4.5 函数模型及其应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦函数模型及其应用核心知识点，系统梳理一次、二次、指数、对数、幂函数等模型的解析式，对比不同函数增长差异，明确数学建模四步骤，承接已学基本函数知识，构建从概念到实际应用的学习支架。 通过皮鞋厂产量估算、休闲花园造价等案例，培养数学建模与数据分析素养，引导学生用数学眼光观察问题、用数学思维分析模型适用性。课中助力教师分层教学，课后学生可借练习题巩固建模步骤，提升解决实际问题能力。

4.5　函数模型及其应用 学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题，提升学生数学运算的核心素养. 3.了解拟合函数模型并解决实际问题，培养学生数学建模、数据分析的核心素养. 知识点　函数模型及其应用 1.指数函数、对数函数、幂函数增长速度比较：指数函数最快，对数函数最慢. 2.数学建模的步骤通常是： (1)正确理解并简化实际问题； (2)建立数学模型； (3)求得数学问题的解； (4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性. 3.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例型 函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的. (　　) (2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好. (　　) (3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好. (　　) (4)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义. (　　) (5)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2.下列函数中，增长速度最快的是(　　) A.y＝2 025x B.y＝x2 025 C.y＝log2 025x D.y＝2 025x 答案：A 解析：函数y＝ax在a＞1时呈爆炸式增长，应选A. 3.某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1).若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到(　　) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 答案：A 解析：由题意可得a＝100.当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300. 4.某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝　　　　，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为　　　　. 答案：2ln 2　1 024 解析：由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝， 所以k＝2ln 2，所以y＝e2tln 2. 当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024. 即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 学生用书⬇第104页 探究点一　函数模型的增长差异 (1)下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是　　　　. ①y＝3×1.04x；②y＝20＋x10； ③y＝40＋lg(x＋1)；④y＝80. (2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是　　　　. 答案：(1)①　(2)y2 解析：(1)结合四类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①. (2)以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化. 几类不同增长的函数模型 1.增长速度不变的函数模型是一次函数模型. 2.增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型. 3.增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. 对点练1.下面对函数f(x)＝lox，g(x)＝与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　) A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢 D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 答案：C 解析：观察函数f(x)＝lox，g(x)＝与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知： 函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢. 探究点二　几种函数模型的比较选取 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份为x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？ 解：由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这4个数据. ①设模拟函数为y＝ax＋b， 将B，C两点的坐标代入函数式， 得y＝0.1x＋1. 由此可得结论：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月增加1 000双，这是不太可能的. ②设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c，将A，B，C三点的坐标代入函数式， 得 所以y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7. 结论：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际. ③设模拟函数为y＝abx＋c， 将A，B，C三点的坐标代入函数式， 得 由(a)得ab＝1－c，代入(b)(c)， 得 则 则a＝＝－0.8， 所以y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论：把x＝4代入，得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性.经过筛选，以y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而y＝－0.8×0.5x＋1.4恰好反映了这种趋势. 因此选用指数型函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际. 由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法 　　根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，图象呈直线上升的函数是一次函数. 对点练2.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； 学生用书⬇第105页 (2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较. 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当0＜x＜x1时，g(x)＞f(x)； 当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)； 当x＞x2时，g(x)＞f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x). 探究点三　建立函数模型解决实际问题 某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200 m2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/m2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/m2. (1)设AD的长为x m，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式； (2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值. 解：(1)设AM＝y m， 则x2＋4xy＝200，所以y＝. 故Q＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38 000＋4 000x2＋(0＜x＜10). (2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4 000×，且0＜t＜200. 因为函数u＝t＋在(0，10]上单调递减，在[10，200)上单调递增，所以当t＝10时，umin＝20. 故当x＝时，总造价最少，最少为118 000元. 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下： ①能够根据原始数据、表格，绘出散点图. ②通过考察散点图，画出最贴近的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的.因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是最贴近的了. ③根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. ④利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 对点练3.某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销量y件之间有如下关系： 销售单价x(元) 30 40 45 50 日销售量y(件) 60 30 15 0 (1)根据表中提供的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)； (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润. 解：(1)由题表在直角坐标系中作出点(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示. 设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)， 则 所以y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N＋). 经检验，(30，60)，(40，30)在此直线上， 所以所求函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N＋). (2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300. 所以当x＝40时，P取得最大值，为300. 故当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润. 学生用书⬇第106页 1.下列函数中，随x的增大，y增长速度最快的是(　　) A.y＝1 B.y＝x C.y＝3x D.y＝log3x 答案：C 解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象(图略)可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.故选C. 2.有一组试验数据如表所示： x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　) A.y＝2x－1 B.y＝x2－1 C.y＝2log2x D.y＝x3 答案：B 解析：由表格可知，函数的解析式应该是指数函数类型与幂函数类型，选项C不正确；当x＝2.01时，y＝2x－1≈3；y＝x2－1≈3，y＝x3＞8，当x＝3时，y＝2x－1＝7；y＝x2－1＝8，y＝x3＝27，排除A，D.故选B. 3.某人投资x元，获利y元，有以下三种方案.甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元、1 000元、1 500元时，分别选择　　　　方案. 答案：乙、甲、丙 解析：将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出. 4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，设物体的初始温度是T0 ℃，经过一定时间t min后的温度是T ℃，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃，需要多长时间？ 解：由题意知40－24＝(88－24)×， 即， 解得h＝10，故原式可化简为T－24＝(88－24)×， 当T＝32时，代入上式， 得32－24＝(88－24)×， 即， 所以t＝30.因此需要30 min可降温到32 ℃. 课时分层评价30　函数模型及其应用 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.下列函数中，增长速度最慢的是(　　) A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x6 D.y＝6x 答案：B 解析：对数函数增长的速度越来越慢，故选B. 2.假设某地初始物价为1，其物价每年以5％的增长率递增，当该地物价不低于1.5时，至少需要经过的年数为(参考数据：lg 2＝0.3，lg 3＝0.48，lg 21＝1.32)(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案：B 解析：易知经过x年后该地物价为，由题意得≥，得x≥lo. 因为lo＝9， 所以x≥9，故至少需要经过的年数为9. 3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数型函数模型 D.对数型函数模型 答案：D 解析：由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型，故选D. 4.(多选)某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5 000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为(　　) A.2.6元 B.2.8元 C.3元 D.3.2元 答案：BCD 解析：设商品A的单价为x(x＞2)元，则销量为10－0.5×万件，此时商品A销售总收入为x(10－0.5×)万元， 根据题意有x(10－0.5×)≥22.4，解得2.8≤x≤3.2，故BCD符合题意. 故选BCD. 5.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y＝2x－2 B.y＝(x2－1) C.y＝log2x D.y＝lox 答案：B 解析：由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B. 6.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是　　　　. 答案：y＝x2 解析：当x变大时，x比ln x增长要快， 所以x2要比xln x增长的要快. 7.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品　　　　万件. 答案：1.75 解析：由题意得 解得所以y＝－2×0.5x＋2， 所以3月份该产品的产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件). 8.一种药在病人血液中的量保持在2 000 mg以上时才有疗效，而低于1 280 mg时病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20％的比例衰减，那么最迟必须在注射后　　　　小时前向病人的血液补充这种药. 答案：3 解析：设注射后n小时前向病人的血液补充这种药，则2 500×≥1 280，故n≤3. 9.(10分)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：W(x)＝肥料成本投入为10x元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为f(x)(单位：元). (1)求f(x)的函数关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由已知f(x)＝15W－20x－10x＝15W－30x ＝ ＝ (2)由(1)得 f(x)＝ ⇒ 当0≤x≤2时，f(x)max＝f(2)＝465； 当2＜x≤5时，f(x)＝780－30≤780－30×2 ＝480， 当且仅当＝1＋x时，即x＝4时等号成立. 因为465＜480，所以当x＝4时，f(x)max＝480. 所以当施用肥料为4千克时，该水果树单株的最大利润是480元. 10.(10分)某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15％. (1)若某企业年产值为100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7)； (2)若采用函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值. 解：(1)对于函数模型y＝lg x＋kx＋5(k为常数)，将x＝100，y＝9，代入解得k＝，所以y＝lg x＋＋5. 当x∈[50，500]时，y＝lg x＋＋5是单调递增的， 但当x＝50时，y＝lg 50＋6＞50×15％， 即奖金不超过年产值的15％不成立， 故该函数模型不符合政府要求. (2)函数y＝＝15－在[50，500]上单调递增，当x＝50时，y取得最小值，应满足15－≥7，解得a≤344，同时需使y≤0.15x在x∈[50，500]上恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x在x∈[50，500]上恒成立，所以a≥315. 综上所述，315≤a≤344， 所以满足条件的最小的正整数a的值为315. 11.(5分)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论： ①当x＞1时，甲在最前面； ②当x＞1时，乙在最前面； ③当0＜x＜1时，丁在最前面，当x＞1时，丁在最后面； ④丙不可能在最前面，也不可能在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲. 其中，正确结论的序号为　　　　(填序号). 答案：③④⑤ 解析：路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)， 它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数. 当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4， 所以①不正确； 当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以②不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，画出四个函数的图象(图略)，可知当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等，从而当0＜x＜1时，丁在最前面，当x＞1时，丁在最后面，所以③正确； 结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能在最前面，也不可能在最后面，所以④正确； 指数函数的增长速度是先慢后快，若运动的时间足够长，则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲，所以⑤正确. 12.(15分)某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 Q(x)/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121元. (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型： ①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a｜x－25｜＋b； ③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值. 解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1. (2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a｜x－25｜＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－｜x－25｜(1≤x≤30，x∈N＋). (3)由(2)知Q(x)＝125－｜x－25｜ ＝ 所以f(x)＝P(x)·Q(x) ＝ 当1≤x＜25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25)上单调递增，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，f(x)min＝124. 综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121. 所以该小物品的日销售收入的最小值为121元. 学科网（北京）股份有限公司 $