专题4.3.1&4.3.2 对数、对数的运算法则（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题4.3.1&4.3.2 对数、对数的运算法则 教学目标 1.理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化，熟知对数的性质； 2.掌握两个对数恒等式； 3掌握对数的运算法则，能运用法则进行对数的化简与求值，理解对数运算法则的推导过程，培养逻辑推理能力； 4.掌握换底公式的推导、记忆与正向、逆向运用； 5.学会运用对数运算法则解决实际问题，提升数学运算素养与应用意识. 教学重难点 1.重点： （1）对数的定义及指数式与对数式的互化； （2） 对数的性质即对数恒等式； （3） 对数的三条运算法则及换底公式的记忆与正向、逆向运用. 2.难点： （1）对数概念的抽象理解； （2）对数运算法则的推导过程及灵活逆用； （3）对数运算中的换底公式的应用，尤其是在底数不同的对数运算中. 知识点01 对数的概念 1.对数的概念：如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作对数的真数． 2.对数的基本恒等式： （1）a＝N（N>0,a＞0且a≠1）； （2）logaab＝b(b∈R，a＞0且a≠1)； 3.对数的性质： （1）0和负数没对数； （2）1的对数为0，即loga1＝0； （3）底的对数为1，即logaa＝1. 【即学即练】（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 知识点02 对数的运算法则 1.运算法则： （1）loga(M·N)＝logaM＋logaN （2）logaMn＝nlogaM(n∈R) （3）loga＝logaM－logaN.（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0） 2.常用对数：以10为底的对数，log10N记为lgN 3.自然对数：以e为底的对数，logeN记为lnN. 4.换底公式：(a，b均大于0且不等于1，N＞0)． 【即学即练】（25-26高一上·全国·课前预习）求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的运算法则、换底公式，直接化简，即可求出结果. （2）根据对数的运算法则，直接化简，即可求出结果. （3）根据对数的运算法则、换底公式，直接化简，即可求出结果. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 题型01 对数的概念与求值 【典例1】（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】由0和负数没有对数,即可得答案. 【详解】解：因为0和负数没有对数， 又，所以D正确． 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的真数大于0列式即可求. 【详解】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 【变式1-3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）对数式中，真数是正数，据此求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得，即的取值范围为. （2）依题意，，解得或，即的取值范围为. 题型02 对数式与指数式的互化 【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 【变式2-1】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【分析】将对数式化成指数式，运算得解. 【详解】由题知，解得. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 【变式2-3】（24-25高一上·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用对数的定义以及指对互化即可求出； （2）化简，再利用对数的定义即可. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 题型03 对数性质及对数恒等式的应用 【典例3】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【答案】 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3)5 (4)441 【分析】（1）（2）根据对数的定义运算求解即可； （3）（4）根据对数恒等式结合指数运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 题型04 对数运算法则的应用 【典例4】（25-26高一上·全国·课堂例题）已知，，用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用对数的运算法则逐一计算即可. 【详解】（1） ； （2）； （3） . 【变式4-1】（24-25高一下·北京·期中）计算 ． 【答案】 【分析】由对数的运算性质进行求解． 【详解】 ， 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算性质，进行运算，即可求解； （2）根据题意，利用指数幂的运算性质和对数的运算性质，进行运算，即可求解. 【详解】解：（1）由对数的运算性质，可得； （2）由指数幂与对数的运算性质，可得： 原式. 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）4 【分析】根据对数的运算法则及性质计算可得结果. 【详解】（1）原式； （2）由已知可得， 由，可得， 化简得，即， 解得（舍去），或，则. 题型05 对数换底公式的应用 【典例5】（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 【变式5-1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式的互化可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可. 【详解】由，得，即， 所以，所以. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，且，则t的值为 ； 【答案】或 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算公式进行求解即可. 【详解】由， 当时，显然符合，此时， 当时，， 由，代入中， 得， 故答案为：或 题型06 对数式的化简、求值等问题 【典例6】（2025高一上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）（2）（3）根据指对幂运算法则逐一求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） . 【变式6-1】（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）计算： ． 【答案】1 【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算. 【详解】. 故答案为：1. 【变式6-2】（25-26高一上·全国·课前预习）设，若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据对数的运算性质可求，，从而可求的值. 【详解】， 而，故，即，解得. 故答案为：5. 【变式6-3】（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)17. 【分析】（1）（2）（3）（4）应用对数的运算性质及指对数的关系化简求值. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）. 一、单选题 1．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对数换底公式得解. 【详解】， 故选：A 2．（24-25高一上·天津西青·期中），则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用指数运算及对数的定义计算得解. 【详解】. 故选：D 4．（25-26高三上·四川广安·开学考试）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求得的值，由此求的值 【详解】令，解得，故. 故选： 5．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解. 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 6．（2021·天津高考真题）若，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】 由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】 ，， . 故选：C. 7．（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据真数大于零解得或，再将1转化为，即可解得，都使得方程有意义，即可知正确选项. 【详解】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 8．（2021·江苏·高一专题练习）设x、y、z为正实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，将2x，3y，4z用k表示，再用作商比较法比较大小即可． 【详解】解：为正数， 令 所以 所以， 又因为，，所以， 故选： C． 二、多选题 9．（多选）（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】根据指数式和对数式互化，结合对数运算法则计算即可，得到结论. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，由指对数互化知若，则，故②正确； 对于③，，所以，故③错误； 对于④，，所以，故④错误. 故选：AB． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A利用对数换底公式以及对数运算即可判断，对于B利用对数运算即可判断，对于C根据指数和对数运算即可判断，对于D利用指数和对数的换底公式即可判断. 【详解】对于A：由，得，故A正确； 对于B：原式，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确． 故选：ACD. 11．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可. 【详解】令，可得，，， ，故A正确； ，故B正确； ，，所以，得， 又，所以，得，所以，，故C不正确； ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 12．（浙江·高考真题（理））已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a=___，b=____. 【答案】          【详解】 设，因为， 因此 13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）设，则 （用来表示．） 【答案】 【分析】 根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为 所以，， 两式相减可得：，解得：， . 故答案为： 14．（25-26高一上·全国·课前预习）已知实数满足，，若，且，则 ． 【答案】8 【分析】根据指数对数转化、换底公式计算得出，计算即可. 【详解】因为，所以，则，又， 所以，则①，则有2，即②， 联立①②解得，故. 故答案为：8. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·周测）（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）运用对数运算公式及换底公式计算即可. （2）运用完全平方公式及对数运算公式计算即可. 【详解】（1） （2）原式 16．（2025高一·全国·专题练习）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3)2 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解； 方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解； （3）注意到各对数式底数均不相同，运用换底公式消除底数的差异即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． （3）原式． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2）16；（3） 【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. （2）根据指数幂的运算以及对数的运算性质，化简求值，即可求解. （3）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. 【详解】（1）原式 ． （2）由于，， ， 因此原式． （3）由条件． 由，得， 所以，化简得 所以， 得或（舍去），从而可得． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3.1&4.3.2 对数、对数的运算法则 教学目标 1.理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化，熟知对数的性质； 2.掌握两个对数恒等式； 3掌握对数的运算法则，能运用法则进行对数的化简与求值，理解对数运算法则的推导过程，培养逻辑推理能力； 4.掌握换底公式的推导、记忆与正向、逆向运用； 5.学会运用对数运算法则解决实际问题，提升数学运算素养与应用意识. 教学重难点 1.重点： （1）对数的定义及指数式与对数式的互化； （2） 对数的性质即对数恒等式； （3） 对数的三条运算法则及换底公式的记忆与正向、逆向运用. 2.难点： （1）对数概念的抽象理解； （2）对数运算法则的推导过程及灵活逆用； （3）对数运算中的换底公式的应用，尤其是在底数不同的对数运算中. 知识点01 对数的概念 1.对数的概念：如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作对数的真数． 2.对数的基本恒等式： （1）a＝N（N>0,a＞0且a≠1）； （2）logaab＝b(b∈R，a＞0且a≠1)； 3.对数的性质： （1）0和负数没对数； （2）1的对数为0，即loga1＝0； （3）底的对数为1，即logaa＝1. 【即学即练】（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点02 对数的运算法则 1.运算法则： （1）loga(M·N)＝logaM＋logaN （2）logaMn＝nlogaM(n∈R) （3）loga＝logaM－logaN.（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0） 2.常用对数：以10为底的对数，log10N记为lgN 3.自然对数：以e为底的对数，logeN记为lnN. 4.换底公式：(a，b均大于0且不等于1，N＞0)． 【即学即练】（25-26高一上·全国·课前预习）求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 题型01 对数的概念与求值 【典例1】（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 题型02 对数式与指数式的互化 【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-1】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-3】（24-25高一上·全国·周测）求下列各式中的的值. (1)； (2). 题型03 对数性质及对数恒等式的应用 【典例3】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 对数运算法则的应用 【典例4】（25-26高一上·全国·课堂例题）已知，，用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3) 【变式4-1】（24-25高一下·北京·期中）计算 ． 【变式4-2】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）（1）计算：； （2）已知，求的值. 题型05 对数换底公式的应用 【典例5】（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【变式5-1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，且，则t的值为 ； 题型06 对数式的化简、求值等问题 【典例6】（2025高一上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式6-1】（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）计算： ． 【变式6-2】（25-26高一上·全国·课前预习）设，若，则的值为 ． 【变式6-3】（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 一、单选题 1．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·天津西青·期中），则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 4．（25-26高三上·四川广安·开学考试）若，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 6．（2021·天津高考真题）若，则（ ） A． B． C．1 D． 7．（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2021·江苏·高一专题练习）设x、y、z为正实数，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 11．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（浙江·高考真题（理））已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a=___，b=____. 13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）设，则 （用来表示．） 14．（25-26高一上·全国·课前预习）已知实数满足，，若，且，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·周测）（1）； （2）. 16．（2025高一·全国·专题练习）求值： (1)； (2)； (3)． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $