四川省内江市隆昌市第二中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

( 学校： 考号： 姓名： 班级： ※※※※※※※※※※※ 密 ※※※※※※※※※※※※※※※※※ 封 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线 ※※※※※※※※※※※※※ ) 隆昌市第二中学2025—2026学年度第一学期期中学期调研初中九年级 数学 答题卡 ( 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂上面的缺考标记 ) ( 注意事项 ) ( 1. 答题前，考生务必认真核对条形码上的姓名、准考证号，无误后将本人 姓名、准考证号填写在相应的位置 。 2. 选择题填涂时，必须使用 2B 铅笔按 图示规范填涂；非选择题必 须用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔书写， 字体工整、字迹清楚。 3. 非选择题请按照题目顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域 书写的答案无效；在草稿纸、试题上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 ) ( Ⅰ 卷 （选择题 共48分） （考生须用2 B 铅笔填涂） ) ( 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 13、______ _ _ _ _ _ ___ 14、_______ _______ 15、_____ _ __ _ _____ 16、 ) ( Ⅱ 卷 （非选择题 共72分） （考生须用 0.5 毫 米 黑色墨迹签字笔书写） ) ( 二、填空题（每空4分，共16分） 13 、 14 、 15 、 16 、 ) ( 解答题（ 共 56 分 ） 17 、（ 本小题两个小题，每个小题 5 分，满分 10 分） （ 1 ）计算： （ 2 ）解方程： ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 1 8 、（本小题满分 8 分） 如图，平行四边形 ABCD ， DE 交 BC 于 F ，交 AB 的延长线 于 E ，且 . （ 1 ）求证： ∽ ； （ 2 ）若 ， ，求 DE 的长 。 ) ( 19 、 （本小题满分 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 20 、（本小题满分 8 分） ) ( 21、（本小题满分10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 22 、 （ 本小题满分 1 2 分） 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究。如图 1 ，已知 和 均为等腰直角三角形，点 D ， E 分别在线段 AB ， AC 上，且 ． （ 1 ）观察猜想 小华将 绕点 A 逆时针旋转，连接 BD ， CE ，如图 2 ，当 BD 的延长线恰好经过点 E 时： ① 的值为 ； ② BD 与 CE 的夹角的度数为 度． （ 2 ）类比探究 如图 3 ，小芳在小华的基础上继续旋转 ，连接 BD 、 CE ，设 BD 的延长线交 CE 于点 F ，（ 1 ）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （ 3 ）拓展延伸 若 ， ，当 CE 所在的直线垂直于 AD 时，请你直接写出 BD 的长。 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 隆昌市第二中学2025—2026学年度第一学期期中学期调研初中九年级 数学试题参考答案及评分意见 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。） 1、下列式子属于最简二次根式的是（ B ） A、 B、 C、 D、 2、下列各式计算正确的是（ C ） A、 B、 C、 D、 3、在中，，若，则等于（ C ） A、 B、 C、 D、 4、下列事件是必然事件的是（ B ） A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C、小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D、从《西游记》、《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 5、阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球。”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物。这一原理在生活中随处可见。如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则AC的长度是（ C ） A、 80cm B、60cm C、50cm D、40cm ( O A B C D 甲 乙 第5题图 第9题图 ) 6、等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ C ） A、10 B、12 C、 14 D、10或14 7、若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ C ） A、 B、 C、且 D、且 8、在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量反复摸球试验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ B ） A、12个 B、16个 C、20个 D、25个 9、王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱。如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ C ） A、 B、 C、 D、 10、如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点，则的正弦值是（ D ） A、 B、 C、 D、 ( 第12题图 x y O B A B 3 O 2 A 1 O 1 B 1 B 2 A 2 A 3 O 4 O 3 A B O 第10题图 D E F 第11题图 A B C ) 11、如图，BE是的中线，点D在BC上且满足，连接AD，与BE交于点F，则的值为（ C ） A、 B、 C、4 D、 12、如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点B的坐标为（0，3），则点的坐标为（　C　） A、（180，135） B、（180，133） C、（，135） D、（，133） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、若代数式有意义，则x的取值范围是 ；【答案】 14、已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为_____；【答案】 15、如图，在中，，于点D，点F在BC上，且，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为____ _；【答案】4 ( H P D E F 第16题图 A B C D E F 第15题图 A B C ) 16、如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H.下列结论：①；②；③；④；⑤.正确的有： . （填序号）【答案】①②④ 三、解答题（本大题共6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 17、（本小题两个小题，每个小题5分，满分10分） （1）计算： 【详解】解原式 【点评】本题主要考查了实数的混合运算，熟练地掌握乘方、绝对值和特殊三角函数值是解决本题的关键。 （2）解方程： 【详解】解： ∴或 ∴， 【点评】本题主要考查了接一元二次方程，熟练地掌握因式分解法是解决本题的关键。 18、（本小题满分8分）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且. （1）求证：∽； （2）若，，求DE的长。 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 又 ( D E F A B C )∴∽； （2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ 由（1）得∽ ∴ ∵， ∴， 即 ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质。解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图。 19、（本小题满分8分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图。 ( 20 15 10 5 0 4 15 18 3 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 节目类型 人数 体育 动画 娱乐 戏曲 30% 新闻 ) （1）请将条形统计图补充完整； （2）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （3）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率。 【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为（名）； （2）喜爱“体育”的人数为（名） 补全图形如下： ( 20 15 10 5 0 4 15 18 3 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 节目类型 人数 体育 动画 娱乐 戏曲 30% 新闻 ) （3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名）； （4）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ 所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键、条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小。 20、（本小题满分8分）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）。他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（）为，在C处测得桥塔顶部A的仰角（）为，又测得，，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）． ( 乙 A B C D 甲 ) 【详解】解：设 ∵ ∴ 在中， ∴ 在中，， ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ 答：桥塔AD的高度为． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，解得到，解得到，再由，得到，解方程即可得到答案。 21、（本小题满分10分）某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升。据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件。 （1）求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件。若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率50%； （2）设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元； 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用、二次函数的性质，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键。 22、（本小题满分12分） 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究。如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，且． ( 图 3 D E F A B C 图 2 D E A B C 图 1 D E A B C 图 4 A B C ) （1）观察猜想 小华将绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图2，当BD的延长线恰好经过点E时： ①的值为 ；②BD与CE的夹角的度数为 度． （2）类比探究 如图3，小芳在小华的基础上继续旋转，连接BD、CE，设BD的延长线交CE于点F，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长。 【详解】（1）解：①如图，设AC与BE交于点O， ( 图 2 D E A B C O )∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴∽ ∴； ②∵∽ ∴，即 又∵ ∴ ∴ 即BD与CE的夹角的度数为45度； 故答案为：①，②45； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，设设AC与BE交于点O， ( 图 3 D E F A B C O )∵和均为等腰直角三角形 ∴，， ∴ ∴， ∴∽ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴，BD与CE的夹角的度数为45度； ( E A B C D O )（3）解：分两种情况： 当于点O时，如图： ∵，， ∴ ∵ ∴ ( E A B C D O )∴ ∴ 同（1）（2）可得 ∴； 当时，延长CE交AD于O，如图： 同理可得：， ∴， ∵ ∴； 综上可知，BD的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键。 隆昌市第二中学2025—2026学年度第一学期期中学期调研初中九年级数学试题答案——第 7 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 学校： 考号： 姓名： 班级： ※※※※※※※※※※※ 密 ※※※※※※※※※※※※※※※※※ 封 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线 ※※※※※※※※※※※※※ )隆昌市第二中学2025—2026学年度第一学期期中学期调研初中九年级 数 学 试 题 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。） 1、下列式子属于最简二次根式的是（ ） A、 B、 C、 D、 2、下列各式计算正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、在中，，若，则等于（ ） A、 B、 C、 D、 4、下列事件是必然事件的是（ ） A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C、小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D、从《西游记》、《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 5、阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球。”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物。这一原理在生活中随处可见。如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则AC的长度是（ ） A、 80cm B、60cm C、50cm D、40cm ( O A B C D 甲 乙 第5题图 第9题图 ) 6、等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A、10 B、12 C、 14 D、10或14 7、若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A、 B、 C、且 D、且 8、在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量反复摸球试验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ） A、12个 B、16个 C、20个 D、25个 9、王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱。如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A、 B、 C、 D、 10、如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点，则的正弦值是（ ） A、 B、 C、 D、 ( 第12题图 x y O B A B 3 O 2 A 1 O 1 B 1 B 2 A 2 A 3 O 4 O 3 A B O 第10题图 D E F 第11题图 A B C ) 11、如图，BE是的中线，点D在BC上且满足，连接AD，与BE交于点F，则的值为（ ） A、 B、 C、4 D、 12、如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点B的坐标为（0，3），则点的坐标为（　　） A、（180，135） B、（180，133） C、（，135） D、（，133） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、若代数式有意义，则x的取值范围是 ； 14、已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为_____； 15、如图，在中，，于点D，点F在BC上，且，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为____ _； ( H P D E F 第16题图 A B C D E F 第15题图 A B C ) 16、如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H.下列结论：①；②；③；④；⑤.正确的有正确的有： . （填序号） 三、解答题（本大题共6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 17、（本小题两个小题，每个小题5分，满分10分） （1）计算： （2）解方程： 18、（本小题满分8分）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且. （1）求证：∽； （2）若，，求DE的长。 ( D E F A B C ) 19、（本小题满分8分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图。 ( 20 15 10 5 0 4 15 18 3 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 节目类型 人数 体育 动画 娱乐 戏曲 30% 新闻 ) （1）请将条形统计图补充完整； （2）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （3）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率。 20、（本小题满分8分）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）。他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（）为，在C处测得桥塔顶部A的仰角（）为，又测得，，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）． ( 乙 A B C D 甲 ) 21、（本小题满分10分）某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升。据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件。 （1）求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件。若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ ( 密 封 线 内 不 要 答 题 线 封 密 )22、（本小题满分12分） 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究。如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，且． ( 图 3 D E F A B C 图 2 D E A B C 图 1 D E A B C 图 4 A B C ) （1）观察猜想 小华将绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图2，当BD的延长线恰好经过点E时： ①的值为 ；②BD与CE的夹角的度数为 度． （2）类比探究 如图3，小芳在小华的基础上继续旋转，连接BD、CE，设BD的延长线交CE于点F，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长。 隆昌市第二中学2025—2026学年度第一学期期中学期调研初中九年级数学试题——第 4 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $