1.4 空间向量的应用专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4 空间向量的应用 题型一 平面法向量的概念及辨析 1．如图，在长方体中，是上一点，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点也在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．设，，若，分别是平面，的法向量，若，则 . 4．在空间直角坐标系中，已知向量，其中分别是平面与平面的法向量. (1)若，求.的值； (2)若且，求的值. 题型二 求平面的法向量 5．已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 7．在长方体中，．以为原点，以{DA (→),DC (→),DD (→)1}为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为 （用向量的坐标表示）． 8．如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 题型三 空间位置关系的向量证明 9．空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与斜交 10．（多选）已知正方体的棱长为2，点满足，其中，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．不存在，使得平面平面 C．有且仅有一个和的值，使得平面 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 11．若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是 ． 12．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 题型四 空间向量平行的坐标表示 13．已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．平面的一个法向量是 D．三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面． 15．若两个向量，，且，则的值为 16．如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 题型五 空间位置关系的向量证明 17．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 18．（多选），分别是两条不同直线，的方向向量，，分别是两个不同平面，的法向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 19．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则    20．如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 题型六 空间向量垂直的坐标表示 21．已知，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 22．（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 23．已知向量，若．则 ． 24．已知点，，，，. (1)求的值； (2)若与垂直，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 空间向量的应用 题型一 平面法向量的概念及辨析 1．如图，在长方体中，是上一点，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，结合即可求解. 【详解】设，又，则，依题意，解得，所以. 故选：A 2．（多选）已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点也在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，结合数量积的坐标运算验证，，，是否与垂直即可． 【详解】记选项中的四个点依次为A，B，C，D， 则，，，，又， ，故与不垂直，故A错误； ，故与垂直，故B正确； ，故与垂直，故C正确； ，故与垂直，故D正确； 故选：BCD. 3．设，，若，分别是平面，的法向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意有，利用向量平行的坐标表示列方程，即可得结果. 【详解】由题意，则，故. 故答案为： 4．在空间直角坐标系中，已知向量，其中分别是平面与平面的法向量. (1)若，求.的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平面平行，得到空间向量平行，列出方程组，求出答案； （2）根据平面垂直，得到空间向量垂直，结合，列出方程组，求出答案. 【详解】（1）分别是平面与平面的法向量且， ， 令，即 所以，解得：. （2）分别是平面与平面的法向量且， ， 即， ， 又， 所以或. 题型二 求平面的法向量 5．已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【详解】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 6．（多选）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 7．在长方体中，．以为原点，以{DA (→),DC (→),DD (→)1}为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为 （用向量的坐标表示）． 【答案】 【分析】求得点的坐标，进而根据设平面的法向量为，根据，可求法向量的一个坐标. 【详解】以为空间的一个单位正交基底，空间直角坐标系如图所示： 又因为， 则， 则， 设平面的法向量为， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 故答案为：（不唯一）. 8．如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算即可； （2）以为原点建系，计算的坐标，再计算，即可通过即可计算面积； （3）设平面的法向量为，根据即可求出. 【详解】（1）因点分别是的中点， 则，， 则. （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 得，则， 则， 故的面积为. （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为.    题型三 空间位置关系的向量证明 9．空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与斜交 【答案】C 【分析】根据向量与的数量积为零，判断，再根据线面平行的判定定理可得，或者. 【详解】根据和得：； 因为，可得，所以； 为平面的法向量，所以或者. 故选：C. 10．（多选）已知正方体的棱长为2，点满足，其中，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．不存在，使得平面平面 C．有且仅有一个和的值，使得平面 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【分析】对A，利用，再结合条件，即可求解；对B和C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量法，即可求解；对D，利用几可关系求作出直线与平面所成的角，先求出使最大时，的位置，即可求解. 【详解】对于选项A，因为点满足，其中，则点平面， 又，由正方体的性质知，到平面的距离为， 则，所以A正确， 对于选项B，如图建立空间直角坐标系，因为， 则为的中点，为的中点，又正方体的棱长为， 则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以，则， 若平面平面，又平面，所以平面， 则有，与相矛盾，所以B正确， 对于C，因为，其中，又， 所以，则，所以 由选项B知，平面的一个法向量为， 由，得到，结合， 显然有多个和的值，使得平面，故C错误， 对于D，过作，交于，连接，， 由正方体的性质知，平面，所以平面，则为直线与平面所成的角， 在中，，当与重合，与重合时，最小，最大， 此时最大，最大，最大，且， 所以直线与平面所成角的正弦值最大为，故D正确，    故选：ABD. 11．若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是 ． 【答案】平行或直线在面内 【分析】由题意可得，进而可得结论. 【详解】由，， 可得，所以， 所以直线与平面的位置关系是平行或直线在面内． 故答案为：平行或直线在面内. 12．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【分析】（1）利用等边三角形的三线合一，可证明线线垂直，从而可得线面垂直； （2）利用面面垂直可得线面垂直，最后得到线线垂直，从而可用勾股定理求解边长；也可以用空间向量法来假设未知量，再列等式求解即可. 【详解】（1） 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以．                     因为是正三角形，D是中点，所以．                     又，，平面，所以平面． （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以．             由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以．             设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2．                 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，．             设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得．                 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 题型四 空间向量平行的坐标表示 13．已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【详解】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B 14．（多选）已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．平面的一个法向量是 D．三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面． 【答案】BCD 【分析】对于A：运用向量共线定理可判断；对于B：运用单位向量的定义可判断；对于C：利用平面法向量的求法可判断；对于D：利用四点共面的判定条件可判断. 【详解】对于A：， 与不是共线向量，故A错误； 对于B：， 则与同向的单位向量是，故B正确； 对于C：，     设平面的法向量为， 则， 取，得，故C正确． 对于D：若，且， 所以，，，四点共面，故D正确. 故选：BCD 15．若两个向量，，且，则的值为 【答案】 【分析】利用空间向量共线的性质，即可求解参数. 【详解】由两个向量，，且， 可设，可得， 解得，所以， 故答案为： 16．如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，在的延长线上，且 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据共线求证， （2）根据法向量与直线的方向向量垂直即可求解. 【详解】（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设平面的法向量为， 则取，则，得， 平面． （2）存在点，使得平面，在的延长线上，且． 由题意得， 设，则， 平面，得． 题型五 空间位置关系的向量证明 17．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直即可求解. 【详解】因为，所以，所以，即. 故选：D 18．（多选），分别是两条不同直线，的方向向量，，分别是两个不同平面，的法向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项判断得解. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，或，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，平面，不重合，，D正确. 故选：AD 19．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则    【答案】 【分析】建立空间坐标系，利用空间向量进行求解，平面则可利用与平面的法向量垂直求解. 【详解】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，   设， 则,， 设面的一个法向量, 则,即， 令得， 因为平面，所以,即， 所以得， ,所以， 因为，所以． 故答案为：． 20．如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以，，为空间向量的基底，利用基底表示向量，即可得； （2）利用基底法表示向量，再根据向量位置关系证明线面垂直. 【详解】（1）以，，为空间向量的基底， 则， 则； （2）由， 所以， 所以，即， 又， 所以， 所以，即， 又，，平面， 所以直线平面. 题型六 空间向量垂直的坐标表示 21．已知，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得. 【详解】由可得，解得. 故选：C 22．（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于A：，因为，所以不平行，故A错误； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：， ，则，故C正确； 对于D：与夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 23．已知向量，若．则 ． 【答案】4 【分析】先求得，再由求解. 【详解】因为向量， 所以，又． 所以，解得 ， 故答案为：4 24．已知点，，，，. (1)求的值； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出、后，利用向量夹角公式计算即可得； （2）借助向量坐标运算得到与后，利用向量数量积公式计算即可得. 【详解】（1），， 则； （2），， 则， 整理得，即或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $