2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册期末测试卷（二）

高中数学人教A版必修一 高一上学期必修一期末测试试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1．（5分）计算的值为（　　） A． B． C． D． 解：．故选：C． 2．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：当a＝2时，满足a＞1，不满足，充分性不成立， 当a时，满足，但不满足a＞1，必要性不成立， 故“a＞1”是“1”的既不充分也不必要条件．故选：D． 3．（5分）要得到函数y＝sin（2x）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解：∵y＝sin（2x）＝sin[2（x）]， ∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x）的图象．故选：D． 4．（5分）设a＝0.991.01，b＝1.010.99，c＝log1.010.99，则（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 解：∵a＝0.991.01∈（0，1），b＝1.010.99＞1，c＝log1.010.99＜0， 则c＜a＜b，故选：B． 5．（5分）已知0＜a＜1，则函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logax的图象在同一坐标系中可以是（　　） A． B． C． D． 解：当0＜a＜1时，g（x）＝logax在定义域（0，+∞）上单调递减， f（x）＝a﹣x在R上单调递增，∴对应的图形为D，故选：D． 6．（5分）已知α为锐角，且，则（　　） A． B． C． D． 解：因为α为锐角，所以且，所以，解得， 由诱导公式得，．所以．故选：D． 7．（5分）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为1，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是（　　） A．1 B． C． D． 解：由题意得劣弧的长为2，半径r＝1，设∠AOB＝α，则αr＝2，即α＝2， 则扇形AOB的面积为1， 过点O作OH⊥AB，则∠AOH＝∠BOH＝1， 则，，AB＝2AH＝2sin1， 则S△AOB， 所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于S扇形﹣S△AOB＝1．故选：D． 8．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）＝0；②；③f（1﹣x）＝1﹣f（x），则等于（　　） A． B． C． D． 解：根据题意，f（x）满足f（1﹣x）＝1﹣f（x）且f（0）＝0， 令x＝1可得：f（1）＝1﹣f（0）＝1， 令x可得：f（）＝1﹣f（），变形可得f（）， 对于f（1）＝1，有f（）f（1）， f（）f（）， f（）f（）， f（）f（）， f（）f（）， f（）f（）， 对于f（），有f（）f（）， f（）f（）， f（）f（）， f（）f（）， f（）f（）， 由于f（）＝f（）， 而函数f（x）在[0，1]上为非减函数，f（）＝f（）＝f（）． 故选：A． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）已知，则下列等式一定正确的是（　　） A．（2a）2＝2b B．a•elna＝b C．b＝a2 D．log2a＝log8ab 解：依题意，﹣2log3a+log3b＝0，即， 则b＝a2且a，b＞0，故C正确； 对于A，（2a）2＝2a•2a＝22a≠2b，故A错误； 对于B，a•elna＝a2＝b，故B正确； 对于D，，故D正确．故选：BCD． （多选）10．（5分）已知函数，则（　　） A．f（x）的最小正周期是π B．是f（x）图象的对称中心 C．将f（x）的图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称 D．f（x）在区间上单调递减 解：对于函数，它的最小正周期是π，故A正确． 令x，求得f（x）＝0，可得（，0）是f（x）图象的对称中心，故B正确． 将f（x）的图象向左平移个单位后，可得y＝2sin（2x）的图象， 显然，它的图象不关于y轴对称，故C错误． 在区间上，2x∈（，π），f（x）在区间上不单调，故D错误． 故选：AB． （多选）11．（6分）已知函数则下列说法正确的是（　　） A．函数有3个零点 B．关于x的方程有2n+4个不同的解 C．对于实数x∈[1，+∞），不等式2xf（x）﹣3≤0恒成立 D．在区间[2n﹣1，2n]（n∈N*）内，函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为 解：函数 当时，f（x）＝2x﹣2，当时，f（x）＝4﹣2x， 当2＜x≤3时，则，， 当3＜x≤4时，则，， 当4＜x≤6时，则，， 当6＜x≤8时，则，， 依次类推，可得函数的大致图象如图所示， 对于选项A，由，得， 令，由图象可知与y＝f（x）的图象只有3个交点， ∴函数有3个零点，故A正确； 对于选项B，当n＝1时，，即，由图象可知与y＝f（x）的图象只有3个交点， ∴关于x的方程有3个不同的解，而当n＝1时，2n+4＝6，故B错误； 对于选项C，对于实数x∈[1，+∞），不等式2xf（x）﹣3≤0恒成立，即恒成立， 由图可知函数f（x）的图象的每一个上顶点都在曲线上，∴恒成立，故C正确； 对于选项D，当n＝1时，则x∈[1，2]，此时函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为， 当n＝2时，则x∈[2，4]，此时函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为， 当n＝3时，则x∈[4，8]，此时函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为，…， 当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为，故D正确．故选：ACD． 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（5分）已知函数则f（f（7））的值为　 　． 解：f（7）＝log3（2+7）＝2，故f（f（7））＝f（2）＝22＝4．故答案为：4． 13．（5分）函数的单调递增区间为　 　． 解：对于函数，由， 可得， 所以，函数f（x）的单调递增区间为． 故答案为：． 14．（5分）已知函数f（x）＝1，若不等式f（ax）+f（﹣x2）＞1对∀x∈（1，2）恒成立，则实数a的取值范围是　 　． 解：由题意知y＝ex单调递增，故在R上单调递增， 又， 故不等式对∀x∈（1，2）恒成立， 即对∀x∈（1，2）恒成立， 所以，即对∀x∈（1，2）恒成立， 当∀x∈（1，2）时，， 故，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）函数y＝2sin（2x+φ）（的一条对称轴为直线． （Ⅰ）求φ； （Ⅱ）用五点法画出函数y＝2sin（2x+φ）在上的简图． 解：（Ⅰ）由题意知，2φ＝kπ，k∈Z．∴φ＝kπ（k∈Z），又φ∈（0，）， ∴φ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，y＝2sin（2x），∵x∈[，]，∴2x∈[0，2π]， 当x，，，，时，2x取0，，π，，2π，作图如下： 16．（15分）已知函数，a≠0，b≠0． （1）当b＝1，且a＜0时，解关于x的不等式f（x）＜0； （2）若a＞2，b＞2，若f（1）＝0，求a+b的最小值． 解：（1）当b＝1时，f（x）＝x2+（2）x0， 即（x﹣2）（x）＜0，a＜0， 当2，即a时，不等式的解集为∅； 当2，即a＜0时，不等式的解集为{x|2}， 当2，即a时，不等式的解集为{x|}， 综上，当a时，不等式的解集为∅； 当a＜0时，不等式的解集为{x|2}， 当a时，不等式的解集为{x|}； （2）a＞2，b＞2，若f（1）＝10， 则2（a+b）＝1+ab，当且仅当a＝b时取等号， 因为a＞2，b＞2， 所以a+b＞4， 解得a+b≥4+2，即a+b的最小值为4+2． 17．（15分）已知函数f（x）＝2cosxcos（x）x+sinxcosx+1． （1）求f（x）的最小正周期和最大值； （2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x）是偶函数，求φ的最小值． 解：（1）由题意： ， 由此可得：，f（x）max＝3． （2）由题意可知：， 因为g（x）为偶函数，所以， ∴， 又因为ϕ＞0，所以当k＝0时，ϕ的最小值为． 18．（17分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且，g（x）＝f（x）+x． （1）求f（x）的解析式； （2）若不等式g（4x﹣a•2x+1）＞g（﹣3）恒成立，求实数a的取值范围； （3）设h（x）＝x2﹣2mx+1，若对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，3]，使得g（x1）≥h（x2），求实数m的取值范围． 解：（1）由题意知，， 即， 所以，故． （2）由（1）知，， 所以g（x）在R上单调递增， 所以不等式g（4x﹣a•2x+1）＞g（﹣3）恒成立等价于4x﹣a•2x+1＞﹣3， 即恒成立， 设t＝2x，则t＞0，，当且仅当t＝2，即x＝1时取等号， 所以a＜4， 所以实数a的取值范围是（﹣∞，4）． （3）因为对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，3]，使得g（x1）≥h（x2）， 所以g（x）在[0，3]上的最小值不小于h（x）在[1，3]上的最小值， 因为在[0，3]上单调递增， 所以当x∈[0，3]时，g（x）min＝g（0）＝1， h（x）＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝m，x∈[1，3]， 当m≤1时，h（x）在[1，3]上单调递增， 所以h（x）min＝h（1）＝2﹣2m≤1，解得， 所以， 当1＜m＜3时，h（x）在[1，m）上单调递减，在[m，3]上单调递增， ，解得m∈R， 所以1＜m＜3， 当m≥3时，h（x）在[1，3]上单调递减， 所以h（x）min＝h（3）＝10﹣6m≤1，解得， 所以m≥3， 综上可知，实数m的取值范围是． 19．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x（e为自然底数，e≈2.7）． （1）判断f（x）的单调性和奇偶性； （2）解不等式f（f（x））； （3）若对任意x＞0，θ∈（0，），不等式f（8xsinθcosθ﹣2tcos22tcosθ）+f[4xsin2θ﹣2（2+sinθ）t﹣x2（1+sinθ）•t]≤0都成立，求正数t的取值范围． 解：（1）由函数定义域为R， 令x1＞x2，则， 由，则f（x1）＞f（x2），故f（x）单调递增， 又f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故f（x）为奇函数． （2）由题设，f[f（x）]＞e﹣1﹣e＝f（﹣1），又f（x）单调递增， 所以f（x）＝ex﹣e﹣x＞﹣1，整理得 e2x+ex﹣1＞0，解得， 所以，故不等式解集为． （3）由题设及f（x）单调性知： 2（2+sinθ）t+x2（1+sinθ）t﹣4xsin2θ， 整理得， 又x＞0且sinθ+cosθ+2＞0，t＞0， 则恒成立， 又，当且仅当时等号成立，则， 由上，只需， 由，令，则sin2θ＝λ2﹣1， 所以， 令，则， 又在上递增， 综上，，即， 所以，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教A版必修一 高一上学期必修一期末测试试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1．（5分）计算的值为（　　） A． B． C． D． 2．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）要得到函数y＝sin（2x）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 4．（5分）设a＝0.991.01，b＝1.010.99，c＝log1.010.99，则（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b 5．（5分）已知0＜a＜1，则函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logax的图象在同一坐标系中可以是（　　） A． B． C． D． 6．（5分）已知α为锐角，且，则（　　） A． B． C． D． 7．（5分）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为1，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是（　　） A．1 B． C． D． 8．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）＝0；②；③f（1﹣x）＝1﹣f（x），则等于（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）已知，则下列等式一定正确的是（　　） A．（2a）2＝2b B．a•elna＝b C．b＝a2 D．log2a＝log8ab （多选）10．（5分）已知函数，则（　　） A．f（x）的最小正周期是π B．是f（x）图象的对称中心 C．将f（x）的图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称 D．f（x）在区间上单调递减 （多选）11．（6分）已知函数则下列说法正确的是（　　） A．函数有3个零点 B．关于x的方程有2n+4个不同的解 C．对于实数x∈[1，+∞），不等式2xf（x）﹣3≤0恒成立 D．在区间[2n﹣1，2n]（n∈N*）内，函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（5分）已知函数则f（f（7））的值为　 　． 13．（5分）函数的单调递增区间为　 　． 14．（5分）已知函数f（x）＝1，若不等式f（ax）+f（﹣x2）＞1对∀x∈（1，2）恒成立，则实数a的取值范围是　 　． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）函数y＝2sin（2x+φ）（的一条对称轴为直线． （Ⅰ）求φ； （Ⅱ）用五点法画出函数y＝2sin（2x+φ）在上的简图． 16．（15分）已知函数，a≠0，b≠0． （1）当b＝1，且a＜0时，解关于x的不等式f（x）＜0； （2）若a＞2，b＞2，若f（1）＝0，求a+b的最小值． 17．（15分）已知函数f（x）＝2cosxcos（x）x+sinxcosx+1． （1）求f（x）的最小正周期和最大值； （2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x）是偶函数，求φ的最小值． 18．（17分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且，g（x）＝f（x）+x． （1）求f（x）的解析式； （2）若不等式g（4x﹣a•2x+1）＞g（﹣3）恒成立，求实数a的取值范围； （3）设h（x）＝x2﹣2mx+1，若对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，3]，使得g（x1）≥h（x2），求实数m的取值范围． 19．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x（e为自然底数，e≈2.7）． （1）判断f（x）的单调性和奇偶性； （2）解不等式f（f（x））； （3）若对任意x＞0，θ∈（0，），不等式f（8xsinθcosθ﹣2tcos22tcosθ）+f[4xsin2θ﹣2（2+sinθ）t﹣x2（1+sinθ）•t]≤0都成立，求正数t的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $