1.2.1-1.2.2 命题 充分条件和必要条件-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦常用逻辑用语核心知识点，系统梳理命题的定义、否定及“若p则q”形式，深入解析充分条件、必要条件、充要条件的意义，构建从命题基础到条件关系应用的递进式学习支架。 资料通过典型数学命题分析培养逻辑推理核心素养，结合正方形定义等实例帮助理解条件与定理、定义的关系，例题与分层练习设计层次分明，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固逻辑思维，查漏补缺。

1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题　1.2.2　充分条件和必要条件 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系，培养逻辑推理的核心素养. 知识点一　命题 1.对于某些语句可以作出判断，这种判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一的陈述句叫作命题，成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题. 2.如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作¬p，读作“非p”. 3.命题都具有“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论. 当命题“若p，则q”为真，则记作p⇒q， 读作“p推出q”. 当命题“若p，则q”为假，则记作p⇒/ q， 读作“p推不出q”. 命题条件和结论互换了位置，这时称一个是另一个的逆命题. [点拨]　因为p与¬p一真一假，即p与¬p真假相对，故判断它们的真假时，可只判断一者的真假，便知另一者的真假. 学生用书⬇第14页 知识点二　充分条件与必要条件 1.定义 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇒/ q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2.本质：当命题p⇒q是真命题时，条件p与结论q之间的逻辑称谓. [点拨]　对充分条件与必要条件的理解 (1)p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的. (2)q是p的必要条件或p的必要条件是q. 显然，“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同. 知识点三　充要条件 1.定义 命题真假 “若p，则q”和它的逆命题都是真命题 推出关系 既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件 名称 p是q的充分必要条件，简称为充要条件 2.本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的. [点拨]　对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”. (2)要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形相似是三角形全等的必要条件.(　　) (2)“xy＞0”是“x，y都大于0”成立的充分条件.(　　) (3)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充要条件.(　　) (4)x＝0的充分条件是(2x－1)x＝0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.已知命题p：x＞1；q：x＞2，则p是q的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分又不必要条件 D.以上答案均不正确 答案：B 解析：由x＞1推不出x＞2，所以p不是q的充分条件；由x＞2能推出x＞1，所以p是q的必要条件.故选B. 3.在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A.四边形是平行四边形且对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直 答案：A 解析：因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以“四边形是平行四边形且对角线相等”是“四边形是矩形”的充分条件. 4.已知集合A＝{2，a}，B＝{2，3，4}，则A⊆B的充要条件是_________. 答案：a＝3或4 解析：若A⊆B，则a＝3或4；若a＝3或4，则A＝{2，3}或A＝{2，4}，所以A⊆B，所以A⊆B的充要条件是“a＝3或4”. 探究点一　判断命题的真假 判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果学好了数学，那么就会使用电脑； (2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数. 解：(1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，无法推出结论，故为假命题. (2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形. (4)是真命题， 令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)， 则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1， 显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数， 故ab是奇数. 学生用书⬇第15页 判断命题真假的策略 1.要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证. 2.要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可. 对点练1.判断下列命题的真假，并说明理由. (1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； (2)若x∈N，则x3＞x2成立； (3)若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆. 解：(1)假命题，反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题，反例：当x＝0时，x3＞x2不成立. (3)真命题，因为m＞1⇒Δ＝4－4m＜0，所以方程x2－2x＋m＝0无实数根. (4)假命题，因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 探究点二　充分条件的判断 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a＜b，则＜1； (3)若x＞1，则x2＞1； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若∠A＞∠B，则BC＞AC； (6)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. 解：(1)由于Q⫋R，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件. (2)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1， 因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件. (3)由x＞1可以推出x2＞1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件. (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件. (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A＞∠B，则BC＞AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件. (6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件. 充分条件的两种判断方法 1.定义法 2.命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件. 对点练2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a＜2b，则＜1； (2)若x，y∈R，｜x｜＝｜y｜，则x2＝y2； (3)若(a＋2)(a＋3)＝0，则a＝－3； (4)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD是菱形. 解：(1)由于a＜2b，当b＜0时，＞1； 当b＞0时，＜1， 因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件. (2)若｜x｜＝｜y｜，则｜x｜2＝｜y｜2，故x2＝y2，所以p⇒q，所以p是q的充分条件. (3)由(a＋2)(a＋3)＝0可以推出a＝－2或a＝－3，不一定有a＝－3，因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件. (4)由菱形和正方形的定义可知，所有的正方形都是菱形，p⇒q，所以p是q的充分条件. 学生用书⬇第16页 探究点三　必要条件的判断 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形. 解：(1)直角三角形不一定是等腰三角形，因此p推不出q，所以q不是p的必要条件. (2)等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件. 必要条件的两种判断方法 1.定义法 2.命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 对点练3.(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A.“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B.“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C.“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D.p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 答案：AC 解析：因为x＞3⇒x＞2，所以A是真命题；因为x＝2⇒x2＝4，x2＝4⇒/ x＝2，所以B是假命题；因为A∩B＝B⇒A∪B＝A，所以C是真命题；因为q⇒/ p，所以p不是q的必要条件，D是假命题. 探究点四　充要条件的判断 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件). (1)p：数a能被10整除，q：数a能被5整除； (2)p：x＞1，q：x2＞1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：｜ab｜＝ab，q：ab≥0. 解：(1)因为p⇒q，q不能推出p， 所以p是q的充分不必要条件. (2)因为p⇒q，q不能推出p， 所以p是q的充分不必要条件. (3)因为p不能推出q，q⇒p， 所以p是q的必要不充分条件. (4)因为｜ab｜＝ab，所以ab≥0， 又ab≥0，则｜ab｜＝ab， 所以p⇔q. 所以p是q的充要条件. 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. 2.集合法：即利用集合的包含关系判断. 3.等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. 4.传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 对点练4.下列四个命题中正确命题的个数是(　　) ①“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件； ②“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件； ③ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根⇔Δ＝b2－4ac≥0； ④若集合A⫋B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件. A.1 B.3 C.2 D.0 答案：B 解析：对于①，x＝4时满足x＞2但不满足x＜3，所以“x＞2”不是“x＜3”的充分条件， x＝1时满足x＜3，但不满足x＞2，所以x＜3不是“x＞2”的充分条件， 即“x＞2”不是“x＜3”的必要条件， 所以“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件，所以①对； 对于②，正三角形可以推出该三角形为等腰三角形， 但等腰三角形不一定能推出该三角形为正三角形， 所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件， 所以②错； 对于③，若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，则Δ＝b2－4ac≥0，反之也成立， 所以③对； 对于④，因为A⫋B，所以x∈A⇒x∈B，但x∈B时，因为A⫋B，所以x不一定属于A， 所以A⫋B时，x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以④对.故选B. 学生用书⬇第17页 探究点五　利用充分、必要、充要条件求参数 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)， (1)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (3)是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解：(1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x｜1－m≤x≤1＋m}⫋{x｜－2≤x≤10}， 故有 解得m≤3. 又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}. (2)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以A⫋B. 所以 解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m｜m≥9}. (3)因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 若p是q的充要条件，则方程组无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 1.化简p，q两命题. 2.根据p与q的关系(充分、必要条件)转化为集合间的关系，依据如下： p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A 3.根据集合间的关系，利用集合端点的大小建立不等式组. 4.求解参数范围. 对点练5.设p：＜x＜1，q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_________. 答案：{a｜0≤a≤} 解析：因为p是q的充分不必要条件， 所以 解得0≤a≤，所以实数a的取值范围是{a｜0≤a≤}. 对点练6.已知集合A＝{x｜a－2＜x＜a＋2}，B＝{x｜x≤－2或x≥4}，则A∩B＝⌀的充要条件是_________. 答案：{a｜0≤a≤2} 解析：A∩B＝⌀⇔⇔0≤a≤2. 探究点六　充要条件的证明 已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：充分性： 若a＋b＝1， 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立. 必要性： 若a2＋b2－a－b＋2ab＝0， 则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0. 因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0， 即a＋b＝1，必要性成立. 综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 充要条件的证明思路 1.在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反. 2.证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立，若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明. [注意]　证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向. 对点练7.已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：的充要条件是xy＞0. 证明：①必要性：由，得＜0，即＜0，又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0. ②充分性：由xy＞0及x＞y， 得＞，即. 综上所述，的充要条件是xy＞0. 学生用书⬇第18页 1.(多选)－＜5x－3＜12的一个必要条件是(　　) A.－＜x＜2 B.－＜x＜4 C.－3＜x＜ D.－1＜x＜6 答案：BD 解析：由－＜5x－3＜12，得－＜x＜3.当x满足－＜x＜3时，必满足－＜x＜4和－1＜x＜6，故选BD. 2.已知p：“x＝2”，q：“x－2＝”，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由q：“x－2＝”，解得x＝2，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立. 所以p是q的充要条件，故选C. 3.“x2＝2x”是“x＝0”的_________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的_________条件(用“充分”“必要”填空). 答案：必要　充分 解析：由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件. 4.集合A＝，B＝{x｜x＋m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 解：A＝＝ {y}，B＝{x｜x＋m2≥1}＝{x｜x≥1－m2}， 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， 所以A⫋B，所以1－m2≤， 解得m≥或m≤－， 故m的取值范围为m≤－或m≥. 课时分层评价5　命题　充分条件和必要条件 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.下列p是q的必要条件的是(　　) A.p：a＝1，q：｜a｜＝1 B.p：－1＜a＜1，q：a＜1 C.p：a＜b，q：a＜b＋1 D.p：a＞b，q：a＞b＋1 答案：D 解析：要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a＞b＋1⇒q：a－b＞1⇒p：a＞b，故选D. 2.设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若a＝1，则N＝{1}，故N⊆M.若N⊆M，则a2＝1或2，即a＝±1或±，故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件.故选A. 3.(多选)下列四个命题中，属于真命题的是(　　) A.平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形 B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C.所有质数平方都不是偶数 D.不存在一个奇数，它的立方是偶数 答案：BD 解析：对A，平面上两组对边平行且相等的四边形不一定是正方形，故A是假命题； 对B，根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故B是真命题； 对C，2是质数，但22＝4为偶数，故C是假命题； 对D，任何奇数的立方都为奇数，故D是真命题.故选BD. 4.唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年，今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”，其中设p：“是仙”，q：“到蓬莱”，则(　　) A.p是q的充分条件 B.p是q的必要条件 C.即是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 答案：A 解析：由题得，“是仙”一定是“到蓬莱”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分条件；“到蓬莱”不一定“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的非必要条件，故选A. 5.(多选)使ab＞0成立的充分条件是(　　) A.a＞0，b＞0 B.a＋b＞0 C.a＜0，b＜0 D.a＞1，b＞1 答案：ACD 解析：因为a＞0，b＞0⇒ab＞0；a＜0，b＜0⇒ab＞0；a＞1，b＞1⇒ab＞0，所以选项A，C，D都是使ab＞0成立的充分条件. 6.设命题p：k＞4，b＜5，命题q：一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的_________条件.(用“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”填空) 答案：充要 解析：当k＞4，b＜5时，k－4＞0，b－5＜0， 令x＝0，则y＝b－5＜0，令y＝0，则x＝＞0， 所以一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象与y轴的交点在负半轴上；与x轴的交点在正半轴，故p⇒q， 反之，当一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，k－4＞0，b－5＜0，即k＞4，b＜5，故q⇒p. 7.已知p：x＞0，y＜0，q：x＞y，＞，则p是q的_________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”) 答案：充要 解析：当x＞0，y＜0时，x＞y且＞成立. 当x＞y且＞时，得⇒ 所以p是q的充要条件. 8.条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_________. 答案：{a｜a＜1} 解析：p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1. 9.(10分)已知集合A＝{2，3}，B＝{x｜x2＋mx＋6＝0}，若A是B的必要条件，求实数m的取值范围. 解：若A是B的必要条件，则B⊆A. 当B＝⌀时，m2－4×1×6＜0，解得－2＜m＜2； 当B＝{2}时，此时m不存在； 当B＝{3}时，此时m不存在； 当B＝{2，3}时，此时m＝－5. 综上，实数m的取值范围是{m｜－2＜m＜2，或m＝－5}. 10.(10分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则＋2ax0＋b2＝0，＋2cx0－b2＝0. 两式相减，得x0＝，将此式代入＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：因为∠A＝90°， 所以b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0， 即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0. 即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故两方程有公共根x＝－(a＋c). 所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. (11、12每小题5分，共10分) 11.(多选)设全集为U，则下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A.A∪B＝A B.(∁UA)∩B＝⌀ C.(∁UB)⊆(∁UA) D.A∪(∁UB)＝U 答案：ABD 解析：对于A，当A∪B＝A时，B⊆A，当B⊆A时，A∪B＝A，所以A∪B＝A是B⊆A的充要条件，故A正确；对于B，当(∁UA)∩B＝⌀时，B⊆A，当B⊆A时，(∁UA)∩B＝⌀，所以(∁UA)∩B＝⌀是B⊆A的充要条件，故B正确；对于C，当(∁UB)⊆(∁UA)时，A⊆B，故C错误；对于D，当A∪(∁UB)＝U时，B⊆A，当B⊆A时，A∪(∁UB)＝U，所以A∪(∁UB)＝U是B⊆A的充要条件，故D正确.故选ABD. 12.下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1；⑤x＞－1.其中，可以作为x2＜1的一个充分不必要条件的所有序号为_________；可以作为x2＜1的一个必要不充分条件的所有序号为_________. 答案：②③　①⑤ 解析：由x2＜1，得－1＜x＜1，而{x｜0＜x＜1}⫋{x｜－1＜x＜1}，{x｜－1＜x＜0}⫋{x｜－1＜x＜1}，所以0＜x＜1和－1＜x＜0都可作为x2＜1的一个充分不必要条件，因为{x｜－1＜x＜1}⫋{x｜x＜1}，{x｜－1＜x＜1}⫋{x｜x＞－1}，所以x＜1和x＞－1均可作为x2＜1的一个必要不充分条件. 学科网（北京）股份有限公司 $