1.1.2 子集和补集-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦“子集和补集”核心知识点，系统梳理集合间包含、相等、真子集关系及补集的定义与性质，前承集合基本概念，后续集合运算学习。通过定义解析、要点点拨、例题示范、对点练习及探究点分层递进，构建“概念理解—技能应用—综合拓展”的学习支架，助力学生逐步深化认知。 资料特色突出核心素养培养，借助Venn图、数轴等直观工具（如用Venn图表示真子集关系、数轴求补集），发展直观想象的数学眼光；通过分类讨论（如求子集考虑空集与非空，补集运算结合全集范围）培养逻辑推理的数学思维；规范符号语言（⊆、⫋、∁ᵤA）与图形语言结合，强化数学表达能力。课中教师可利用探究点组织互动教学，课后学生通过分层评价巩固知识，有效查漏补缺。

1.1.2　子集和补集 学习目标 1.在具体情境中，了解空集与全集的含义. 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用，提升直观想象的核心素养. 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，培养数学抽象的核心素养. 知识点一　集合间的基本关系 1.包含 如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”). 2.子集 若A包含于B，则称A是B的一个子集. 3.集合相等 如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等，记作A＝B. 4.真子集 如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作A⫋B，读作“A真包含于B”. 5.Venn图 如图，大圆和小圆分别表示两个集合；小圆画在大圆里，表示前者是后者的真子集.这类表示集合间关系的示意图叫作Venn图. 规定：空集包含于任一集合，是任一集合的子集. [点拨]　(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B. (2)在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (3)对于集合A，B，子集、真子集与集合相等的关系如下：A⊆B⇒A＝B或A⫋B.即子集包含真子集和集合相等两种情况. 知识点二　补集 1.全集 如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定把集合U叫作全集(或基本集). 学生用书⬇第8页 2.补集 [点拨]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围. (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的. (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x｜x∈U，且x∉A}. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C. (　　) (2)任何一个集合都有子集. (　　) (3)空集是任何集合的真子集. (　　) (4)数集问题的全集一定是R. (　　) (5)一个集合的补集中一定含有元素. (　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2.已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　) A.P∈Q B.P⊆Q C.Q⊆P D.Q∈P 答案：C 解析：集合Q中的元素存在于集合P中，所以Q⊆P. 3.集合{0，1}的子集有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D 解析：根据题意，集合{0，1}的子集有{0}，{1}，{0，1}，⌀，共4个，故选D. 4.若全集U＝{x∈R｜－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R｜－2≤x≤0}的补集∁UA＝_________. 答案：{x∈R｜0＜x≤2} 解析：借助数轴易得∁UA＝{x∈R｜0＜x≤2}. 探究点一　集合间关系的判断 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)C＝{x｜x是等边三角形}，D＝{x｜x是等腰三角形}； (3)M＝{x｜x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x｜x＝2n＋1，n∈N＋}. 解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故C⫋D. (3)方法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⫋M. 方法二：由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以N⫋M. 判断集合间关系的常用方法 对点练1.已知集合A＝{x｜x是菱形}，B＝{x｜x是正方形}，C＝{x｜x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.A⫋B⊆C D.A＝B⊆C 答案：B 解析：集合A，B，C之间的关系用Venn图表示，如图. 所以B⊆A⊆C，故选B. 探究点二　集合的子集、真子集 已知集合M＝{x｜x＜2且x∈N}，N＝{x｜－2＜x＜2且x∈Z}. (1)写出集合M的子集、真子集； 学生用书⬇第9页 (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数. 解：M＝{x｜x＜2且x∈N}＝{0，1}，N＝{x｜－2＜x＜2，且x∈Z}＝{－1，0，1}. (1)M的子集为：⌀，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为：⌀，{0}，{1}. (2)N的子集为：⌀，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}. 所以N的子集数为8个，真子集数为7个，非空真子集数为6个. 1.求集合子集、真子集个数的3个步骤 2.集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. [注意]　要注意两个特殊的子集：⌀和自身. 对点练2.已知集合A＝{(x，y)｜x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集. 解：因为A＝{(x，y)｜x＋y＝2，x，y∈N}， 所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}， 所以A的子集有⌀，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. A的真子集有⌀，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}. 探究点三　补集的基本运算 (1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝_________； (2)已知全集U＝{x｜x≤5}，集合A＝{x｜－3≤x＜5}，则∁UA＝_________. 答案：(1){2，3，5，7}　(2){x｜x＜－3或x＝5} 解析：(1)方法一：因为A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， 所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}. 又∁UB＝{1，4，6}， 所以B＝{2，3，5，7}. 方法二：根据条件作出满足题意的Venn图如图所示. 由图可知B＝{2，3，5，7}. (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示. 由补集的定义可知∁UA＝{x｜x＜－3或x＝5}. 求集合的补集的方法 1.定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. 2.Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集. 3.数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题. 对点练3.已知集合A＝{x｜－3≤x＜5}，∁UA＝{x｜x≥5}，B＝{x｜1＜x＜3}，求∁UB. 解：由已知得，U＝{x｜x≥－3}，又B＝{x｜1＜x＜3}， 所以∁UB＝{x｜－3≤x≤1或x≥3}. 探究点四　由集合间的关系求参数值或范围 设集合A＝{x｜x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x｜x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围. 解：因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根， 可得解得a＝1. (2)当B≠⌀且B⫋A时，B＝{0}或B＝{－4}， 则有Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意. (3)当B＝⌀时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.满足题意. 综上所述，实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a＝1}. 由集合的包含关系求参数的方法 1.当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论； 2.当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. [注意]　(1)不能忽视集合为⌀的情形. (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论. 对点练4.已知集合A＝{x｜－1≤x≤6}，B＝{x｜m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，求实数m的取值范围. 解：当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝⌀，符合题意. 当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠⌀. 由B⊆A，借助数轴可得解得0≤m≤.综上，实数m的取值范围是{m｜m＜－2或0≤m≤}. 学生用书⬇第10页 1.若A＝，则下列说法正确的是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：A＝＝，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；，故B错误；－1∉，故C错误；0∈，故D正确.故选D. 2.已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案：B 解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个. 3.已知全集U＝R，A＝{x｜1≤x＜b}，∁UA＝{x｜x＜1或x≥2}，则实数b＝_________. 答案：2 解析：因为∁UA＝{x｜x＜1或x≥2}，U＝R， 所以A＝{x｜1≤x＜2}. 所以b＝2. 4.设集合A＝{x｜x2＋x－6＝0}，B＝{x｜mx＋1＝0}，若B⊆A，求实数m的值所组成的集合. 解：A＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{－3，2}.由B⊆A，且B中最多只有一个元素，得B＝⌀或B＝{－3}或B＝{2}.当m＝0时，mx＋1＝0无解，故B＝⌀，满足条件； 当B＝{－3}时，－3m＋1＝0，解得m＝； 当B＝{2}时，2m＋1＝0，解得m＝－. 故满足条件的实数m所组成的集合为{0，，－}. 课时分层评价3　子集和补集 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.已知A＝{x｜y＝}，B＝{y｜y＝}，有下列说法：①A⊆B；②A＝B；③A⫋B.其中，正确说法的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 答案：B 解析：由已知得，集合A中x≥0，集合B中y≥0，所以A＝B，A⊆B，①②正确，故选B. 2.已知全集U＝R，集合A＝{x｜1≤2x＋1＜9}，则∁UA＝(　　) A.{x｜x＜0或x＞4} B.{x｜x≤0或x＞4} C.{x｜x≤0或x≥4} D.{x｜x＜0或x≥4} 答案：D 解析：因为全集U＝R，集合A＝{x｜1≤2x＋1＜9}＝{x｜0≤x＜4}，所以∁UA＝{x｜x＜0或x≥4}，故选D. 3.若集合＝{0，a2，a＋b}，则a2 019＋b2 020的值为(　　) A.0 B.1 C.－1 D.±1 答案：C 解析：因为＝{0，a2，a＋b}，易知a≠0， 所以b＝0，所以a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，{0，a2，a＋b}＝{0，1，1}不满足元素的互异性， 所以a＝－1，所以a2 019＋b2 020＝(－1)2 019＋02 020＝－1. 4.(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，｜a－5｜，9}，∁UA＝{5，7}，则a的值是(　　) A.2 B.－2 C.8 D.－8 答案：AC 解析：因为A∪(∁UA)＝U， 所以｜a－5｜＝3，解得a＝2或8. 5.设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x｜x＝b(a＋b)，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集的个数为(　　) A.7 B.12 C.16 D.15 答案：D 解析：当a＝1，b＝2时，x＝6；当a＝1，b＝3时，x＝12；当a＝0，b＝2时，x＝4；当a＝0，b＝3时，x＝9.故集合M＝{4，6，9，12}，故集合M的真子集的个数为24－1＝15，故选D. 6.若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 026＋b2 025的值为_________. 答案：1 解析：由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以＝0，所以b＝0，所以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1.所以a2 026＋b2 025＝1. 7.已知非空集合A满足：①A⊆{1，2，3，4}，②若x∈A，则5－x∈A，则满足上述要求的集合A的个数是_________. 答案：3 解析：由题意可知1，4成对出现，2，3成对出现，所以满足条件的非空集合A有{1，4}，{2，3}，{1，2，3，4}，共3个. 8.已知集合A＝{x｜x＞－1}，B＝{x｜x＞m}，若B⊆A，则实数m的取值范围为_________. 答案：[－1，＋∞) 解析：因为集合A＝{x｜x＞－1}，B＝{x｜x＞m}，且B⊆A， 所以m≥－1，故实数m的取值范围为[－1，＋∞). 9.(10分)指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜0＜x＜5}； (2)A＝{x｜x＝2n，n∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}； (3)A＝{x｜x2－x＝0}，B＝{x｜x＝，n∈Z}； (4)A＝{(x，y)｜xy＞0}，B＝{(x，y)｜x＞0，y＞0或x＜0，y＜0}. 解：(1)集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故B⫋A. (2)因为A是偶数集，B是4的倍数集，所以B⫋A. (3)A＝{x｜x2－x＝0}＝{0，1}.在B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1， 所以B＝{0，1}，所以A＝B. (4)方法一　由xy＞0得x＞0，y＞0或x＜0，y＜0；由x＞0，y＞0或x＜0，y＜0得xy＞0，从而A＝B. 方法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B. 10.(10分)已知集合A＝{x｜1＜ax＜2}，B＝{x｜－1＜x＜1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围. 解：①当a＝0时，A＝⌀，满足A⊆B. ②当a＞0时，A＝， 又因为B＝{x｜－1＜x＜1}且A⊆B，如图所示： 所以所以a≥2. ③当a＜0时，A＝， 又因为B＝{x｜－1＜x＜1}，A⊆B，如图所示： 所以所以a≤－2. 综上所述，a的取值范围是{a｜a＝0或a≥2或a≤－2}. (11、12每小题5分，共10分) 11.定义集合P－Q＝{x｜x＝p－q，p∈P，q∈Q}，若集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为(　　) A.32 B.31 C.16 D.15 答案：B 解析：由题中所给定义，可知P－Q＝{1，2，3，4，5}， 所以P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B. 12.若x∈A，∈A，则称A是伙伴关系集合.集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系集合的个数是(　　) A.31 B.7 C.3 D.1 答案：B 解析：由“若x∈A，∈A”知，－1可以在集合A中，0一定不在集合A中，2和同时在(或不在)集合A中，3和同时在(或不在)集合A中，因此M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为{－1}，，，，，，，共7个，故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $