精品解析：内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

内蒙古师范大学附属中学2025-2026学年度第一学期期中考试 数学 一、选择题：本题共8小题，其中1-4各两分、6-8各三分、共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，1， C. 3，，2 D. 3，1，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：左加右减，上加下减．根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求出所得抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：∵把抛物线向下平移1个单位， ∴所得抛物线的函数表达式是：． 故选：． 3. 方程（x-1）（x-2）=1的根是（　　） A. x1=1，x2=2 B. x1=-1，x2=-2 C. x1=0，x2=3 D. 以上都不对 【答案】D 【解析】 【详解】解：方程整理得：x2﹣3x+1=0，这里a=1，b=﹣3，c=1，∵△=b2﹣4ac=9﹣4=5，∴x=．故选D． 4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 5. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．在中，，可知是直角三角形，，，根据勾股定理可知，将绕点逆时针旋转，所以，，所以连接（图示见详解），在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，是直角三角形，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得，且，， ∴，如图所示，连接， 在中，． 故选：． 6. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解：x2－6x+8=0 （x－4）（x－2）=0 解得：x=4或x=2， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故A错误； B、函数中，，，中，，，故B正确； C、函数中，，，中，，，故C错误； D、函数中，，，中，，，故D错误． 故选：B． 8. 菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积． 【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°， 连接，相交于点O，与交于点E， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形， ∴， ∴A，，C三点共线， ∴， 又∵， ∴，， ∵重叠部分的面积， ∴重叠部分的面积； ②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键． 二、填空题：本题共7小题，其中9-11各两分，12-15各三分共18分． 9. 若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用抛物线的顶点形式得出抛物线的顶点坐标，结合第一象限点的坐标特点列出不等式组解答即可． 【详解】抛物线， 顶点坐标为， 顶点在第一象限， 且， 的取值范围为， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是那么汽车刹车后_________秒停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用顶点坐标求解是解题的关键．汽车刹车后速度减为0时停下来，此时行驶的距离达到最大值，因此，本题即求取得最大值时t的取值． 【详解】解：． 因为，当时，s取得最大值． 故汽车刹车后秒，停下来． 故答案为：． 11. 将抛物线向左平移_______个单位后经过点． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案． 【详解】解：∵将抛物线向左平移后经过点， ∴设平移后解析式为：， 则， 解得：或（不合题意舍去）， 故将抛物线向左平移3个单位后经过点． 故答案为3． 【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 12. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，不等式组的解法，根据原点对称的性质，点P关于原点的对称点的横纵坐标是点P的横纵坐标的相反数，再根据第四象限点的坐标特征（横坐标大于0，纵坐标小于0）列出不等式组求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 由于在第四象限，则横坐标大于0，纵坐标小于0， 即， 解不等式，得； 解不等式，得． 因此，的取值范围是． 故答案为： 13. 已知：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，则该二次函数的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用二次函数的对称轴公式求出参数，再代入已知点坐标求出参数． 【详解】解：由二次函数的对称轴公式，其中，对称轴为， 得：， 解得：， 将和点代入函数解析式， 得：， 解得：， 故函数解析式为， 故答案为：． 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 15. 已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴②错误． ∵， ∴③正确． ∵当时，， ∴． ∴④错误． 当时，有最大值为， ∴对于任意实数m，总有， ∴对于任意实数m，总有． ∴⑤正确． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 16. 用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； 【小问3详解】 解：， 这里，，， ， ， 解得：，； 【小问4详解】 解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 四、解答题：本题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一根为，求的值和该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：对一元二次方程， ， ， ，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根； （2），另一个根为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌握的符号与一元二次方程根的个数的关系及根与系数的关系． （1）证明即可； （2）设一元二次方程另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，即可解得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设一元二次方程另一个根为， 则，， ， 解得：， ， 答：的值是，该方程的另一个根为． 18. 如下图,三个顶点的坐标分别为． （1）请画出向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； （2）请画出绕原点逆时针旋转90°后得到的； （3）P为x轴上一动点，当有最小值时，求这个最小值． 【答案】（1）如图示，依题意△为所作； （2）如图示，依题意△为所作； （3） 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，然后计算出即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则， 此时的值最小，最小值为， 而， 所以这个最小值为． 【点睛】本题考查了作图旋转变换，平移变换和最短路径问题，熟悉相关性质是解题的关键． 19. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，求与墙垂直的一边的长度． 【答案】8m 【解析】 【分析】根据题意，得四边形为矩形；根据花园面积及篱笆的总长度，，通过列一元二次方程并求解，结合题意分析，即可得到答案． 【详解】如下图： 根据题意，得四边形为矩形，m ∴， ∴， ∴m ∵花圃面积为80m2 ∴m2 设m，则 ∴ ∴ ∴ ∴或 当时，m ∵ ∴不符合题意 当时，m ∴符合题意 ∴与墙垂直的一边的长度为8m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是根据题意列出一元二次方程，从而完成求解． 20. 如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】（1）； （2）能，由题意，得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米 如果该船的速度不变，能安全通过此桥． 【解析】 【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论． 【详解】（1）设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米， 则， 解得 抛物线的解析式为； （2） 略 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的应用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 21. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点． （1）直接写出一个a的值，使得成立； （2）是抛物线上不同于M，N的点，若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质： （1）根据二次函数的对称性可得到结果； （2）根据该二次函数开口向上，在对称轴处取得最小值，分情况讨论即可； 掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据抛物线可得， 该抛物线开口向上，对称轴为：， 若使得成立， 则M点要比N点离对称轴比较近，或者M点和N点都在对称轴右侧， ，中点的横坐标为：， ∴， ∴（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴函数图像开口向上，对称轴为， ①当时， ∴点P，M，N均在对称轴右侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； ②当时， ∵点P在对称轴左侧，设P点关于的对称点为， 则点的坐标为， ∵点，M，N在对称轴右侧，且， ∴， ∴； ③当时， ∵点P和M在对称轴左侧，由函数性质，有， ∵点，N在对称轴右侧，且， ∴， ∴； ④当时， ∴点P，M，N均在对称轴左侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； 由①②③④可知，． 22. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）；顶点坐标为 （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解； （3）①如图所示，当，即时，②当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得： ∴抛物线解析式为； ∵， ∴顶点坐标为， 【小问2详解】 解：由， 当时，， 解得：， ∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中． ∴ ∴ 解得：， ∵点的坐标为， ∴； 【小问3详解】 ①如图所示，当，即时， 抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点， ∵顶点坐标为， 则纵坐标之差为 依题意， 解得：； ②当，即时， ∵，即， 依题意，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； 【小问4详解】 解：如图所示， ∵在轴的上方， ∴ ∴ ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ ∵, ①当是的中点，如图所示 则， ∴代入， 即， 解得：（舍去）或； ②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半， ∴， 解得：， ③如图所示， 设，则， ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ 即 ∴， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， 解得：， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古师范大学附属中学2025-2026学年度第一学期期中考试 数学 一、选择题：本题共8小题，其中1-4各两分、6-8各三分、共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，1， C. 3，，2 D. 3，1，2 2. 在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 方程（x-1）（x-2）=1的根是（　　） A. x1=1，x2=2 B. x1=-1，x2=-2 C. x1=0，x2=3 D. 以上都不对 4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 8. 菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，其中9-11各两分，12-15各三分共18分． 9. 若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为______． 10. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是那么汽车刹车后_________秒停下来． 11. 将抛物线向左平移_______个单位后经过点． 12. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则m的取值范围是_______． 13. 已知：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，则该二次函数的表达式为________． 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 15. 已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是______．（填序号） 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 16. 用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 四、解答题：本题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一根为，求的值和该方程的另一个根． 18. 如下图,三个顶点的坐标分别为． （1）请画出向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； （2）请画出绕原点逆时针旋转90°后得到的； （3）P为x轴上一动点，当有最小值时，求这个最小值． 19. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，求与墙垂直的一边的长度． 20. 如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 21. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点． （1）直接写出一个a的值，使得成立； （2）是抛物线上不同于M，N的点，若对于，都有，求a的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $