2 直角三角形-【金牌题库】2025-2026学年新教材八年级数学快乐假期寒假复习计划（北师大版2024）

数学·八年级·BS 2.70°3.254.55 三、1.【证明】(1)因为DE平分∠CDA,所以∠ADE=∠EDC.因为∠ADE =∠AED,所以∠EDC=∠AED,所以AB∥CD. (2)因为F平分∠CBA,所以LABF=7∠ABC, 因为∠AED=LADE=子∠ADC,∠CDA=∠CBA, 所以∠AED=∠ABF,所以DE∥BF 2.【解】(1)∠ABC-∠BCP+∠CPN= 180°.理由如下：如图，延长WP交BC于 A 点M. 因为AB∥PN∥CD,所以∠ABC=∠BMN= ∠BCD,∠CPN+∠PCD=180°.因为∠PCD =∠BCD-∠BCP=∠ABC-∠BCP.. ∠ABC-∠BCP+∠CPN=180°. (2)∠BCP=17. 3.【解】因为∠ACH=∠BAC+∠ABC,∠ABC=40°，∠BAC=60° 所以∠ACH=100.因为CE平分∠ACH,所以∠ECH=2∠ACH=0 因为MN∥GH,所以∠EFW=∠ECH=50°，所以∠EFA=130° 4.【解】(1)DE∥BC.理由如下： 因为∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180° 折以∠EFC=∠ADC,所以AD∥EF,所以∠DEF=∠ADE 又因为∠DEF=∠B,所以∠B=∠ADE,所以DE∥BC. (2)由(1)知，DE∥BC,AD∥EF.因为DE平分∠ADC 所以2∠ADE=∠ADC.又因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B 因为∠BDC=3∠B,所以∠BDC=3∠ADE=3∠CDE. 又因为∠BDC+∠ADC=180°，所以3∠ADE+2∠ADE=180°，解得 ∠ADE=36°，所以∠ADC=72°.又因为AD∥EF,所以∠EFC= ∠ADC=72. 中考连接A P43-45 一、1.D2.A3.D4.C5.C6.C7.B8.B9.A10.C 二1(-3，-4)2>374.(90-号)5.乙63.2 7(分)1（°+ x-5 三1.(1)-2(2) 2.(1)I证明】：AD∥BC,.∠DAE=∠C.∠BDA=∠C,.∠DAE=∠BDA AC∥BD (2)I证明]设CE与BD相交于点C,则∠BGA=∠BDA+∠DAE.·BD⊥ BC.∴.∠BGA+∠C=9O°，∴.∠BDA+∠DAE+∠C=9O°..∠BDA=∠C. ∴.∠D4E+2∠C=90° (3)【解】设∠DAE=a,则∠DFE=8a.∠DFE+∠AFD=180°，.∠AFD= 180°-8a.·DF∥BC,.∠C=∠AFD=180°-8a又.：2∠C+∠DAE=90° .2(180°-8a)+a=90°..a=18°，∠C=180°-8a=36.又.∠C= ∠BDA,∠BAC=∠BAD,∴.∠ABC=∠ABD= LCBD=45°，∠BAE= ∠C+∠ABC=81%. 3.【解】(1)设从甲材料场调运一吨建筑材料到该工地的运费是x 元，从乙材料场调运一吨建筑材料到该工地的运费是y元， 则有8+80网年得{行60 (y=200. (2)e=240a+200(120-a）=40a+24000(30<a<80),.40>0 w随a的增大而增大，a取最小值30时，w有最小值，为25200，此时 从甲材料场调运30吨建筑材料、从乙材料场调运90吨建筑材料到该 工地 4.(1)2(2)y=x-1或y=-x+1 5.(1)x乙=7，乙射靶的成绩的中位数为7.5，乙命中9环（含9环）以 上的次数为3. (2)①甲②乙③乙④乙 P46-48 -1.B2.C3.B4.B5.C6.C7.C8.D9.B10.A 二、1.y=-x+1(答案不唯一)2.65°3.04.95.324° 6.(1,-2)》 三1.()4+46(2)x=24 2.【解】(1)360350 (2)根据方差计算公式可知：芒果树方差为50，细叶榕方差为40.所 6 以细叶榕树苗高度的方差较小，生长更稳定 3.【解】因为∠AQP=90°，AB=25m,AP=20m,PQ=12m, 在R1△AP0中，由勾股定理，得A02=AP2-P02=202-122=256, AQ=16m,∠BQP=90°， 所以B0=AB-AQ=25-16=9(m), 在Rt△BPQ中，由勾股定理，得 BP2=BQ2+PQ2=92+122=225,BP=15m. 4.【解】(1)由题图可得，起点A与终点B之间相距3000m (2)由题图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点. (3)设甲龙舟队的y与x函数关系式为y=,把(25,3000)代人，可 得3000=25k,解得k=120,.∴.甲龙舟队的y与x函数关系式为y= 120x(0≤x≤25)，设乙龙舟队的y与x函数关系式为y=ax+b,把 (5.0.20.300)代人可得800+b,解得8209om .