 五点法 关键 五点 (0，0)，， (π，0)，， (2π，0) (0，1)，， (π，－1)，， (2π，1) 学生用书⬇第131页 [点拨]　(1)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的大致图象；若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象. (2)将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称. (　　) (2)函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同. (　　) (3)余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点. (　　) (4)函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状和位置都不一样. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　) A.0，，π，，2π B.0，，，，π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， 答案：B 解析：由五点作图法，令2x＝0，，π，，2π，解得x＝0，，，，π. 3.在[0，2π]上，函数y＝的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图所示.由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是，故选B. 4.函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有　　　　个. 答案：2 解析：在同一平面直角坐标系中作函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝－如图所示，由图知两函数图象有2个交点. 探究点一　用“五点法”作函数简图 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]； (2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]. 解：(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. (2)按五个关键点列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. “五点法”作函数简图的一般步骤 对点练1.用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝2－sin x，x∈[0，2π]； (2)y＝－1－cos x(0≤x≤2π). 解：(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2－sin x 2 1 2 3 2 在直角坐标系中描出五个点(0，2)，，(π，2)，，(2π，2)，然后用光滑曲线将这些点顺次连接起来，就得到y＝2－sin x，x∈[0，2π]的图象，如图所示. (2)按五个关键点列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图所示. 学生用书⬇第132页 探究点二　正、余弦函数图象的应用 (1)画出正弦函数y＝sin x(x∈R)的简图，并根据图象写出y≥时x的集合； (2)求方程sin x＋2｜sin x｜－｜log2x｜＝0的解的个数. 解：(1)在[0，2π]内由五点法作出y＝sin x的图象并延长，如图所示. 过点作x轴的平行线，当sin x＝时，x＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)， 从图象可看出，y＝在区间[0，2π]上与正弦曲线交于点，， 所以在区间[0，2π]内，y≥时x的集合为， 所以当x∈R，y≥时， x的集合为. (2)由方程sin x＋2｜sin x｜－｜log2x｜＝0，得sin x＋2｜sin x｜＝｜log2x｜.令f(x)＝sin x＋2｜sin x｜， g(x)＝｜log2x｜，在同一坐标系内作出f(x)＝sin x＋2｜sin x｜＝和g(x)＝｜log2x｜的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解. 利用三角函数图象解sin x＞a (或cos x＞a)的三个步骤 1.作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象. 2.确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值. 3.确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集. [提醒]　解三角不等式sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集. 对点练2.根据y＝sin x(x∈R)的简图写出＜y≤时x的集合. 解：首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象，如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]图象的交点的横坐标为. 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]图象的交点的横坐标为. 观察图象可知，在[0，2π]上，当＜x≤≤x＜时，不等式＜y≤成立. 所以＜y≤的解集为{x＋2kπ＜x≤＋2kπ或＋2kπ≤x＜＋2kπ，k∈Z}. 1.函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是(　　) 答案：B 解析：y＝sin(－x)＝－sin x与y＝sin x关于x轴对称. 2.不等式sin x＞0，x∈[0，2π]的解集为(　　) A.[0，π] B.(0，π) C. D. 答案：B 解析：由y＝sin x在[0，2π]的图象可得. 3.方程x2＝cos x的实数解的个数为　　　　. 答案：2 解析：作函数y＝cos x与y＝x2的图象如图所示，由图象可知原方程有2个实数解. 4.求函数y＝的定义域. 解：由2sin x－1≥0得sin x≥， 画出y＝sin x的图象和直线y＝. 可知sin x≥的解集为y＝sin x图象与直线y＝的交点及上方部分的集合，即函数定义域为{x｜＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}. 课时分层评价37　正弦函数、余弦函数的图象 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.用“五点法”作函数y＝2cos x－1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为(　　) A.(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1) B.(0，1)，，(π，－3)，，(2π，1) C.(0，1)，(π，－3)，(2π，1)，(3π，－3)，(4π，1) D.(0，1)，，，，(，－2) 答案：B 解析：由“五点法”作图可知B正确. 2.(多选)下列x的取值范围能使cos x＞sin x成立的是(　　) A. B. C. D.∪ 答案：AC 解析：在同一平面直角坐标系中画出y＝sin x，y＝cos x在[0，2π]内的图象， 在[0，2π]内，当cos x＝sin x时，x＝，结合图象可知，满足cos x＞sin x的x的取值范围是.故选AC. 3.“α＝－＋2kπ(k∈Z)”是“sin α＝－”的(　　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由“sin α＝－”，得“α＝－＋2kπ或α＝－＋2kπ(k∈Z)”.故“α＝－＋2kπ(k∈Z)”是“sin α＝－”的充分不必要条件.故选A. 4.方程10sin x＝x的根的个数是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：C 解析：方程10sin x＝x的根的个数，即函数y＝sin x与y＝的图象的交点的个数. 作出函数y＝sin x和y＝在[0，4π]上的图象，如图所示： 由图象可知y＝sin x与y＝的图象在[0，＋∞)上有4个交点， 根据函数图象的对称性可知y＝sin x与y＝的图象在(－∞，0)上有3个交点， 所以y＝sin x与y＝的图象共有7个交点，即方程10sin x＝x有7个根.故选C. 5.下列函数中：①y＝sin x－1；②y＝｜sin x｜；③y＝－cos x；④y＝；⑤y＝.与函数y＝sin x形状完全相同的有(　　 ) A.②④ B.①③ C.①④ D.②③ 答案：B 解析：y＝sin x－1是将y＝sin x向下平移1个单位，没有改变形状；y＝－cos x＝sin，故y＝－cos x是将y＝sin x向右平移个单位，没有改变形状，与y＝sin x形状相同，所以①③完全相同，而②y＝｜sin x｜，④y＝＝｜cos x｜和⑤y＝＝｜sin x｜与y＝sin x的形状不相同. 6.函数y＝的定义域是　　　　. 答案：{x｜2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z} 解析：由题意可得， 即所以0＜sin x≤1， 由正弦函数图象可得{x｜2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}. 7.在[0，2π]内，使sin x≥－成立的x的取值范围是　　　　. 答案：∪ 解析：画出y＝sin x，y＝－在[0，2π]上的图象，如图， 观察图象可得不等式sin x≥－∪. 8.函数y＝sin x的图象与函数y＝cos x的图象在[0，2π]内的交点坐标为　　　　. 答案：和 解析：在同一坐标系内画出两函数的图象(图略)，易知，交点坐标为. 9.(10分)用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在[0，2π]内的图象. 解：按五个关键点列表如下： x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，可得y＝3＋2cos x在[0，2π]内的图象，如图所示. 10.(10分)作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： ①sin x＞0；②sin x＜0. (2)直线y＝与y＝－sin x，x∈[－π，π]的图象有几个交点？ 解：利用“五点法”作图，如图. (1)根据图象可知在x轴上方的部分－sin x＞0，在x轴下方的部分－sin x＜0，所以当x∈(－π，0)时，sin x＜0； 当x∈(0，π)时，sin x＞0. (2)画出直线y＝，由图象知有两个交点. (11、12每小题5分，共10分) 11.在(0，2π)内使sin x＞｜cos x｜的x的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 答案：A 解析：因为sin x＞｜cos x｜， 所以sin x＞0， 所以x∈(0，π)， 在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝｜cos x｜，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.故选A.] 12.函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是　　　　. 答案：4π 解析：如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π. 学生用书⬇第133页 学科网（北京）股份有限公司 $