2025-2026学年湘教版数学九年级上册期末综合素质测试卷

2025-2026学年湘教版数学九年级上册期末综合素质测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为， 同时测得，则为（    ） m．   A． B． C． D． 2．若函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　） A．12 B．10 C．7 D．5 4．少年强，则国强！为了深入学习宣传贯彻党的二十大精神，落实关于传承中华优秀传统文化的部署要求，充分发挥“五老”优势，教育引导青少年增强文化自信。某校开展了“新时代好少年・传承经典・筑梦未来”主题演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：．关于这组数据，下列说法错误的是（    ） A．众数是 B．中位数是 C．方差是 D．平均数是 5．若，则的值为（　　） A． B． C． D．1 6．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，ABC与DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于点P．若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 10．如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确结论的是（    ） A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．设，是一元二次方程的两根，则 ． 12．面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分、分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是 分． 13．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．    14．如图，若与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与的周长比为 ． 15．如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，位于地面R处的雷达测得的距离是，仰角是．几秒后，火箭到达B点，此时在R处测得仰角是，则火箭在这几秒中上升的高度是 ．（结果保留根号） 16．如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： 18．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 19．如图，有一块三角形土地，它的一条边米，边上的高米．某单位要沿着边修一座底面是矩形的大楼，D、G分别在边上．且大楼的宽与长的比是，求这个矩形的长．    20．如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了到达处，在处看到灯塔在正北方向上．    (1)求这时渔船与灯塔的距离． (2)若渔船继续向正东方向行驶到达处，求的值． 21．王老师随机抽取了我校九年级部分学生，针对他们晚上在家学习时间的情况进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图和扇形统计图； （2）所抽取的九年级学生晚上学习时间的众数是　　小时，中位数是　　小时． （3）若我校共有1200名九年级学生，则晚上学习时间超过1.5小时的约有多少名学生？ 22．随着全球疫情的扩散，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗，开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同． （1）求每天增长的百分率． （2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产疫苗105000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 23．如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值． 24．风力发电作为一种清洁能源、可再生能源，已成为我国重要的能源结构之一．某研学小组到风力发电厂参观学习，发现一如图所示的风力发电机，在处测得，向前米到达处，测得，其中，，在同一条直线上，点为发电机顶端处．若风轮叶片的长度为米，则风力发电机在旋转过程中，叶片顶端离地面的最小距离是多少？（参考数据：） 25．如图，矩形中，为上一点，，动点F从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动．连，过E作的平行线交射线于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D，E，F在同一直线的情况）． (1)当时，试求出的长． (2)当F在线段上时，设面积为周长为W． ①求S与t的函数关系式； ②当t为何值时，W有最小值． (3)当与相似时，求t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年湘教版数学九年级上册期末综合素质测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C C B D D B B 1．B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】解：由图和题意，得：，， ∴， ∴； 故选B． 2．B 【分析】先根据函数的图象在第二、四象限列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：函数的图象在第二、四象限， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数的图象在第二、四象限是解答此题的关键． 3．A 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，即，然后根据根与系数的关系得到，，再利用整体代入的方法计算可得：． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，同时也考查了一元二次方程的解． 4．C 【分析】本题考查了统计数据的求解．众数是一组数据中出现次数最多的数值．平均数，是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数．方差是每个数据与平均数之差的平方值的平均数．中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）． 【详解】解：这组数据的众数是，故A正确，不符合题意； 这组数据的中位数是，故B正确，不符合题意； 这组数据的平均数是，故D正确，不符合题意； 这组数据的方差是，故C错误，符合题意； 故选：C 5．C 【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 将代入中， 得：， 故选C． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质． 6．B 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 7．D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故选：D． 8．D 【分析】根据位似图形的概念得到ABDE，求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵A（1，0），D（3，0）， ∴OA＝1，OD＝3， ∵△ABC与△DEF位似， ∴ABDE， ∴＝＝， ∴△ABC与△DEF的位似比为1：3， ∵点B的坐标为（2，1）， ∴E点的坐标为（2×3，1×3）， 即E点的坐标为（6，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出△ABC与△DEF的位似比是解题的关键． 9．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．由可知，与x轴的夹角为，又因为，则为等腰直角形，设，，用勾股定理求进而求解即可． 【详解】解：∵P点坐标为， 则与x轴正方向的夹角为， 又∵， 则，为等腰直角形， ∴， 设，则， 则， ∴， ∴． 故选B 10．B 【分析】由正方形的性质得到，证明， 得到，再证明，得到，故①正确；证明，得到．由于，则，进而得到，故②错误；证明， 推出．进而证明，故③正确；求出，由相似三角形的性质得到，则．证明，得到，即，故④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ． ∵ ， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， 即，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟知全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 11． 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握，是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系求出和，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，， ，， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了加权平均数的计算，根据加权平均数定义计算可得． 【详解】解： 故答案为：． 13． 【分析】根据中心对称图形的性质可得，再利用勾股定理即可得. 【详解】与关于点C成中心对称 故答案为：. 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理，熟记中心对称图形的性质是解题关键. 14． 【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD、△ABC的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF∽△BAC，即可解决问题． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 由勾股定理得： DE2＝22+22，EF2＝22+42， ∴DE＝2，EF＝2； 同理可求：AC＝，BC＝， ∵DF＝2，AB＝2， ∴， ∴△EDF∽△BAC， ∴与的周长比为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15． 【分析】本题重点考查解直角三角形的应用---仰角俯角问题，解题的关键是熟熟练掌握锐角三角函数的概念． 根据图形，直接利用锐角三角函数的定义得出，代入数据求出的长，由求解，利用等腰直角三角形的性质求解，进而得出答案． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴，． 在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为． 16． 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 17． 【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．(1)见解析 (2)或． 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 19．这个矩形的长米． 【分析】设，则，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵大楼的宽与长的比是， ∴设，则， ∵， ∴， 它们的对应高线比等于对应线段的比， 即， ∴， ∴， ∴, ∴这个矩形的长米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 20．(1)这时渔船与灯塔C的距离为 (2)的值是 【分析】本题考查了与方位角有关的解直角三角形的应用． （1）在中，，利用正切函数即可求得的长； （2）由勾股定理求得的长，再由正弦函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵A处看到灯塔C在北偏东，      ∴， ∵渔船向正东方向航行了到达B处， ∴， ∵ ， ∴； 答：这时渔船与灯塔C的距离为； （2）解：∵，   在中， ， ∴； 答：的值是． 21．（1）见解析；（2）2，2；（3）900人 【分析】（1）先由1小时的人数及其所占百分比求得总人数，总人数乘以2.5小时对应百分比求得其人数，用2小时人数除以总人数可得其百分比； （2）直接利用众数以及中位数的定义得出答案； （3）总人数乘以样本中2小时和2.5小时人数所占百分比之和可得． 【详解】解：（1）被调查的学生总人数为2÷5%=40人， ∴2.5小时的人数为40×30%=12人，2小时人数所占百分比为×100%=45%， 补全条形统计图和扇形统计图如下： （2）数据2小时出现了18次，出现次数最多，所以众数是2小时； 这组数据总数为40，所以中位数是第20、21位数的平均数，即（2+2）÷2=2小时； 故答案为：2，2； （3）1200×（45%+30%）=900（名）， 即晚上学习时间超过1.5小时的约有900名学生． 【点睛】本题考查了众数、中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 22．（1）；（2）应该增加9条生产线 【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据“开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同．”可列出方程，解出即可； （2）设增加y条生产线，根据题意，即可列出方程组，解出即可． 【详解】解：（1）设每天增长的百分率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为． （2）设增加条生产线，则每条生产线的产量为盒/天， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要节省投入， ∴． 答：应该增加9条生产线． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 23．(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： (2)或 (3)当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2． 【分析】（1）由题意得把代入得，即可得出A点坐标，将两点代入一次函数求出k、b，从而得出答案； （2）一次函数在反比例函数图像的上方时，自变量x的取值范围即可． （3）由题意得，，再根据面积求出，即可求出P点坐标，可得t的值． 【详解】（1）解：把代入得， ∴反比例函数的解析式为： 把代入得， 把，代入； ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）∵不等式的解集即为：的解集， ∴或 （3）如图， 由可知， ∴， ∵， 的面积为． ∴四边形的面积为 解得 ∵P点坐标为，点P可能在x轴正半轴或负半轴， ∴或 ∴当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合得出函数值大小关系是重点． 24．叶片顶端离地面的最小距离约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设，分别解，，得出，，根据题意叶片顶端离地面的最小距离，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 在中，，设， ∴， 在中， ∴ ∴， ∵风轮叶片的长度为米， ∴叶片顶端离地面的最小距离米， 答：叶片顶端离地面的最小距离约为米． 25．(1) (2)  ② (3)或 或 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质解决问题即可； （2）①利用三角形面积公式计算即可；②当最小时最小，作点关于的对称点，连接，此时最小； （3）由推出，推出 ，分三种情形当点在点的左边时，即时， ，当时，当，当点在点的右边时，即时, 若时，分别构建方程求解即可； 【详解】（1）∵ ， ∴ ， ∵， 即: ， ， ∵， ∴， 又∵是矩形， ∴， ∴， ，即:， 解得：， 当，此时 ； （2） 的面积的面积， 即； ②如图， ， ， 根据勾股定理得， ，是定值， 所以当最小时最小，作点关于的对称点 连接，此时最小， 在中, ， 根据勾股定理得， ， ∴的最小值为； （3）∵， ∴， 又∵， ，即 ， ， 当点在点的左边时， 即时, ， 此时, 当时，，即 ， 解得：； 此时，当时，有，即 ， 解得：； 当点在点的右边时，即时, ， 此时, 当时， 即 ，解得：； 综上， 或 或 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、轴对称的性质、矩形的性质、掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $