2025-2026学年北师大版数学八年级上册综合素质测试卷

2025-2026学年北师大版数学八年级上册综合素质测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（  ） A．4，5，6 B．5，6，10 C．5，8，12 D．，， 4．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．某班50名同学的数学成绩为：5人100分，30人90分，10人75分，5人60分，则这组数据的众数和平均数分别是（　　） A．90，85 B．30，85 C．30，90 D．40， 6．如图，在平面直角坐标系中，☆盖住的点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米．    A．17 B．13 C．12 D．5 9．某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（  ） A． B． C． D． 10．图1和图2分别是某景区秋千的实景图和侧面示意图，秋千静止时位于铅垂线上，秋千顶端转轴O到地面的距离，秋千底部离地面的高度为．某游客在荡秋千的过程中，秋千后撤摆动到点A时，测得点A到的距离为，秋千从点A处摆动到最远点B处时，若满足，则点B到的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知，则的值为 ． 12．在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是 ． 13．某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是，，方差是，，那么应选 去参加比赛．（填“甲”或“乙”） 14．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？(1丈＝10尺)答：原处的竹子还有 尺高． 15．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 16．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19、20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题每小题12分，第25题每小题14分，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）计算： （2）解方程组∶ 18．（1）解方程组：； （2）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即，的整数部分为2，小数部分为， 请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值． 19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）求△A1B1C1的面积． 20．某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每次投篮10次，现对甲、乙两名队员在五次中进球数（单位：个）进行统计，结果如表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． （1）求乙进球的平均数和方差； （2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？ 21．如图直线与在第二限交于点A，直线分别交x轴，y轴于点B，点C．若，求关于，的方程组的解． 22．“成都成就梦想”，第31届大运会在成都顺利举办．大运会吉祥物“蓉宝”纪念品已被商家投放市场进行试销．小冬在某网店选中两款“蓉宝”玩偶，决定从该网店进货并销售．这两款“蓉宝”玩偶的进货价和销售价如表： 款“蓉宝”玩偶 款“蓉宝”玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 (1)第一次小冬用550元购进了两款“蓉宝”玩偶共30个，求两款“蓉宝”玩偶各购进多少个？ (2)第二次小冬进货时，计划仍然购进这两款“蓉宝”玩偶共45个，网店规定款“蓉宝”玩偶进货数量不少于20个且不超过25个，在进价和售价不变的情况下，小冬第二次销售中获得的最大利润是多少？ 23．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线a，b，再将三角板（）放在黑板上，与直线a相交于点A，转动三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点B在直线b上，，则_____°． (2)如图2，若点B在直线a，b之间，则与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且直线与直线平行； (1)______；点的坐标______；点的坐标是______； (2)若点，将线段水平向右平移个单位得到线段，连接．若是等腰三角形，求的值； (3)点为轴上一动点，连接，若，请求出点坐标． 25．【知识背景】 勾股定理的内容是：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．在中，，则三边的数量关系满足 ； 【提出问题】 某学生在学习了勾股定理之后提出：锐角三角形有没有类似于勾股定理的结论．首先定义一个新的概念：如图1，锐角中，M是的中点，N是线段上的点，设，若，，则称k为勾股比． 【解决问题】 （1）如图2，若，，，当勾股比时，求与的数量关系． （2）如图3，在锐角中，M是的中点，N是线段上的点，过点B、C作的垂线，垂足分别为P、Q， ①求证：； ②若，时，用勾股比k的代数式填空：（ ）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年北师大版数学八年级上册综合素质测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C A A D A D B 1．C 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 轴对称图形沿着某条直线对折，直线两旁能够完全重合，中心对称图形存在一个对称中心，使得图形绕该点旋转后与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、无法找到对称轴，使直线两旁能够完全重合，也不存在绕某点旋转后与原图形完全重合，则A既不是轴对称图形也不是中心对称图形； 选项B、该图形沿着中间竖直的直线对折，能够使直线两旁完全重合，但不存在绕某点旋转后与原图形完全重合，则B是轴对称图形但不是中心对称图形； 选项C、该图形存在对称轴，沿其对折，能够使直线两旁完全重合，也存在绕中心点旋转后与原图形完全重合，则C既是轴对称图形也是中心对称图形； 选项D、无法找到对称轴，使直线两旁能够完全重合，但存在绕中心点旋转后与原图形完全重合，则D不是轴对称图形但是中心对称图形； 故选：C． 2．A 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． D、∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】根据二元一次方程的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是二元二次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、是二元一次方程，故本选项正确； D、不是整式方程，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 5．A 【详解】试题分析：在这一组数据中90分是出现次数最多的，故众数是90分； 这组数据的平均数为=85（分）； 所以这组数据的众数和平均数分别是90（分），85（分）. 故选A. 考点：1.众数；2.算术平均数. 6．A 【分析】根据平面直角坐标系每一象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：A、（-3，1）在第二象限，故A符合题意； B、（-3，-1）在第三象限，故B不符合题意； C、（3，1）在第一象限，故C不符合题意； D、（3，-1）在第四象限，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查点的坐标，各象限点的坐标符号：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-），掌握平面直角坐标系内各象限内点的坐标特点是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查的知识点是平行线性质定理：两直线平行内错角相等，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是熟练掌握平行线性质定理． 根据两直线平行，内错角相等可得，再将、的值代入即可求解． 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）， ，， ． 故选：． 8．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，观察图形，得到红地毯的长度为楼梯的水平长度加上竖直高度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可得楼梯的水平长度为米， 至少需要红地毯米， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式．找到正确的等量关系是解题关键．计算出每的耗油量即可求解． 【详解】解：由题意得： 每的耗油量为：， 故汽车加满油后最多可行驶： 故可得： 故选：D． 10．B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识．作，垂足为，证明四边形为矩形，得到，勾股定理得到，证明，得到即可． 【详解】解：作，垂足为， ∵O到地面的距离，秋千底部离地面的高度为． ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， 且， ∴， ∴ ∴到的距离为． 故选：B． 11． 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，利用算术平方根的非负性求出、的值，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∵，， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 12．（−2，5） 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：∵点A（2，5）与点B关于y轴对称， ∴点B的坐标为（−2，5）． 故答案为：（−2，5）． 【点睛】本题考查了轴对称与坐标变化，解决本题的关键是掌握关于坐标轴对称点的坐标规律． 13．甲 【分析】根据方差的大小判断即可． 【详解】解：由题意知，，， 因此甲的成绩比乙的成绩稳定，应选甲去参加比赛， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查利用方差做决策，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小，掌握方差的意义是解题的关键． 14． 【分析】首先理解题目含义，将竹子的形状转化为直角三角形，三边都表示出即可用勾股定理解题 【详解】根据题意可设原处还有x尺的竹子，这样折断部分的长度可以求得为（10-x）；根据题意可列出方程x2+32=(10-x)2,解得x= 故本题答案为 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是将实际问题转换为直角三角形 15．4 【分析】本题考查了一次函数，分别求出直线，直线与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：当时，解得， 当时，解得， ∴， 即最大值与最小值之差为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 17．（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式的乘除法计算，再进行加减进行求解即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】解：（1）原式 （2） 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是： 18．（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，无理数的估算，二次根式的运算；熟练掌握解二元一次方程组的方法和用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）仿照题中给出的方法求出m、n的值，即可求出x的值． 【详解】解：（1）， 把②代入①得，， 解得：， 将代入②得：， 方程组的解为； （2），即， 的整数部分为3，小数部分为， ，， ， ， 解得：． 19．（1）见解析；（2）6.5 【分析】（1）作出△ABC各个顶点关于y轴对称的对应点，顺次连接起来，即可； （2）利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）△A1B1C1的面积为：3×5﹣×1×5﹣×2×3﹣×2×3＝6.5． 【点睛】本题主要考查图形的轴对称变换，掌握轴对称变换的定义以及割补法求面积，是解题的关键． 20．（1）8，0.8；（2）乙，理由见解析 【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可； （2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答． 【详解】解：（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8， 乙进球的方差为：[（7-8）2+（9-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2]=0.8； （2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8， ∴S甲2＞S乙2， ∴乙的波动较小，成绩更稳定， ∴应选乙去参加定点投篮比赛． 【点睛】本题考查方差的定义和求法，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数． 21． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．设点A坐标为，先求得，，根据三角形的面积公式结合已知求得，得到，进而求得，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：设点A坐标为， 对于直线，当时，，则， 当时，由得，则， ∵， ∴，解得， ∵点A在直线上，则， ∴点A的坐标为， ∵点A在直线上， ∴，解得，， 则方程组为， 得到，， 解得， 把代入①得， 解得 ∴关于，的方程组的解为． 22．(1)设购进款“蓉宝”玩偶20个，款“蓉宝”玩偶10个 (2)第二次销售中获得的最大利润是300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用． （1）设购进款“蓉宝”玩偶x个，款“蓉宝”玩偶y个，利用进货总价进货单价进货数量，结合第一次小冬用550元购进了A，B两款“蓉宝”玩偶共30个，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A款“蓉宝”玩偶m个，全部售出后获得的总利润为w元，则购进B款“蓉宝”玩偶个，利用总利润每个A款“蓉宝”玩偶的销售利润销售数量(购进A款“蓉宝”玩偶的数量)每个B款“蓉宝”玩偶的销售利润销售数量(购进B款“蓉宝玩偶的数量)，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设购进款“蓉宝”玩偶x个，款“蓉宝”玩偶y个， 根据题意，得：， 解得：， 答：设购进款“蓉宝”玩偶20个，款“蓉宝”玩偶10个； （2）设购进款“蓉宝”玩偶m个，全部售出后获得的利润为w元，则购进款“蓉宝”玩偶个， 根据题意，得：，即， ， 随m的增大而增大， ， 当时，w取值最大，最大值为元， 答：第二次销售中获得的最大利润是300元． 23．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了余角的性质、平行线的性质等知识点，灵活使用平行线的性质是解答本题的关键． （1）由余角性质和平行线的性质分析即可； （2）过点B作，然后运用余角性质和平行线的性质解答即可； 【详解】（1）解：设三角板与直线b的交点为N， ， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． （2）与的关系：． 证明：过点B作， ∵，． ∴ 由题意可知，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 24．(1)，， (2)或或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据两直线平行，可得k的值，即可求出直线与坐标轴的交点； （2）根据平移的性质，可知点和点的坐标，是等腰三角形，分三种情况讨论； （3）分两种情况讨论，①过点B作，且，连接交y轴于点P，过点D作轴于点H，则是等腰直角三角形，证明，根据全等三角形的性质进一步可得点D的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，进一步可得点P的坐标；②过点B作，且，连接交y轴于点P，过点M作轴于点N，则9是等腰直角三角形，证明根据全等三角形的性质进一步可得点M的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，进一步可得点P的坐标． 【详解】（1）解：直线与直线平行， ， 直线的解析式为， 令，得， 即点A的坐标为， 令，得 即点B的坐标为， 故答案为：，，； （2）点，且将线段水平向右平移m个单位得到线段， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 是等腰三角形，分情况讨论： ①当时，可得，解得或， ②当时，可得，解得（舍去）或（舍去）， ③当时，可得，解得， 综上所述，或或； （3）分情况讨论：①过点B作，且，连接交y轴于点P，过点D作轴于点H，如图所示： 则是等腰直角三角形， ， 点，点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点D的坐标为， 设直线的解析式为（k，b为常数，）， 代入点，点， 得，解得：， 直线的解析式为， 点P的坐标为； ②过点B作，且，连接交y轴于点P，过点M作轴于点N，如图所示： 则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点M的坐标为， 设直线的解析式为（a，c为常数，）， 代入点，点， 得，解得：， 直线的解析式为， 点P的坐标为． 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，本题综合性较强，计算量较大． 25．【知识背景】； 【解决问题】（1）（2）①见解析；②； 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理的内容并正确运用是解题的关键． 【知识背景】由勾股定理即可得：； 【解决问题】（1）由等腰三角形的性质得，设，得，，；在中，，则得，即可求得与的关系； （2）①证明，即可求解； ②由勾股比设，得，，；在与中，分别由勾股定理得，，两式相加，再利用勾股定理即可求得与的关系． 【详解】解：【知识背景】由勾股定理得：； 故答案为：； 【解决问题】（1）解：∵是的中点， ∴； 设，由，得， ∴； ∵， ∴，； 在中，， ∴， 即， ∴； （2）①证明：∵， ∴； ∵M是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴； ②解：由勾股比设，得， ∴； ∵是的中点，， ∴； 在中，由勾股定理得：①， 与中，由勾股定理得：②， ∵， ∴， 得，； 在中，由勾股定理得：， ∴ ； ∵， ∴， ∴ 即． 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $