5.2.1 任意角三角函数的定义 课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学课件聚焦任意角三角函数的定义及三角函数线，课堂导入先回顾初中锐角三角函数的边比定义，通过“任意角如何定义”的问题驱动，结合终边上点坐标推广至任意角，再借助单位圆简化定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题探究为主线，通过“P点移动时函数值是否改变”等问题培养数学思维（推理意识），利用单位圆将三角函数直观化为坐标（数学眼光：几何直观），典例分析特殊角求值强化应用。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第5章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义 32999 1.借助比值理解任意角三角函数的定义. 2.利用三角函数的定义求角的三角函数值; 3. 利用单位圆,理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关问题. 学习目标 32999 回顾:初中我们是如何定义锐角三角函数的? 思考:结合任意角的推广,想一想,任意角的三角函数应该如何计算? sin = _; cos = _; tan = _; A B C a b c 情景导入 32999 问题1:当是一个锐角时,初中学的正弦、余弦与正切能否通过终边上的点的坐标来定义呢?这种定义的方式能否推广到任意角? P(x,y) x y O M x y r 当 是锐角时,它的终边在第一象限内. 在 终边上任取一个不同于坐标原点的点 P (x,y), 作 PM 垂直于 Ox 于点 M,记 ; 则 OMP 是一个直角三角形,且OM = x,PM = y,OP = r,由此可知: 问题探究 32999 问题2:当 P 沿射线 OP 移动时,角 不变,其三角函数值是否改变? P1 (x1,y1) m 结论:三角函数值与点 P 在终边上的位置无关,只与角大小有关. 因此,可以用角终边上点的坐标来定义三角函数. P(x,y) x y O M r 问题探究 32999 在 终边上任取一点P (x,y),记 r = |OP| ,则称 为角 的正弦,记作 sin ;称 为角 的余弦,记作 cos ; 因此 sin = ,cos = . 当角 的终边不在 y 轴上时,同样可知 与点 P 在 终边上的位置无关,此时称 为角 的正切,记作tan ,即 tan = . x y O P(x,y) 的终边 以角 为自变量的函数, 统称为 的三角函数. 知识梳理 32999 三角函数的定义域 三角函数 定义域 sin cos tan 注意:y 轴上点的横坐标为 0,故角 的终边不能落在 y 轴上. 知识梳理 32999 例1 求下列各角的正弦、余弦、正切. (1)0 (2) (3) 解:(1)角0的终边在x轴正半轴上,在x轴的正半轴上取点(1,0), 所以 , (2)角 的终边在x轴的负半轴上,在x轴的负半轴上取点(-1,0), 因此 . 所以 , 因此 . (3)角 的终边在y轴的负半轴上,在y轴的负半轴上取点(0,-1), 因此 不存在. 所以 , 求任意角 的三角函数的步骤: (1)取 终边上一点 P (x,y) ; (2)求; (3)求,,. 典例分析 32999 问题3:若角 的终边与单位圆的交点为 P,则 的正弦与余弦的表达式有什么变化? 因为 r = = 1,所以 sin = y,cos = x; 所以 点 P (x,y) 的坐标可写成 (cos ,sin ), 即角 的余弦和正弦分别等于角 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标. 问题探究 32999 问题4:如何给出任意角正弦和余弦的一个直观表示? 如图,过 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M, 可以直观地表示,称为角 的余弦线; 可以直观地表示, 称为角 的正弦线. O P (x,y) x M y 若 的终边不在 y 轴上,且 P (x,y) 是 终边上异于原点的任意一点,则 tan = ;取坐标满足 x = 1 的点 P,则 tan = y. 如图,设 的终边与直线 x = 1 交于点 T,则称 为角 的正切线. x y O T A 1 的终边 问题探究 32999 x = 1 思考:若角 是第二象限的角时,能否找到一个垂直于 x 轴的向量,使其数量为? y O 的终边 A1 T1 (-1,y1) A x 取 T1 的坐标为 (-1,y1),则 tan = 追问:能否找到一个以 A 点为起点在过 A 的切线上的向量,使这一向量的数量为 tan ? T′ 角 终边的反向延长线与切线 x = 1 交点为T′, 则 tan = AT′ . 一般结论:角 的正切等于角 的终边或其反向延长线与直线 x = 1的交点的纵坐标;正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 问题探究 32999 回顾:本课关键词“三角函数、三角函数线” , 说说今天学了哪些知识? 课堂总结 32999 $