1 等腰三角形-【金牌题库】2025-2026学年新教材八年级数学快乐假期寒假复习计划（北师大版2024）

数学·八年级·BS 2.70°3.254.55 三、1.【证明】(1)因为DE平分∠CDA,所以∠ADE=∠EDC.因为∠ADE =∠AED,所以∠EDC=∠AED,所以AB∥CD. (2)因为F平分∠CBA,所以LABF=7∠ABC, 因为∠AED=LADE=子∠ADC,∠CDA=∠CBA, 所以∠AED=∠ABF,所以DE∥BF 2.【解】(1)∠ABC-∠BCP+∠CPN= 180°.理由如下：如图，延长WP交BC于 A 点M. 因为AB∥PN∥CD,所以∠ABC=∠BMN= ∠BCD,∠CPN+∠PCD=180°.因为∠PCD =∠BCD-∠BCP=∠ABC-∠BCP.. ∠ABC-∠BCP+∠CPN=180°. (2)∠BCP=17. 3.【解】因为∠ACH=∠BAC+∠ABC,∠ABC=40°，∠BAC=60° 所以∠ACH=100.因为CE平分∠ACH,所以∠ECH=2∠ACH=0 因为MN∥GH,所以∠EFW=∠ECH=50°，所以∠EFA=130° 4.【解】(1)DE∥BC.理由如下： 因为∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180° 折以∠EFC=∠ADC,所以AD∥EF,所以∠DEF=∠ADE 又因为∠DEF=∠B,所以∠B=∠ADE,所以DE∥BC. (2)由(1)知，DE∥BC,AD∥EF.因为DE平分∠ADC 所以2∠ADE=∠ADC.又因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B 因为∠BDC=3∠B,所以∠BDC=3∠ADE=3∠CDE. 又因为∠BDC+∠ADC=180°，所以3∠ADE+2∠ADE=180°，解得 ∠ADE=36°，所以∠ADC=72°.又因为AD∥EF,所以∠EFC= ∠ADC=72. 中考连接A P43-45 一、1.D2.A3.D4.C5.C6.C7.B8.B9.A10.C 二1(-3，-4)2>374.(90-号)5.乙63.2 7(分)1（°+ x-5 三1.(1)-2(2) 2.(1)I证明】：AD∥BC,.∠DAE=∠C.∠BDA=∠C,.∠DAE=∠BDA AC∥BD (2)I证明]设CE与BD相交于点C,则∠BGA=∠BDA+∠DAE.·BD⊥ BC.∴.∠BGA+∠C=9O°，∴.∠BDA+∠DAE+∠C=9O°..∠BDA=∠C. ∴.∠D4E+2∠C=90° (3)【解】设∠DAE=a,则∠DFE=8a.∠DFE+∠AFD=180°，.∠AFD= 180°-8a.·DF∥BC,.∠C=∠AFD=180°-8a又.：2∠C+∠DAE=90° .2(180°-8a)+a=90°..a=18°，∠C=180°-8a=36.又.∠C= ∠BDA,∠BAC=∠BAD,∴.∠ABC=∠ABD= LCBD=45°，∠BAE= ∠C+∠ABC=81%. 3.【解】(1)设从甲材料场调运一吨建筑材料到该工地的运费是x 元，从乙材料场调运一吨建筑材料到该工地的运费是y元， 则有8+80网年得{行60 (y=200. (2)e=240a+200(120-a）=40a+24000(30<a<80),.40>0 w随a的增大而增大，a取最小值30时，w有最小值，为25200，此时 从甲材料场调运30吨建筑材料、从乙材料场调运90吨建筑材料到该 工地 4.(1)2(2)y=x-1或y=-x+1 5.(1)x乙=7，乙射靶的成绩的中位数为7.5，乙命中9环（含9环）以 上的次数为3. (2)①甲②乙③乙④乙 P46-48 -1.B2.C3.B4.B5.C6.C7.C8.D9.B10.A 二、1.y=-x+1(答案不唯一)2.65°3.04.95.324° 6.(1,-2)》 三1.()4+46(2)x=24 2.【解】(1)360350 (2)根据方差计算公式可知：芒果树方差为50，细叶榕方差为40.所 6 以细叶榕树苗高度的方差较小，生长更稳定 3.【解】因为∠AQP=90°，AB=25m,AP=20m,PQ=12m, 在R1△AP0中，由勾股定理，得A02=AP2-P02=202-122=256, AQ=16m,∠BQP=90°， 所以B0=AB-AQ=25-16=9(m), 在Rt△BPQ中，由勾股定理，得 BP2=BQ2+PQ2=92+122=225,BP=15m. 4.【解】(1)由题图可得，起点A与终点B之间相距3000m (2)由题图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点. (3)设甲龙舟队的y与x函数关系式为y=,把(25,3000)代人，可 得3000=25k,解得k=120,.∴.甲龙舟队的y与x函数关系式为y= 120x(0≤x≤25)，设乙龙舟队的y与x函数关系式为y=ax+b,把 (5.0.20.300)代人可得800+b,解得8209om .乙龙舟队的y与x函数关系式为y=200x-1000(5≤x≤20). (4)令120x=200x-1000,可得x=12.5,即当x=12.5时，两 龙舟队相遇，当x<5时，令120x=200,则x=；(符合题意)：当5≤ x<12.5时，令120x-(200x-1000)=200,则x=10(符合题意)；当 12.5<x≤20时，令200x-1000-120x=200,则x=15(符合题意)； 当20<x≤25时，令30-120x=20,则x-7(符合题意). 综上所述，甲龙舟队出发？或10或15或分时，两支龙舟队相距 200m 5.【解(1)由=子， 3 解得{x=4.A(4,3) y=-2x+11, y=3, (2)过点A作x轴的垂线，垂足为D, 在R1△OAD中，由勾股定理得，OA=√/OD2+AD2=√42+32=5. Bc=号oA-号×5=lra0j8n子），6a.-2a+ BC=子a-(-2n+1)=-1l.-1=11,解得n=8, Sa0Bc=2BC·0P=2×I1×8=44 52-53 -、1.B2.D3.C4.C 二1.32.23.9 三、1.【解】∠B=∠C,.AB=AC. :D是BC边上的中点BD=号8C=子x2=6 DE1AB,∠B=30°，DE=BD=号×6=3. 2.【证明】△ABC与△BDE都是等边三角形，.∠ABC=∠EBD= 60°，AB=BC,EB=BD.∴.∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE,即 ∠ABE=∠CBD. (AB=CB. ·.·在△ABE和△CBD中，了∠ABE=∠CBD BE BD, ·.△ABE≌△CBD(SAS)..AE=CD. 3.【证明】假设LA,∠B,∠C中没有一个角大于或等于60°， ∠A+∠B+∠C=60°×3<180°：这与三角形的内角和是180°相 矛盾，.假设不成立，即原命题正确 56 一、1.A2.D3.C 二、1.50或90°2.AC=BD(答案不唯一) 三、1.【证明】BF=EC,BF+FC=FC+EC,即BC=EF ·∠A=∠D=90°，.△ABC和△DEF都是直角三角形 在RL△ABC和Rt△DEF中 AB=DE'RL△ABC≌R1△DEF(HL) 2.(1)【证明】AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°，又·AD=AD,∴.△AED ≌△AFD, ∴.DE=DF.又.BD=CD,.Rt△BDE≌△CDF(HL).∴.∠B=∠C, .AB AC. (2)【解】.·AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC. 在m△ADc中，∠DAC=30DC=4C 由ADP+DC=AC2,得(25)2+子AC2=AC2.AC=4.月 日 星期 复习计划 FU XI,JI HUA 新课衔接篇 第一章三角形的证明 1等腰三角形 ◆知识讲解 知识点一全等三角形的判定及性质 1.全等三角形的判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简称 “角角边”或“AAS”) 其证明过程如下： 已知：如图所示，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC和△DEF中，.·∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°， ∴.∠C=180°-（∠A+∠B),∠F=180°-（∠D+∠E). ·∠A=∠D,∠B=∠E,∴.C=∠F. 又.BC=EF,.∴.△ABC≌△DEF(ASA). 2.全等三角形的性质定理：全等三角形的对应边相等、对应角相等 例1如图所示，点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE,∠ACB=∠DFE,AC ∥DF,请从图中找出一条与EF相等的线段，并加以证明（不再添加其他字母与线 段). 解：BC=EF 证明：，AD=BE, ∴.AD+DB=BE+DB,即AB=DE. .∵AC∥DF,∴.∠A=∠FDE. 又.∠ACB=∠DFE,∴.△ABC≌△DEF(AAS): .BC=EF(全等三角形的对应边相等). 知识点二等腰三角形的性质定理 定理：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”） 如图所示，在△ABC中，若AB=AC,则∠B=∠C 例2如图所示，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC,BC=BD, AD=DE=EB,则∠A的度数为 解析：AD=DE=EB, ∴.∠A=∠2，∠3=∠4 又：∠2=∠3+∠4∠3=3∠A yAB=AC,BC=BD.LABC=∠C=L1.又：∠1=∠A+L3=号∠A,∠ABc=LC=号∠A ∠1+∠A0C+∠C=180,∠A+3∠A+2∠A=180,乙A=459 答案：45° 49 数学·八年级·BS 知识点三等腰三角形性质定理的推论 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，这一结论通常简述 为“三线合一” 如图所示，在△ABC中，①.AB=AC,AD⊥BC,∴.BD=DC,AD平分∠BAC;②AB=AC,BD= DC,∴.AD⊥BC,AD平分∠BAC;③.：AB=AC,AD平分∠BAC,∴.AD⊥BC,BD=DC. D 例3如图所示，已知，点D,E在△ABC的边BC上，AD=AE,AB=AC.求证：∠BAD=∠CAE. B D B D F 证明：如图所示，过点A作AF上BC于点F ·AB=AC,AD=AE, ∴.∠BAF=∠CAF,∠DAF=∠EAF(等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合). .·∠BAD=∠BAF-∠DAF,∠CAE=∠CAF-∠EAF, ∴.∠BAD=∠CAE. 知识点四等边三角形的性质定理 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°， 如图所示，.·△ABC是等边三角形，.∠A=∠B=∠C=60°. 例4如图所示，已知P,Q是△ABC的边BC上两点，并且BP=PQ= QC=AP=AQ,求∠BAC的度数 解析：要求∠BAC的度数，可分别求出∠1，∠2，∠3的度数由△APQ是等 R 边三角形，可得出∠2=∠4=∠5=60°由“等边对等角”和外角的性质可求出 ∠1，∠3的度数 解：，AP=PQ=AQ,∴.∠2=∠4=∠5=60°（等边三角形的性质）. .PA=PB,.∠1=∠B(等边对等角) 又“∠4=∠1+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠1=7∠4 =30°. 同理可得∠3=30°.∴.∠BAC=∠1+∠2+∠3=120° 知识点五等腰三角形的判定定理 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C,.AB=AC(等角对等边). 50 月 日 星期 复习计划 FU XIJI HUA 例5如图所示，在△ABC中，D,E分别是AC,AB边上的点，BD与CE相交于点 0,给出下列四个条件： ①∠EBO=∠DCO:②∠BE0=∠CD0,③BE=CD:④OB=OC. (1)上述四个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？用序号写出所 有的情形. (2)选择上述条件中的任一种情形，证明△ABC是等腰三角形 解：(1)①③，①④，②③，②④】 (2)选取条件①③. 证明：.·∠EOB=∠DOC,∠EBO=∠DCO,BE=CD ∴.△BOE≌△COD(AAS).∴.OB=OC(全等三角形的对应边相等). .∠OBC=∠OCB(等边对等角)： ∴.∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB. ∴.AB=AC(等角对等边)，即△ABC是等腰三角形 知识点六反证法 1.反证法的定义 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛 盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 2.用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，应用正确的推理方法，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相 矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 例6已知：△ABC.求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个钝角. 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A,∠B为钝角，则∠A+∠B>180°，这与 三角形的内角和定理相矛盾： .∠A,∠B,∠C中有两个角是钝角不成立 .一个三角形中不能有两个钝角. 知识点七等边三角形的判定 1.判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形 如图所示，，∠A=∠B=∠C,∴.△ABC为等边三角形 2.判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 如图所示，.AB=AC,∠A=60°（或∠B=60或∠C=60), ∴.△ABC为等边三角形 例7如图所示，已知点D,E在线段BC上，BD=CE,∠B=∠C,∠ADB =120° 求证：△ADE为等边三角形 证明：∠B=∠C, ∴.AB=AC(等角对等边) 又.·BD=CE,∴.△ABD≌△ACE(SAS) .AD=AE(全等三角形的对应边相等) .'∠ADB=120°，∴.∠ADE=180°-∠ADB=60°. ∴.△ADE为等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）. 知识点八含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 51 数学·八年级·BS 如图所示，在t△ABC中，∠C=90,∠A=30°，BC=号AB, 例8如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD,CE三等分∠ACB,CD ⊥AB. 求证：(1)AB=2BC; (2)CE=AE EB. 解析：(1)想要证明AB=2BC,已知∠ACB=90°，只需证∠A=30°即可.(2)利用等腰三角形及 等边三角形的判定定理求证！ 证明：(1)，CD,CE三等分∠ACB且∠ACB=90°，∠1=∠2=∠3=30°. 又.CD⊥AB,∴.∠B=60°.∴.∠A=30. 在Rt△ABC中，：∠A=30°， .AB=2BC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半) (2)由(1)知∠A=∠1=30°， .CE=AE(等角对等边)，∠CEB=∠A+∠1=60. 又.·∠BCE=∠2+∠3=60°，∠B=60°， :.△BCE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）. .∴.CE=EB..CE=AE=EB. ◆巩固训练 一、选择题 1.如图是两个全等的三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是 A.76° B.62° C.42° D.76°，62°或42 人62° D 第1题图 第2题图 2.如图，已知△ABE≌△ACD,下列等式不正确的是 () A.AB=AC B.∠BAE=∠CADC.BE=DC D.AD=DE 3.如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E,使CE=CD,则∠E的度数为 () A.15° B.20° C.30° D.40° 4.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定是等边三角形的是 ( A.有一个内角是60° B.有一个外角是120° C.有两个角相等 D.腰与底边相等 52 月 日 星期 复习计划 FU XI,JI HUA 二、填空题 1.如图，△ABC≌△DEF,BE=2,AE=1,则DE的长是 第1题图 第2题图 2.如图，已知AD是等边三角形ABC的高，且BD=1cm,那么BC的长是 cm. 3.将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB=14cm,则阴影部分的面积是 cm2. 30D>B 45 三、解答题 1.如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，D是BC边上的中点，DE⊥AB于E,BC=12,求DE长. 2.如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 3.已知：△ABC的三个内角分别是∠A,∠B,∠C.求证：∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等 于60°. 53