乙龙舟队的y与x函数关系式为y=200x-1000(5≤x≤20). (4)令120x=200x-1000,可得x=12.5,即当x=12.5时，两 龙舟队相遇，当x<5时，令120x=200,则x=；(符合题意)：当5≤ x<12.5时，令120x-(200x-1000)=200,则x=10(符合题意)；当 12.5<x≤20时，令200x-1000-120x=200,则x=15(符合题意)； 当20<x≤25时，令30-120x=20,则x-7(符合题意). 综上所述，甲龙舟队出发？或10或15或分时，两支龙舟队相距 200m 5.【解(1)由=子， 3 解得{x=4.A(4,3) y=-2x+11, y=3, (2)过点A作x轴的垂线，垂足为D, 在R1△OAD中，由勾股定理得，OA=√/OD2+AD2=√42+32=5. Bc=号oA-号×5=lra0j8n子），6a.-2a+ BC=子a-(-2n+1)=-1l.-1=11,解得n=8, Sa0Bc=2BC·0P=2×I1×8=44 52-53 -、1.B2.D3.C4.C 二1.32.23.9 三、1.【解】∠B=∠C,.AB=AC. :D是BC边上的中点BD=号8C=子x2=6 DE1AB,∠B=30°，DE=BD=号×6=3. 2.【证明】△ABC与△BDE都是等边三角形，.∠ABC=∠EBD= 60°，AB=BC,EB=BD.∴.∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE,即 ∠ABE=∠CBD. (AB=CB. ·.·在△ABE和△CBD中，了∠ABE=∠CBD BE BD, ·.△ABE≌△CBD(SAS)..AE=CD. 3.【证明】假设LA,∠B,∠C中没有一个角大于或等于60°， ∠A+∠B+∠C=60°×3<180°：这与三角形的内角和是180°相 矛盾，.假设不成立，即原命题正确 56 一、1.A2.D3.C 二、1.50或90°2.AC=BD(答案不唯一) 三、1.【证明】BF=EC,BF+FC=FC+EC,即BC=EF ·∠A=∠D=90°，.△ABC和△DEF都是直角三角形 在RL△ABC和Rt△DEF中 AB=DE'RL△ABC≌R1△DEF(HL) 2.(1)【证明】AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°，又·AD=AD,∴.△AED ≌△AFD, ∴.DE=DF.又.BD=CD,.Rt△BDE≌△CDF(HL).∴.∠B=∠C, .AB AC. (2)【解】.·AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC. 在m△ADc中，∠DAC=30DC=4C 由ADP+DC=AC2,得(25)2+子AC2=AC2.AC=4.数学·八年级·BS 2 直角三角形 ◆知识讲解 知识点一直角三角形的性质 定理：直角三角形的两个锐角互余 在△ABC中，如果∠C=90°，那么∠A+∠B=90° 例1如图所示，AB,CD相交于点O,AC⊥CD于点C.若∠BOD=38°，则∠A等于 解析：.AC⊥CD,.∠C=90°. .在Rt△AC0中，∠A+∠AOC=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠AOC =∠B0D=38°（对顶角相等），.∠A=90°-∠A0C=90°-38°=52°.答案：52° 知识点二直角三角形的判定 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形 例2如图所示，在△ABC中，点D是AB的中点，CD=AB,那么△ABC是直角三角形吗？说 明理由。 解：△ABC是直角三角形，理由如下：点D是AB的中点，AD=BD=AB, CD=方ABCD=An.∠A=∠DC1(等边对等角).同理∠B=∠BCD ∠A+∠B=LDCM+∠BCD=号×180=902∠ACB=90.故△ABC是直角 三角形 知识点三勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.在△ABC中，如果∠C=90°，那么AC2+BC =AB2. 2.勾股定理的证明方法 勾股定理的证明方法有很多种，下面介绍两种利用图形面积相等证明的方法 方法1：如图(1)所示，在边长为c的正方形中，有四个斜边长为c的全等直角三角 形，它们的直角边长分别为α，b,利用这个图形证明勾股定理的方法如下： 由图知，大正方形的边长为c,小正方形的边长为b-a,设大正方形的面积为S,则 S=d.又S=(6-a)2+4x2b=d2-2ab+2+2ab=d+fd2+8=2 图(1) 方法2：如图(2)所示，在直角梯形中，上底长为a,下底长为b,高为a+b,梯形中有三个直角三 角形，其中两个小的直角三角形全等 证明如下：设梯形的面积为s,则S=2(a+b)(a+b)=2d2+》+ad 又：s=2b+26+2-+ab, 20+28+b+0+=,即+= 图(2) 例3如图所示，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2,求AB,BC的长 解析：求三角形边长常用的方法是在直角三角形中应用勾股定理求解因为 △ABC不是直角三角形，而∠A=30°，∠B=45°是特殊角，所以可以过点C作AB边上 54 月 日 星期 复习计划 FU XI,JI HUA 的高CD,通过构造直角三角形应用勾股定理求解 解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD,:∠ADC=90°，∠A=30°，AC=2, ∴C0=)4C=)×2=1(在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜 边的一半)..AD=√AC-CD=√22-1下=3. 在Rt△BCD中，.∠BDC=90°，∠B=45°，∴.∠BCD=45°（直角三角形的两个锐角互余） .∠B=∠BCD..BD=CD=1(等角对等边).BC=√CD+BD=√2，AB=AD+BD=√3 +1, 知识点四勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三 角形 例4在△ABC中，如果AC2+BC2=AB2,那么∠C=90°. 以下列选项中的三个数为边长可构成直角三角形的是 () A.3,5,6 B.6,6,8 C.1,2,√2 D.1.5,2,2.5 解析：根据勾股定理的逆定理，只要每个选项中较小两个数的平方和等于最大数的平方，即可构成直 角三角形 选项 选项分析 A 32+52≠62，.不能构成直角三角形 B 62+62≠82，.不能构成直角三角形 C ·12+(2)2≠22，.不能构成直角三角形 0 1.52+22=2.52,∴.能构成直角三角形，故本选项符合题意 答案：D 知识点五逆命题、逆定理 1.逆命题的定义 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题 称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题， 例如：命题“六边形是多边形”的条件是“一个图形是六边形”，结论是这个图形是多边形”：而 命题“多边形是六边形”的条件是“一个图形是多边形”，结论是“这个图形是六边形”.两个命题的 条件与结论恰好相反，是互逆命题，当把前者叫做原命题时，后者叫做原命题的逆命题，反过来也 成立 2.逆定理的定义 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定 理的逆定理 例如：定理“两直线平行，同位角相等”的逆命题“同位角相等，两直线平行”是一个真命题，也是 一个定理，那么这两个定理称为互逆定理.而上例中“六边形是多边形”是真命题，但其逆命题“多边 形是六边形”是假命题，两者不能称为互逆定理 知识点六“斜边、直角边”定理 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简述为“斜 边、直角边”或“HL”定理 如图所示，在Rt△ABC与Rt△A'B'C中，：∠C=∠C'=90°，AB=A'B', AC=A'C',∴.Rt△ABC≌RtM'B'C'(HL). 55 数学·八年级·BS 例5如图所示，AD为△ABC的边BC上的高，E为AC上的一点，BE交AD 于点F,且有BF=AC,FD=CD.求证：BE⊥AC. 证明：.AD为△ABC的边BC上的高，∴.∠BDF=∠ADC=90°. 在Rt△BDF和Rt△ADC中，，·BF=AC,FD=CD,'.Rt△BDF≌Rt△ADC(HL). ∴.∠BFD=∠C(全等三角形的对应角相等).又.：在Rt△BDF中，∠BFD+ ∠DBF=90°（直角三角形的两个锐角互余）， ∴.∠C+∠DBF=90°.∴.∠BEC=180°-∠C-∠DBF=90°..BE⊥AC. ◆巩固训练 一、选择题 1.如图，已知AB⊥BD,AC⊥CD,∠A=40°，则∠D的度数为 A.40° B.50° C.60° D.709 第1题图 第2题图 2.如图，∠B=∠E=90°，AB=DE,AC=DF,则△ABC≌△DEF的理由是 ( A.SAS B.ASA C.AAS D.HL 3.下列命题：①对顶角相等：②等腰三角形的两个底角相等；③等边三角形的三个内角都相等.其逆 命题是真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 1.如图，已知∠AON=40°，OA=6,点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A的度数 为 第1题图 第2题图 2.如图，AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别是点C,D,若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD,则添加的条 件（写一种即可）. 三、解答题 1.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE,BF=EC.求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 2.如图，AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. (1)求证：AB=AC: (2)若AD=2√5，∠DAC=30°.求AC的长. 56