精品解析：河南省郑州市第八中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试题

2025-2026学年上学期期中学情监测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图是一个正三棱柱，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（ ） A. 邻边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 4. 如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 为了促进房地产市场的稳定发展，我国政府今年陆续出台了一系列新的房地产政策．某公司十月份销售商品房20套，新政策出台后，销售量快速上升，截至十二月末该公司累计售出商品房95套，求该公司第四季度商品房销售量的月平均增长率．设该公司第四季度商品房销售量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点为的中点，在中，，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，为上一点且、交于点，若．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为42 D. 当时，的面积为24 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为______． 12. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有约_______条． 13. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根_____． 14. 如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点的坐标为_____ 15. 如图，在矩形中，，，P是的中点，Q为边上的动点，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，在旋转过程中，记点Q的对应点为，则线段长度的最大值是_________，最小值是_________． 三、解答题（本大题共7个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某校对七、八年级的学生进行了“党的二十大精神"学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人，为了解该校七、八年级学生对“党的二十大精神”知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 7 中位数 8 优秀率 八年级抽取学生的成绩条形统计图 （1）填空：________，________； （2）请估计七、八年级学生对知识掌握能够达到优秀的总人数； （3）现从七、八年级获得10分的四名同学中随机抽取两人作为宣讲员，请用列表法或画树状图法求出被选中的两人恰好是七、八年级各一人的概率． 18. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形； （3）的面积_____． 20. 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为． （1）人行过道的宽是多少米？ （2）该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位．在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为元？ 21. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 （1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ （2）乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 22. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中学情监测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图是一个正三棱柱，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图． 根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体是特征即可作出判断． 【详解】解：它的俯视图是 故选：D 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质，计算判断即可． 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由得， A.由得，不符合题意； B. 不符合题意； C. 符合题意； D. 由得，不符合题意； 故选：C． 3. 下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（ ） A. 邻边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，根据菱形、矩形、正方形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解： A． 邻边相等：菱形和正方形满足，但矩形邻边不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． B． 对角相等：菱形、矩形、正方形均为平行四边形，对角均相等，本选项符合题意． C． 对角线互相垂直：菱形和正方形满足，但矩形对角线不一定垂直（仅正方形垂直），本选项不符合题意； D． 对角线相等：矩形和正方形满足，但菱形对角线不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意． 综上，三者共同性质为对角相等， 故选B． 4. 如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 【详解】解：是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 5. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 6. 定义运算：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义运算的理解和二次方程根的判别式，关键是将新运算转化为代数表达式，再利用判别式求解．根据新定义的运算规则，将方程 转化为标准二次方程，再计算判别式判断根的情况． 【详解】解： ， ， 令 ， 则判别式 ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 为了促进房地产市场的稳定发展，我国政府今年陆续出台了一系列新的房地产政策．某公司十月份销售商品房20套，新政策出台后，销售量快速上升，截至十二月末该公司累计售出商品房95套，求该公司第四季度商品房销售量的月平均增长率．设该公司第四季度商品房销售量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握增长前的量年平均增长率 增长后的量是解题的关键． 设月平均增长率为x，则十一月的销售量为套，十二月的销售量套，根据十二月末该公司累计售出商品房95套，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设月平均增长率为x，则十一月的销售量套，十二月的销售量套，根据题意得： 故选：C． 8. 如图，在中，，点为的中点，在中，，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，三角形外角性质. 根据直角三角形性质得到,再结合等腰三角形的性质和三角形外角性质得到,进而得到,即可解题. 【详解】解：∵，点E为的中点,， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， 同理可得， ∴ 故选：B. 9. 如图，在矩形中，，，为上一点且、交于点，若．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；由矩形的性质及勾股定理可求得，由得，得，由此可求得；再可得，则，即可求得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：． 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为42 D. 当时，的面积为24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息．根据图象可直接判断A和B；由平行四边形的周长公式可判断C；由三线合一得，由勾股定理求出，求出，进而求出的面积可判断D． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A不正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B不正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C不正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：12． 12. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有约_______条． 【答案】1000 【解析】 【分析】设鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼x条， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， 所以估计鱼塘中约有1000条鱼， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，则由根与系数的关系得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，矩形的对角线交点的坐标为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点D作轴于点G，求出，进而求出点的初始位置，根据每秒旋转，6次一个循环，，可得第2025秒，点的位置与关于点对称，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点G， 由题意可得：， ， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的初始位置为， 矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转， ∴6次一个循环，， 第2025秒与起始位置夹角为， 与x轴负半轴夹角为， 此时，与x轴正半轴夹角为，即点的位置与关于点对称， 故此时，， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，P是的中点，Q为边上的动点，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，在旋转过程中，记点Q的对应点为，则线段长度的最大值是_________，最小值是_________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了线段动点最值问题，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，可得，当与重合时，即与重合时，此时取得最大值，结合矩形的性质及勾股定理，即可求解；当点Q与点B重合时最小，即可求解；能找出取得最值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图， P是的中点， ， ， ， 当取得最大值时，最大， 如图， 当与重合时，即与重合时，此时取得最大值， ， 在矩形中，，， 四边形是矩形， ，， ， ； 如图， 当点Q与点B重合时最小． 当点Q与点B重合时， 的最小值为． 综上所述，的最大值为，最小值为2． 故答案为：，2． 三、解答题（本大题共7个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ，即， 或， 解得． 17. 某校对七、八年级的学生进行了“党的二十大精神"学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人，为了解该校七、八年级学生对“党的二十大精神”知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 7 中位数 8 优秀率 八年级抽取学生的成绩条形统计图 （1）填空：________，________； （2）请估计七、八年级学生对知识掌握能够达到优秀的总人数； （3）现从七、八年级获得10分的四名同学中随机抽取两人作为宣讲员，请用列表法或画树状图法求出被选中的两人恰好是七、八年级各一人的概率． 【答案】（1）8 （2）700人 （3） 【解析】 【分析】（1）由众数和中位数的定义求解即可； （2）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：七年级得分为8分的人数最多，所以众数为8分，即， 八年级抽取学生的测试成绩按从从大排列，第8位成绩为8分，所以八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8分，故． 故答案为：8，8； 【小问2详解】 解：七、八年级学生对知识掌握能够达到优秀的总人数为 （人）． 答：估计七、八年级学生对知识掌握能够达到优秀的总人数． 【小问3详解】 解：把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为，， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，被选中的二人恰好是七、八年级各一人的结果为6种， 所以被选中的二人恰好是七、八年级各一人的概率为 ． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数、用样本估计总体数量等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 18. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1） 是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形； （3）的面积_____． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 如图，为所作； （3） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和利用网格求三角形的面积． （1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为， 故答案为：． 20. 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为． （1）人行过道的宽是多少米？ （2）该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位．在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为元？ 【答案】（1）米 （2）元 【解析】 【分析】（）设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出方程解答即可求解； （）设每个摊位的月租金为元，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 答：人行过道的宽是米； 【小问2详解】 解：设每个摊位的月租金为元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵尽可能让利于摊主， ∴， 答：当每个摊位的月租金为元时，该夜市的月租金总收入为元． 21. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 （1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ （2）乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． 【小问2详解】 解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． 22. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）仍然成立， 证明：由图可知，，， ， ， 由图可知，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】延长交于点，根据矩形的性质和垂直的定义可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据直角三角形的性质可得； 由图可知，，从而可得：，由旋转可知，图中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，从而可证仍然成立； 当时，四边形是正方形，当点在线段上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得；当点在线段延长线上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 又， ， 故答案为：； 略 解：当时，四边形是正方形， 如图，当点在线段上时，连接、， 四边形和四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 如图，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质判断三角形相似，再利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $