1.2.3 第2课时 含量词命题的否定-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦含量词命题的否定核心知识点，梳理全称量词命题与存在量词命题否定的形式规律，通过表格对比、要点点拨构建学习支架，结合例题解析与基础练习，帮助学生掌握否定方法。 该资料以实例分析培养数学抽象和逻辑推理素养，设计探究点与分层练习，如参数范围问题提升推理能力。课中辅助教师高效授课，课后学生可通过对点练与评价题查漏补缺，巩固知识。

第2课时　含量词命题的否定 学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，培养数学抽象的核心素养. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定，培养逻辑推理的核心素养. 知识点　含量词命题的否定 p ¬ p 结论 全称量词命题∀x∈I，p(x) ∃x∈I，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈I，p(x) ∀x∈I，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [点拨]　(1)写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定. (2)全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“p：∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，¬p(x)”，它们可以同真同假.(　　) (2)若命题¬p是存在量词命题，则命题p是全称量词命题.(　　) (3)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2.命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B.存在x∈R，x3－x2＋1≥0 C.对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0 D.存在x∈R，x3－x2＋1＞0 答案：D 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，并对结论进行否定. 3.命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　) A.对任意实数x，都有x＞1 B.不存在实数x，使x≤1 C.对任意实数x，都有x≤1 D.存在实数x，使x≤1 答案：C 解析：命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”. 4.命题“对于任意的x∈N，x3＋x2＞0”的否定是_________. 答案：∃x∈N，x3＋x2≤0 学生用书⬇第22页 探究点一　全称量词命题的否定与真假判断 写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)p：∀x∈R，1－≤1； (2)对任意x∈Z，x2的个位数数字不等于3； (3)正数的绝对值是它本身. 解：(1)该命题的否定：∃x∈R，1－＞1.因为∀x∈R，≥0，所以－≤0，1－≤1恒成立，所以这是一个假命题. (2)该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数数字等于3.因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题. (3)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身.所以这是一个假命题. 1.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词. (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等. 2.全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可. 对点练1.写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)所有矩形的对角线相等； (2)不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根； (3)等圆的面积相等，周长相等. 解：(1)该命题的否定：有的矩形对角线不相等.假命题. (2)该命题的否定：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根.当Δ＝1＋4m＜0，即m＜－时，方程没有实数根，故为真命题. (3)该命题的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等.假命题. 探究点二　存在量词命题的否定与真假判断 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解：(1)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数.它为假命题. (2)命题的否定：所有的平行四边形都不是菱形.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题. 学生用书⬇第23页 1.对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词. (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等. 2.存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可. 对点练2.判断下列存在量词命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)∃x∈x是无理数}，x2是无理数； (3)在圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等； (4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小. 解：(1)假命题.该命题的否定为：任意一个梯形的对角线都不互相平分. (2)真命题.该命题的否定为：∀x∈x是无理数}，x2不是无理数. (3)假命题.该命题的否定为：在圆中，任意两段相等的弧所对的圆周角相等. (4)真命题.该命题的否定为：任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小. 探究点三　已知命题真假求参数的范围 已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0. (1)若¬p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若¬q为真命题，求实数a的取值范围； (3)若¬p与¬q同时为真命题，求实数a的取值范围. 解：(1)因为命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0， 所以¬p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0. 因为¬p为真命题， 所以a＝0或 解得a＝0或a≤1且a≠0， 所以a≤1， 即实数a的取值范围为{a｜a≤1}. (2)因为命题q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0， 所以¬q：∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0. 因为¬q为真命题， 所以a＝0或 解得a＝0或0＜a＜4， 所以0≤a＜4， 即实数a的取值范围为{a｜0≤a＜4}. (3)由(1)(2)可知，{a｜a≤1}∩{a｜0≤a＜4}＝{a｜0≤a≤1}，即实数a的取值范围为{a｜0≤a≤1}. 求解含有量词的命题中参数范围的策略 　　对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是集合间关系问题，通常转化为利用集合关系求参数范围. 对点练3.命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题，求实数a的取值构成的集合. 解：命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x＞a，2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x＞a有2x＋a＞3a，所以3a≥3，解得a≥1. 所以实数a的取值范围是{a｜a≥1}. 学生用书⬇第24页 1.命题“∃x∈R，x2－x＋1＜0”的否定是(　　) A.∀x∈R，x2－x＋1≥0 B.∀x∈R，x2－x＋1＞0 C.∃x∈R，x2－x＋1≥0 D.∃x∈R，x2－x＋1＞0 答案：A 解析：因为命题“∃x∈R，x2－x＋1＜0”为存在量词命题，其否定为：∀x∈R，x2－x＋1≥0，故选A. 2.(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有(　　) A.∃x∈R，x2－x＋＜0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0 答案：AC 解析：命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命题，故排除B选项.命题的否定为真命题，则原命题为假命题.又选项A，C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选AC. 3.若命题p的否定是“对所有正数x，＞x＋1”，则命题p用符号表示为__________________. 答案：∃x＞0，≤x＋1 解析：因为p是¬p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可. 4.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假. (1)对任意实数x，都有x3＞x2； (2)至少有一个二次函数的图象与x轴没有交点； (3)所有的矩形都是正方形； (4)存在x∈R，使x2＋2x＋5≤0. 解：(1)命题的否定为：存在实数x，有x3≤x2.为真命题. (2)命题的否定为：所有的二次函数的图象都与x轴有交点.为假命题. (3)命题的否定为：至少存在一个矩形不是正方形.为真命题. (4)命题的否定为：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5＞0.为真命题. 课时分层评价7　含量词命题的否定 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.命题“∃x∈R，1＜y≤2”的否定形式是(　　) A.∀x∈R，1＜y≤2 B.∃x∈R，1＜y≤2 C.∃x∈R，y≤1或y＞2 D.∀x∈R，y≤1或y＞2 答案：D 解析：量词“∃”改为“∀”，结论“1＜y≤2”的否定是“y≤1或y＞2”，故选D. 2.命题“对任意x∈R，都有｜x｜≥0”的否定为(　　) A.任意x∈R，都有｜x｜＜0 B.存在x0∉R，使得｜x0｜＜0 C.存在x0∈R，使得｜x0｜≥0 D.存在x0∈R，使得｜x0｜＜0 答案：D 解析：题设命题为全称量词命题， 所以其否定为存在x0∈R，使得｜x0｜＜0.故选D. 3.下列命题的否定为假命题的是(　　) A.∃x∈Z，1＜4x＜3 B.∃x∈Z，5x＋1＝0 C.∀x∈R，x2－1＝0 D.∃x∈R，x2＋3x＋2＝0 答案：D 解析：命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由1＜4x＜3得＜x＜，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题；5x＋1＝0，x＝－∉Z，故B为假命题，其否定为真命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题，其否定为真命题；存在实数x＝－1或x＝－2，有x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)＝0，故D为真命题，从而D的否定是假命题. 4.命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　) A.存在一个四边形，它的四个顶点不共圆 B.存在一个四边形，它的四个顶点共圆 C.所有四边形的四个顶点共圆 D.所有四边形的四个顶点都不共圆 答案：A 解析：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”，故选A. 5.已知p：∀x∈R，2x2＋2x＋＞0，q：∃a∈R，函数y＝x2－x＋a的图象与x轴有交点，则下列判断正确的是(　　) A.p是真命题 B.q是假命题 C.p的否定是假命题 D.q的否定是假命题 答案：D 解析：在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故p为假命题，p的否定为真命题；在命题q中，当a＝0时，函数y＝x2－x的图象与x轴有交点，故q为真命题，q的否定是假命题.故选D. 6.命题“∀α＞β，sin α＜sin β”的否定为_________. 答案：∃α＞β，sin α≥sin β 解析：由定义知命题的否定为“∃α＞β，sin α≥sin β”. 7.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围.小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求实数m的取值范围.你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？______(填“是”或“否”) 答案：是 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”. 而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题. 所以两位同学题中实数m的取值范围是一致的. 8.∀x∈{x｜1≤x≤2}，∃t∈{t｜1≤t≤2}，使得x＋2＞t＋m成立，则实数m的取值范围是_________. 答案：{m｜m＜2} 解析：由∀x∈{x｜1≤x≤2}，x＋2＞t＋m成立得x＋2的最小值大于t＋m，因此3＞t＋m. 又由∃t∈{t｜1≤t≤2}，使得t＋m＜3成立，得t的最小值小于3－m，即3－m＞1，解得m＜2. 因此实数m的取值范围是{m｜m＜2}. 9.(10分)写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：每一个素数都是奇数； (2)p：在平面内，与同一条直线垂直的两条直线平行； (3)p：有些实数的绝对值是正数； (4)p：某些平行四边形是菱形. 解：(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此¬p：存在一个素数不是奇数，是真命题. (2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“在平面内，任意两条与同一条直线垂直的直线平行”，因此¬p：在平面内，存在两条与同一条直线垂直的直线不平行，是假命题. (3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此¬p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题. (4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此¬p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题. 10.(10分)设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，求实数m的取值范围. 解：若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4； 若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则命题¬q：∃x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19＝0为假命题，即方程x2－2(m－5)x＋m2＋19＝0无实数根. 因此，Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m＞. 又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m｜m≤4}∩＝. 11.(5分)已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　) A.{a｜a＜1} B.{a｜a≥1} C.{a｜a＞1} D.{a｜a≤1} 答案：B 解析：因为p为假命题，所以p的否定为真命题，即：∀x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a， 所以1－a≤0，则a≥1. 所以a的取值范围是a≥1，故选B. 12.(15分)已知命题p：∀x∈{x｜0＜x＜1}，x＋m－1＜0，命题q：∀x∈{x｜x＞0}，mx2＋4x－1≠0.若p真、q假，求实数m的取值范围. 解：若命题p是真命题，则x＋m－1＜0对0＜x＜1恒成立，即m－1＜－x对0＜x＜1恒成立. 当0＜x＜1时，－1＜－x＜0，所以m－1≤－1，即m≤0. 若命题q是假命题，则¬q：∃x∈{x｜x＞0}，使得mx2＋4x－1＝0为真命题. 即关于x的方程mx2＋4x－1＝0有正实数根. 当m＝0时，4x－1＝0有正实数根； 当m≠0时，依题意得Δ＝16＋4m≥0，即m≥－4，设两实数根为x1，x2， ①当方程有两个正实数根时，x1＋x2＝－＞0，且x1x2＝－＞0，解得m＜0，此时－4≤m＜0； ②当方程有一正一负两个实数根时，x1x2＝－＜0，解得m＞0，此时m＞0； 综上，当命题q是假命题时，m≥－4. 因为p真、q假，所以实数m的取值范围是{m｜－4≤m≤0}. 学科网（北京）股份有限公司 $