5.2.1 任意角三角函数的定义-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦任意角三角函数的定义这一核心知识点，从初中锐角三角函数扩展到任意角，通过终边上点的坐标比值定义sinα、cosα、tanα，结合单位圆引入三角函数线，构建“定义-符号-定义域-应用”的学习支架，涵盖定义辨析、符号判断、定义域求解及三角函数线比较大小、解不等式等内容。 资料突出数学抽象、直观想象与数学运算核心素养，以单位圆为载体，将抽象定义转化为直观三角函数线，如利用正弦线、余弦线比较大小和解不等式。例题与对点练结合，课时分层评价兼顾课中教学与课后巩固，助力学生深化理解，弥补知识盲点。

5.2　任意角的三角函数 5.2.1　任意角三角函数的定义 学习目标 1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并会判断给定角的三角函数值的符号，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 2.掌握三角函数线，并能运用三角函数线解决相关问题，培养数学运算的核心素养. 知识点一　用比值定义三角函数 1.三角函数的定义 如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)定义：sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中r＝. 以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切. 依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的比值和与之对应；当α≠＋kπ(k∈Z)时，它有唯一确定的比值与之对应，因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数.y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数，余弦函数，正切函数.以上三种函数统称为三角函数. 2.三角函数的定义域 三角函数 定义域 y＝sin α R y＝cos α R y＝tan α [点拨]　(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. (2)要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的. 知识点二　用有向线段表示三角函数 1.三角函数线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段DP、OD、AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sin α＝DP，cos α＝OD，tan α＝AT.正弦线、余弦线、正切线统称三角函数线. 学生用书⬇第118页 2.三角函数值的符号 如图所示： 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关. (　　) (2)若sin α＞0，则α是第一或第二象限的角. (　　) (3)若角α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上异于原点的一点，则cos α＝ . (　　) (4)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝，则x等于(　　) A. B.± C.－ D.－ 答案：D 解析：由三角函数的定义，得cos α＝＝ .因为点P(x，)在第二象限内，所以x＜0，所以x＝－. 3.角α的终边经过点P(－b，4)且cos α＝－，则b的值为(　　) A.3 B.－3 C.±3 D.5 答案：A 解析：r＝，cos α＝＝＝－，所以b＞0且b＝3. 4.集合A＝[0，2π]，B＝{α｜sin α＜cos α}，则A∩B＝　　　　. 答案：∪ 解析：根据正弦线，余弦线的定义可得如图. 由sin α＜cos α可得， B＝∪. 所以A∩B＝∪. 探究点一　三角函数的定义及应用 (1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　) A.－ B.－ C. D. (2)设a＜0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a，4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)因为角α，β的终边与单位圆分别交于点， 故由定义知sin α＝，cos β＝－， 所以sin αcos β＝×＝－. (2)因为点P在单位圆上，则｜OP｜＝1. 即＝1，解得a＝±. 因为a＜0，所以a＝－. 所以P点的坐标为. 所以sin α＝－，cos α＝. 所以sin α＋2cos α＝－＋2×＝. 　　利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况： 1.若已知角α终边上一点P(x，y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). 2.若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上的点，则首先求r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 3.终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解. 对点练1.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点P(－1，3)在角α的终边上，则＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：D 解析：直接利用三角函数的定义，求出正余弦值，代入求解即可. 由题意得sin α＝，cos α＝－，所以＝＝.故选D. 探究点二　三角函数的定义域 求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝＋. 解：(1)要使函数有意义，需tan x≠0， 所以x≠kπ＋，k∈Z且x≠kπ，k∈Z， 所以x≠，k∈Z. 于是函数的定义域是. (2)要使函数有意义，需 得 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z. 所以函数的定义域是 . 学生用书⬇第119页 　　求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：①分母不为零；②偶次根号 下大于等于零；③对数函数中真数大于零，底数大于零且不等于1. 对点练2.函数y＝的定义域为　　　　. 答案：∪，k∈Z 解析：要使函数有意义， 需 其中k∈Z， 故x∈∪，k∈Z. 即函数y＝∪，k∈Z. 探究点三　利用三角函数线比较大小 分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 和sin ，cos 和cos ，tan 和tan 的大小. 解：如图，sin ＝MP，cos ＝OM，tan ＝AT， sin ＝M'P'，cos ＝OM'，tan ＝AT'. 显然｜MP｜＞｜M'P'｜，符号皆正， 所以sin ＞sin ； ｜OM｜＜｜OM'｜，符号皆负，所以－cos ＜－cos ， 即cos ＞cos ； ｜AT｜＞｜AT'｜，符号皆负，所以－tan ＞－tan ， 即tan ＜tan . 利用三角函数线比较三角函数值大小的步骤 1.角的位置要“对号入座”； 2.比较三角函数线的长度； 3.确定有向线段的正负. 对点练3.sin π，cos π，tan π从小到大的顺序是　　　　　　　　. 答案：cos π＜sin π＜tan π. 解析：分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知： cos π＜0，tan π＞0，sin π＞0. 因为｜MP｜＜｜AT｜， 所以sin π＜tan π. 故cos π＜sin π＜tan π. 探究点四　利用三角函数线解不等式 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围. (1)sin θ≥； (2)－≤cos θ＜. 解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即 ≤θ≤2kπ. (2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即 ≤θ＜2kπ＋，或2kπ＋＜θ≤2kπ＋. 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上2kπ(k∈Z)； (2)注意区间是开区间还是闭区间. 对点练4.在[0，2π]上，满足sin x≥的x的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：在[0，2π]上满足sin x≥，由三角函数线可知，满足sin x≥的解如图中阴影部分.故选B. 学生用书⬇第120页 1.若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D 解析：由α是第三象限角知sin α＜0，因此P(2，sin α)在第四象限，故选D. 2.在平面直角坐标系xOy中，角α和角β的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称，若cos α＝，则cos β＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：B 解析：根据三角函数的定义可求. 设α的终边上有一点(x，y)，则cos α＝＝， 因为角α和角β的终边关于y轴对称，则(－x，y)是角β终边上一点， 所以cos β＝＝－.故选B. 3.已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＝　　　　. 答案：± 解析：易知角α的终边在第一象限或第三象限， 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取一点P(1，1)，则x＝1，y＝1，r＝， 所以sin α＝＝＝； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取一点P'(－1，－1)，则x＝－1，y＝－1，r＝， 所以sin α＝＝＝－. 综上可知，sin α＝或sin α＝－. 4.求函数f(x)＝＋ln 的定义域. 解：由题意，自变量x应满足不等式组 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， 所以函数f(x)的定义域为 课时分层评价33　任意角三角函数的定义 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.若角α的终边过点P(2cos 60°， sin 45°)，则sin α＝(　　 ) A.－ B.－ C. D.－ 答案：C 解析：因为角α的终边过点P(2cos 60°， sin 45°)， 可得P(1，1)， 所以sin α＝ ＝ . 2.已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m，3m)(m＞0)是角α终边上的一点，则sin α＋2cos α＝(　　 ) A.－1 B.－ C.1 D. 答案：A 解析：因为角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合， 点P(－4m，3m)(m＞0)是角α终边上的一点， 所以r＝ ＝5m， 所以sin α＋2cos α＝ ＋2× ＝－1. 3.已知角α的终边经过点(12，－5)，则sin α等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：D 解析：依题意得sin α＝＝－.故选D. 4.已知角α的终边过点P(－3，4)，则sin α＋cos α＝(　　 ) A.　　　　　　　　 B.－ C. D.－ 答案：C 解析：因为r＝ ＝5， 所以sin α＝ ，cos α＝－ ， 所以sin α＋cos α＝－ ＝ . 5.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是(　　 ) A.(－2，3] B.(－2，3) C.[－2，3) D.[－2，3] 答案：A 解析：由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上，所以 解得－2＜a≤3. 6.已知角α的终边经过点P(x，－6)且cos α＝－，则x＝　　　　. 答案：－8 解析：因为｜OP｜＝＝， 所以cos α＝，又cos α＝－， 所以＝－，x＜0，解得x＝－8. 7.函数y＝＋的值域为　　　　. 答案：{－2，0，2} 解析：由函数表达式可知，函数的定义域为，即角x的终边不能落在坐标轴上， 当x是第一象限角时，cos x＞0，tan x＞0，y＝＋＝1＋1＝2； 当x是第二象限角时，cos x＜0，tan x＜0，y＝＋＝－1－1＝－2； 当x是第三象限角时，cos x＜0，tan x＞0，y＝＋＝－1＋1＝0； 当x是第四象限角时，cos x＞0，tan x＜0，y＝＋＝1－1＝0. 综上知原函数的值域是{－2，0，2}. 8.函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域为　　　　　　. 答案：(k∈Z) 解析：要使原函数有意义，必须有 在[0，2π]内，当sin x＝时，x＝； 当cos x＝时，x＝. 如图，在单位圆中作出相应的三角函数线， 由图得 故2kπ＋≤x＜2kπ＋，k∈Z. 所以原函数的定义域为(k∈Z). 9.(10分)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α的值. 解：因为角α的终边在直线3x＋4y＝0上， 所以在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t， r＝＝＝5｜t｜， 当t＞0时，r＝5t， sin α＝＝－＝－，cos α＝＝＝； 当t＜0时，r＝－5t， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－. 综上，可知sin α＝－，cos α＝或sin α＝，cos α＝－. 10.(10分)已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求的终边所在的象限； (3)试判断sincostan的符号. 解：(1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y轴的负半轴上， 因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角， 所以θ为第三象限角，角θ的集合为 . (2)由(1)可得，kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z. 当k是偶数时，的终边在第二象限； 当k是奇数时，的终边在第四象限. (3)由(2)可得 当k是偶数时，sin＞0，cos＜0，tan＜0， 所以sincostan＞0； 当k是奇数时，sin＜0，cos＞0，tan＜0， 所以sincostan＞0. 综上知，sincostan＞0. (11、12每小题5分，共10分) 11.我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618法”，0.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，被我们称为黄金分割率.“0.618法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比的三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形.如图，在其中一个黄金△ABC中，黄金分割比为.试根据以上信息计算sin 18°＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：依题意可知，黄金△ABC是一个顶角为36°的等腰三角形.如图，AB＝AC，＝，∠BAC＝36°，过A作AD⊥BC于D. 则sin 18°＝sin∠DAC＝·＝·＝.故选B. 12.已知A是△ABC的一个内角，且tan A－≥0，则sin A的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为tan A－≥0，所以tan A≥. 易知0＜A＜π，所以当tan A＝，A＝. 作出角的正切线AT，如图所示. 由图可得，当≤A＜时，tan A≥，此时≤sin A＜1，故sin A的取值范围是.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $