精品解析：北京市海淀区北京十一实验中学2025-2026学年高三上学期12月教与学诊断数学试卷

北京十一实验中学高三年级数学学科12月教与学诊断 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分 客观题（共40分） 一、选择题（共10小题每题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知直线与直线.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ） A. 1 B. C. D. -1 6. 已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 7. 若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是 “平方递推数列” D. 是 “平方递推数列” 8. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 9. 已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A. B. C. D. 10. 1638年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.则下列判断正确的是（ ） A. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 B. 笛卡尔叶形线关于直线对称 C. 当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 D. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 第二部分 主观题（共110分） 二、填空题：（共5个小题，每题5分，共25分） 11. 已知两平行直线，，则与间的距离是________. 12. 已知平面向量满足，与的夹角为，则的值______. 13. 椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则___________． 14. 如图，函数的图象与坐标轴交于点、、，直线交的图象于点，（坐标原点）为的重心，，则点的坐标为___，___. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知函数． （1）已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； （2）求的单调区间； （3）已知，直接写出函数的零点个数． 17. 已知两定点，，动点P满足，直线． （1）求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （2）记动点P的轨迹为曲线E，把曲线E向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线，求直线被曲线截得的最短的弦长； （3）已知点M的坐标为，点N在曲线上运动，求线段MN的中点H的轨迹方程． 18. 从①点是函数的图象的一个对称中心；②；③这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答. 问题：在锐角中，内角所对的边分别为，且______. （1）求； （2）求的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 20. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值. 21. 对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一实验中学高三年级数学学科12月教与学诊断 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分 客观题（共40分） 一、选择题（共10小题每题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合、，然后利用交集的定义可计算出集合. 【详解】由得，即， 因为，所以， 即 所以. 故选：C. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的模长公式计算出，再根据复数的除法运算，化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：C. 3. 已知直线与直线.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行求出，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】和平行， ， 或. 当时，，，； 当时，，，. “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ） A. 1 B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】设切线的斜率为， ，，将代入，得， 又切线与直线垂直，则，，解得. 故选：C. 6. 已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，恒过定点，且点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为. 故选：D 7. 若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是 “平方递推数列” D. 是 “平方递推数列” 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断. 【详解】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以. 又， 所以 则，， 所以，不是等差数列， 所以AB不正确. 对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确. 对于D，因为 ， 所以不是 “平方递推数列”， D 不正确. 故选：C 8. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，设，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由已知及双曲线的参数关系列方程求得，根据双曲线的定义有且，应用基本不等式求最小值. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，则，解得， 因为为双曲线左支上任意一点，所以，即，又， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8. 故选：C 9. 已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得. 【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图： 所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时． 显然的最大值为1，故． 故选：A 10. 1638年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.则下列判断正确的是（ ） A. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 B. 笛卡尔叶形线关于直线对称 C. 当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为 D. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，即可判断A，代入曲线成立判断B，当时，令，得出顶点坐标判断C，应用图象得出D. 【详解】对于A，在中，令，则，令，则， 即笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点，故A正确； 对于B，在中，将点代入可得：， 显然方程不变，即笛卡尔叶形线关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，笛卡尔叶形线方程：. 令，解得或，故顶点坐标，故C错误； 对于D，由图象知离原点距离最大，于是的最大值为18，故D正确. 故选：ABD. 第二部分 主观题（共110分） 二、填空题：（共5个小题，每题5分，共25分） 11. 已知两平行直线，，则与间的距离是________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两直线平行可得，再利用平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】由两直线平行可知，此时 将可化为， 所以与间的距离为. 故答案为： 12. 已知平面向量满足，与的夹角为，则的值______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的定义计算；再根据求向量模长的方法，结合向量数量积的运算法则即可求解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以，，. 则. 故答案为： 13. 椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则___________． 【答案】35 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可列得关于的方程，联立可得. 【详解】由题可知，. 所以， 化简得，所以. 故答案为：35. 14. 如图，函数的图象与坐标轴交于点、、，直线交的图象于点，（坐标原点）为的重心，，则点的坐标为___，___. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 设点、、，可知为的中点，利用重心的坐标公式可求得点的坐标，根据图象求出函数的最小正周期，可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，结合可求得的值，进而可求得的值. 【详解】设点、、， 由题意可知，为的中点，则， 由于（坐标原点）为的重心可得，解得，即点. 由图象可知，函数的最小正周期为，， 所以，，， ，可得，，解得， . 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】取特殊值判断①，当时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④. 【详解】当时，，显然函数的最小值为，故①正确； 当时，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，由可得， 此时，时，，在上单调递减，所以， 与最小值为矛盾， 若时，的对称轴方程为，当时， 即时，，若，则与矛盾， 当时，在上单调递减，无最小值， 综上，当时，函数的最小值不为，故②错误； 由②知，时，时，单调递减且，当时，且，所以函数恰有2个零点，故③正确； 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 综上时，有且只有1个零点，而在上至多有2个零点， 所以时，函数没有4个零点，当时，函数有无数个零点，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分类讨论，利用导数研究上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知函数． （1）已知曲线切线的倾斜角是0，求该切线方程； （2）求的单调区间； （3）已知，直接写出函数的零点个数． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为； （3）1 【解析】 【分析】（1）求导，设切点为，由导数几何意义得到方程，解得，得到切点坐标，求出切线方程； （2）先求定义域，令得，令得或，从而求出单调区间； （3）令，则或，从而可得零点个数. 【小问1详解】 由题意的， 而切线的倾斜角是0，则切线斜率为， 设切点为，则，解得， 故，故切点坐标为， 故该切线方程为； 【小问2详解】 在中，令，解得， 故定义域为， 由（1）知，，令得， 令得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 令，则或， 当时，即，解得， 当，即，解得， 因为函数定义域为， 所以函数零点的个数为1. 17. 已知两定点，，动点P满足，直线． （1）求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （2）记动点P的轨迹为曲线E，把曲线E向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线，求直线被曲线截得的最短的弦长； （3）已知点M的坐标为，点N在曲线上运动，求线段MN的中点H的轨迹方程． 【答案】（1）动点P的轨迹方程是，轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）设点，由题可得，进而即得； （2）由题可得圆：，然后根据圆的性质及弦长公式即得； （3）设，，根据坐标关系可得，代入曲线的方程进而即得. 【小问1详解】 设点， 由得， 化简得， ∴动点 P 的轨迹方程是，轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆； 【小问2详解】 ∵曲线E的方程为， ∴曲线的方程为，圆心为在，半径为2， 又∵直线可化为， 由，可得， ∴直线恒过定点， 由平面几何知识可知，当直线垂直于时被截得的弦长最短， ∵，半径为2， ∴最短弦长为； 【小问3详解】 设，，又点M的坐标为， 所以， ∴， ∵点 N 在圆：上运动， ∴， 所以，即， ∴点 H 的轨迹方程是． 18. 从①点是函数的图象的一个对称中心；②；③这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答. 问题：在锐角中，内角所对的边分别为，且______. （1）求； （2）求的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）选择①，利用二倍角公式、辅助角公式，结合正弦函数性质求解；选择②，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解；选择③，利用正弦定理边化角，再利用二倍角公式求解. （2）由（1）的结论，利用和角的正弦公式，结合正切函数的性质求解. 【小问1详解】 选择①：点是函数的图象的一个对称中心， 而，则，即， 由，得，则，所以. 选择②：，由正弦定理得， 由，得，则， 即， 因此，由，得，则，又， 所以. 选择③：，由正弦定理得， 由，得，则，而， 于是，由，得，因此，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 在锐角中，，得，，， 所以的取值范围为. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ，，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. 【小问2详解】 直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. 【小问3详解】 由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 20. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值. 【答案】（1）增区间为和；减区间为 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，再根据函数的正负来确定函数的单调区间即可； （2）（i）先求出导数，根据函数有两个极值点可知导数对应的方程有两个不同的正根，再结合二次函数的性质来确定参数的取值范围； （ii）先根据韦达定理得到与的关系，将表示为关于的函数，最后利用导数求该函数的最小值. 【小问1详解】 当时，，的定义域为， ， 令，得或， 单调递增； 单调递减； 单调递增. 综上，的增区间为和；减区间为. 【小问2详解】 （i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 21. 对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 【答案】（1） （2） （3）的最大值是，公差为 【解析】 【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值. （2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式. （3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值. 【小问1详解】 由题意得，，，， ∴，， 设数列的二阶和数列的公比为，则， ∴，，， ∴，，， ∴，，． 【小问2详解】 设的二阶和数列的前项和为， 由题意得，，， 由得数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴. 【小问3详解】 ∵， ∴，故． 设数列的公差为，则， ∴，得， ∵反比例函数在上为增函数， ∴由得，，故， ∵， ∴，故， ∴的最大值是，由得公差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $