1.1.1空间向量及其线性运算 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算 题型一 空间向量的有关概念 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 2．（多选）向量坐标为则下列结论正确的是（ ） A．该向量模为2 B．该向量的相反向量为 C．与该向量平行的单位向量是 D．该向量为零向量 【答案】AB 【分析】根据空间向量的相关概念逐一验证即可求解. 【详解】由向量的坐标为，得向量的模为2，故A正确；D错误； 该向量的相反向量为，故B正确； 与该向量平行的单位向量为，故C错误， 故选：AB. 3．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【答案】①② 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 4．在长方体中，，写出由顶点构成的向量中： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由长方体体对角线相等，得到与模相等的向量； （2）结合题意，图形及相等向量定义可得答案； （3）由图结合长方体特征可写出与垂直的向量. 【详解】（1）由长方体体对角线相等，可得与模相等的向量有： ； （2）由图，与相等的向量有； （3）由图与垂直的向量有： 题型二 空间向量的加减运算 5．在空间四边形PABC中，BA (→)+AC (→)-BP (→)=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的运算求解即可. 【详解】BA (→)+AC (→)-BP (→)=BC (→)-BP (→)=PC (→). 故选：C. 6．（多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据向量的加法和减法运算逐一化简即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D错误；    故选：AB 7．在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则 . 【答案】 【分析】设中点为，根据线面关系可得与的交点为，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设，求解即可. 【详解】连接如图，设中点为， ，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点. 因为，，，设， 则，设， 则，故， 故，解得，代入可得，即. 由重心性质可得，设， 又， 则，故，解得. 故，故. 故答案为：. 8．如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 【答案】(1)，如图所示 (2) 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则以及向量的运算法则化简，再根据向量关系在图中标出对应向量， （2）先对向量式子进行变形，再利用正三棱柱的性质和勾股定理求解. 【详解】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示    （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. 题型三 空间向量加减运算的几何表示 9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减法运算法则，以，，为基底表示出即可. 【详解】如图：    ， 又， 所以 ， 故选： 10．（多选）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】ABCD 【分析】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项. 【详解】对于A,； 对于B，； 对于C,； 对于D,． 故选：ABCD. 11．如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由图可得 . 故答案为：. 12．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 【答案】(1)0 (2) 【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可. 【详解】（1）， （2） ， ． 题型四 空间向量共线的判定 13．下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 14．（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 15．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    题型五 由空间向量共线求参数或值 16．已知向量与共线，则（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】D 【分析】根据两向量共线的坐标关系，列出方程求解即可. 【详解】因为向量与共线， 显然：,所以， 所以， 故． 故选：D 17．（多选）已知，.若，则与的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果. 【详解】根据题意，有且，得，解得，； 即可得，解得或； 因此与的值可以是或. 故选：AB 18．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为 ． 【答案】； 【分析】根据三点共线，可得空间向量、共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 即，解得． 故答案为：. 19．如图，三棱锥中，平面平面，，，，，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点是线段的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在； 【分析】（1）已知平面平面，利用面面垂直的性质，得出平面，从而有，又，且，平面，根据线面垂直的判定定理，即可证出平面； （2）在平面内，过点作，点为垂足，过点作直线，利用面面垂直的性质可得出平面，，可证出平面，以为原点建系，直线分别为轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求出和平面的法向量为，根据空间向量线面夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）设，，则，，平面的法向量，由于平面，即可求出，从而得出的值. 【详解】（1）证明：∵平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面 又平面，∴， 因为，，，平面， 所以平面. （2）解：在平面内，过点作，点为垂足，过点作直线， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵， ∴平面， 以为原点建系，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，， ∴，不妨设，则， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为， （3）解：设，，则 ∴，又， ∴， 平面的法向量， 因为平面，即， ∴， 从而. 题型六 空间共线向量定理的推论及应用 20．向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 【答案】D 【分析】利用反例或共线向量定理可得正确的选项. 【详解】如果，则， 不成立，故A错误， 如果，则，故平行，但不成立， 因为无意义，故B错误. 对于C，不成立，因为是向量，而是实数，故C错误. 对于D，由向量共线定理可得： 向量与非零向量平行等价于存在实数k，使， 故D成立， 故选：D. 21．（多选）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC.    22．在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【答案】/ 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 71．如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点. (1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面EFG∥平面AB1C． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】(1)选出向量的基底，利用向量共线基本定理，可判断两条直线平行． (2)根据向量的线性运算，可判断直线与直线的平行，进而得到平面与平面的平行． 【详解】证明把{}作为空间的一个基底. (1)因为,所以=2. 所以EG∥AC. (2)由(1)知EG∥AC,又AC⊂平面AB1C,EG⊄平面AB1C,所以EG∥平面AB1C. 因为,所以=2.所以FG∥AB1. 又AB1⊂平面AB1C,FG⊄平面AB1C, 所以FG∥平面AB1C. 又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C. 题型七 判断空间向量共面 24．若{ɑ (→)，b (→)，c (→)}构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理逐项判断即可． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为零的实数，使， 即，则共面与构成空间的一组基底矛盾， 因此，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B不正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C不正确； 对于D，因为，所以，，共面，故D不正确； 故选：A． 25．（多选）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． 26．如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 27．在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 题型八 空间向量共面求参数 28．已知空间四点，，，共面，则x为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】求得的坐标，根据题意可知存在实数使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于的方程组，进而可求得实数的值. 【详解】依题意得， 因为四点共面，所以共面， 所以存在实数使得， 即，所以，解得. 故选：D. 29．（多选）在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（    ） A． B．不存在，使得平面 C．若平面平面，则 D．若四点共面，则 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面，可得，即可判断选项A；利用线面垂直的判定定理可判断选项B；利用面面平行的性质定理可得，即可判断选项C；利用三点共线与向量的关系以及向量的数乘关系可判断选项D. 【详解】对A，连接交于点，连接， 因为在正四棱锥中，底面为正方形， 所以， 又因为，为中点，所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，A正确； 对B， 因为，为中点，所以， 因为为正方形，所以， 又因为，平面，所以平面， 则平面，所以当，即点与重合时，平面，B错误； 对C，连接，因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以根据面面平行的性质定理可知， 又因为分别为的中点，所以为中点，所以，C正确； 对D，因为四点共面，所以四边形为平面四边形， 所以连接交于点， 在中，因为共线， 所以， 由于对称性可知，为中点， 又因为所以, 所以， 所以，解得，D正确； 故选：ACD. 30．已知 若三向量共面，则实数 . 【答案】3 【分析】由空间向量共面定理，待定系数求解即可. 【详解】因为三向量共面，故存在实数，使得， 所以 则 解得. 故答案为：3. 31．已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）可求.由已知可设，通过解出，代入即可；（2）由已知得，四点共面，则存在唯一一组实数对，使得成立，代入坐标得到方程组，求解即可得到m的值. 【详解】（1）由已知得，， 因为，设，则， 所以，或. （2）由已知得，， 点在平面ABC上，则存在唯一一组实数对， 使得成立，即， 解得，所以 题型九 空间空面向量定理的推论及应用 32．空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量定理的推论求的值即可． 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得． 故选：C． 33．（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A．MA (→)=4MB (→)-2MC (→) B． C．OM=OA (→)+OB (→)+OC (→) D．OM=4OA (→)-2OB (→)-OC (→) 【答案】AC 【分析】空间向量基本定理及推论判断即可. 【详解】因为MA (→)=4MB (→)-2MC (→)，结合平面向量的基本定理可知四点共面，所以A选项正确； 由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数，使得，且，显然B选项不正确，C选项正确； 化简OM=OA (→)+OB (→)+OC (→)，可得， 满足四点不共面，D选项不正确． 故选：AC 34．已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 35．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果； （2）证得，即可得出结论. 【详解】（1） 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． （2）因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 题型十 空间向量的数乘运算 36．如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 37．（多选）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意得，再利用与共线的单位向量为，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以与向量共线的单位向量为或， 故选：AD. 38．如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 ．（用，，表示）    【答案】 【分析】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】是的重心， ， . 故答案为：. 39．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 【答案】(1)，图示见解析； (2)，图示见解析. 【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可. 【详解】（1）， 设P是线段的中点， 则， 向量如图所示. （2）， 设Q是线段的中点， 则， 向量如图所示. 题型十一 空间向量数乘运算的几何表示 40．如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 41．（多选）在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点G在底面内运动含边界，且平面，则（    ） A．若，则平面 B．点G到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q作出图形，确定平面，及点G的轨迹．对于A，由条件得点G为棱的中点P，根据线面平行的性质判定即可；对于B，由，可得点G到的距离即为与间的距离，求解即可判断；对于C，连，与的交点即为点G，求解即可得出；对于D，设面，根据对称性可知，为的中点，由已知得为直线与平面所成的角，即可求解判断. 【详解】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q， ∵点E，F分别为棱，的中点，∴， ∵，∴， ∵平面，平面，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴，同理， ∵平面，∴平面， 根据条件平面，可得平面即为平面， 于是点G的轨迹即为线段 对于A，若，则点G在上， 又点G的轨迹即为线段，则点G为棱的中点P， 连，∵，∴为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，∵点F，Q分别为棱，的中点，∴， ∴正六边形的边长为， 设正六边形的中心， 则均是边长为的正三角形， ∵, ∴，即与间的距离， 因为，所以点G到的距离即为与间的距离， 所以点G到的距离为，所以 B错误； 对于C，连，交点为， ∵，则点G在上， 又点G的轨迹即为线段，则点G为与的交点， ∵分别为的中点，则， 此时，于是满足，所以C正确； 对于D，设平面，根据对称性可知，为的中点， ∴， ∵平面，∴为直线与平面所成的角， 又， ∴， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确， 故选：ACD. 42．如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 43．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2) 【分析】根据向量加法法则求解即可； 【详解】（1） （2） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1空间向量及其线性运算 题型一 空间向量的有关概念 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．（多选）向量坐标为则下列结论正确的是（ ） A．该向量模为2 B．该向量的相反向量为 C．与该向量平行的单位向量是 D．该向量为零向量 3．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 4．在长方体中，，写出由顶点构成的向量中： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量. 题型二 空间向量的加减运算 5．在空间四边形PABC中，BA (→)+AC (→)-BP (→)=（    ） A． B． C． D． 6．（多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 7．在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则 . 8．如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 题型三 空间向量加减运算的几何表示 9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量AC (→)1的是（ ） A．； B．； C．； D．． 11．如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于 . 12．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 题型四 空间向量共线的判定 13．下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 15．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    题型五 由空间向量共线求参数或值 16．已知向量与共线，则（   ） A． B．0 C．2 D．6 17．（多选）已知，.若，则与的值可以是（    ） A． B． C． D． 18．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为 ． 19．如图，三棱锥中，平面平面，，，，，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点是线段的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 题型六 空间共线向量定理的推论及应用 20．向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 21．（多选）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面   22．在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 71．如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点. (1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面EFG∥平面AB1C． 题型七 判断空间向量共面 24．若{ɑ (→)，b (→)，c (→)}构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 25．（多选）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 26．如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 . 27．在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 题型八 空间向量共面求参数 28．已知空间四点，，，共面，则x为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 29．（多选）在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（    ） A． B．不存在，使得平面 C．若平面平面，则 D．若四点共面，则 30．已知 若三向量共面，则实数 . 31．已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 题型九 空间空面向量定理的推论及应用 32．空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 33．（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A．MA (→)=4MB (→)-2MC (→) B． C．OM=OA (→)+OB (→)+OC (→) D．OM=4OA (→)-2OB (→)-OC (→) 34．已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 35．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 题型十 空间向量的数乘运算 36．如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 37．（多选）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 38．如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 ．（用，，表示）    39．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 题型十一 空间向量数乘运算的几何表示 40．如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 41．（多选）在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点G在底面内运动含边界，且平面，则（    ） A．若，则平面 B．点G到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 42．如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 43．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2). 1 学科网（北京）股份有限公司 $