6.1.2平均数与方差(离差平方和、方差、标准差，数据分组) 学案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“平均数与方差”单元内容，涵盖离差平方和、方差、标准差的定义公式及数据分组方法，搭建了从概念理解到性质推导再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过表格对比数据变换后的平均数与方差规律，结合推导过程培养学生推理能力，设置分层练习题强化数据意识。如用表格清晰呈现“数据加减常数方差不变”等性质，帮助不同学生高效掌握，既便利学生自主复习，也为教师教学设计提供精准支持。

6.1.2平均数与方差(离差平方和、方差、标准差，数据分组) 考点1: 离差平方和、方差、标准差 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画. 1. 离差平方和：离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即S＝(x1－x (__))2＋(x2－x (__))2＋…＋(xn－x (__))2. 其中，是x1，x2，…，xn的平均数. 2. 方差：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即S2＝[(x1－x (__))2＋(x2－x (__))2＋…＋(xn－x (__))2] 求方差的步骤：第一步：先求该组数据的平均数；第二步：把求得的平均数代人方差公式进行计算. · 将该式整理后，可得到方差的简化计算公式S2＝(x12＋x22＋…＋xn2－nx (__)2) · ①一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.理由：设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x (__)，方差为S12，则一组新数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为x (__)＋a，方差为S22＝[(x1＋a－x (__)－a)2＋(x2＋a－x (__)－a)2＋…＋(xn＋a－x (__)－a)2]＝[(x1－x (__))2＋(x2－x (__))2＋…＋(xn－x (__))2]，即S22＝S12. ②若一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k2倍.理由：设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x (__)，方差为S12，则一组新数据kx1，kx2，…，kxn的平均数为kx (__)，方差为S22＝[(kx1－kx (__))2＋(kx2－kx (__))2＋…＋(kxn－kx (__))2]＝[k2(x1－x (__))2＋k2(x2－x (__))2＋…＋k2(xn－x (__))2]＝k2·[(x1－x (__))2＋(x2－x (__))2＋…＋(xn－x (__))2]，即S22＝k2S12. · 总结： 样本数据 平均数 方差 x1，x2，x3，…，xn x (__) S2 x1＋a，x2＋a，x3＋a，…，xn＋a x (__)＋a S2 kx1，kx2，kx3，…，kxn kx (__) k2S2 kx1＋a，kx2＋a，kx3＋a，…，kxn＋a kx (__)＋a k2S2 3. 标准差：标准差是方差的算术平方根. 即S＝＝. · ①方差、标准差是衡量一组数据波动大小的量.一般而言，方差、标准差越大，数据波动越大，这组数据就越不稳定；方差、标准差越小，数据波动越小，这组数据就越稳定. ②若从折线统计图上看，则方差越大，折线的波动幅度越大；方差越小，折线的波动幅度越小. ③方差的单位是原数据单位的平方，一般不加单位，标准差的单位与原数据单位一致. 练习1. 1. 已知一组数据：4，4，3，5，6，2，则这组数据的离差平方和是( D ). A. B.4 C.6 D.10 2. 某校举行党史知识竞赛，下图是10名决赛选手的成绩.对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是( C ). A.离差平方和是16 B.方差是160 C.标准差是4分 D.众数是5 3. 体育老师为了全面分析班上女生肺活量的成绩(单位：L)，采用如下方式计算方差：S2＝×[(x1－2.3)2＋(x2－2.3)2＋…＋(x23－2.3)2]，其中数字2.3代表的意义是这组数据的 平均数 . 4. 下表记录了阳光中学甲、乙、丙、丁四位同学平时50米跑的比赛成绩，若要选一名成绩较好且发挥稳定的同学代表学校参加市级比赛，则应选择 丙 . 甲 乙 丙 丁 平均成绩/秒 7.8 7.6 7.6 8.9 标准差/秒 1.2 1.3 0.8 0.7 5. 某日，甲、乙两地的气温如图所示，如果将这一天甲、乙两地气温的方差分别记作S甲2，S乙2，则S甲2＞S乙2. (填“＞”“＝”或“＜”) 考点2: 数据分组 1. 多组数据的组内离差平方和：多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和. 2. 数据分组的方法：在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”. · 数据分组的步骤： ①将所给的一组数据按从小到大排列； ②将排序后的一组数据(可记为x1，x2，x3，…，xn)依次分成两组，有下面(n－1)种情况，并计算每种情况下的组内离差平方和，如下： 第一组1个数据，第二组(n－1)个数据，计算组内离差平方和得到S1，22； 第一组2个数据，第二组(n－2)个数据，计算组内离差平方和得到S1，n－12； ③比较各种情况的组内离差平方和的大小，最小的一组即要分组的形式. 巩固练习： 1. 某校成立了甲、乙、丙、丁四支升国旗护旗队,各队队员身高的平均数 (单位:cm)与方差s2如下表所示,则四支护旗队中身高最整齐的是( A ). 甲 乙 丙 丁 x (__)(cm) 164.8 164.6 165.2 164.9 s2 7.5 12.75 8.8 10.45 A.甲队　　 B.乙队 C.丙队　 　D.丁队 2. 若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则数据x1＋3，x2＋3，x3＋3，…，xn＋3的方差是( A ). A.2　 　B.5　　 C.6　 　D.11 3. 现有甲组数据：1，2，3，4，5，乙组数据：11，12，13，14，15.若甲、乙两组的离差平方和分别为S1，S2,则S1，S2的关系是( A ). A. S1＝S2 B. S1＝10＋S2 C. S1＜S2 D. S1＞S2 4. 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 方差 9.1 9.3 0.1 如果每个评委打分都高0.1，那么表格中数据一定不会发生变化的是( D ). A.平均数与方差 B.众数 C.平均数 D.方差 5. 乒乓球的标准直径为40mm，质监部门分别抽取了A、B两厂生产的乒乓球各10只，对其直径进行检测，将所得的数据绘制如图．则抽取的A、B两厂生产的乒乓球直径的方差大小关系是：SA2 ＜ SB2(填“＞”或“＜”或“＝”)． 6. 已知数据2，5，1，x，3的平均数为3，则这组数据的标准差为 ． 7. 把8个苹果按重量分为{5，5，8}，{10，10，11，12，12}两组，则这种分组的组内离差平方和是　10　.  8. 八年级(5)班有30名学生，在一次体能测试中，李华请假没能参加，王老师统计其他29名学生测试成绩的平均分为89分，方差为28，后来李华补测的成绩为89分，则全班30名学生的测试成绩的平均分 不变 ，方差 变小 .(填“变大”“变小”或“不变”) 9. 小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差　不变　(填“不变”“增大”或“减小”).  10. 已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，m＋1，n＋1五个数据的标准差是　2 . 11. 若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为 1或4 ． 12. 已知一组数据：x1，x2，x3，…，x10，小明用S2＝[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x10－3)2]计算这一组数据的方差，那么x1＋x2＋x3＋…＋x10＝ 30 . 13. 已知某电影在5个影院的票价(单位：元)分别为x1，x2，x3，x4，x5.其平均数为40元，方差是4. (1)若每个影院均降价3元，即此时的票价(单位：元)分别为x1－3，x2－3，x3－3，x4－3，x5－3.降价后，这5个影院的该电影票价的平均数是　　37  元，方差是　4 . (2) 若涨价后，得到新的门票价格(单位：元)如下：2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3.涨价后门票价格的平均数是　　77  元,方差是　16 . 14. 已知5个正数x1，x2，x3，x4，x5的标准差为2，则另一组数据3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，3x4＋1，3x5＋1的方差为 36 ． 15. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是3，则另一组新数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1的标准差为　2　.  16. 某超市打算购进一批苹果.现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径(单位：mm)，并制作统计图如下： 根据以上信息,解答下列问题： (1) 项目 平均数 众数 甲 80 a 乙 m 76 则m＝　　80　　，a＝　　83　　.  (2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，　甲　供应商供应的苹果大小更为整齐.(填“甲”或“乙”)  (3)超市规定直径82mm(含82mm)以上的苹果为大果.超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个? 答案：(3)2000×＝600(个)答：大果约有600个. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.2平均数与方差(离差平方和、方差、标准差，数据分组) 考点1: 离差平方和、方差、标准差 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画. 1. 离差平方和：离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即S＝(x1－x (__))2＋(x2－x (__))2＋…＋(xn－x (__))2. 其中，是x1，x2，…，xn的平均数. 2. 方差：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即S2＝[(x1－x (__))2＋(x2－x (__))2＋…＋(xn－x (__))2] 求方差的步骤：第一步：先求该组数据的平均数；第二步：把求得的平均数代人方差公式进行计算. · 将该式整理后，可得到方差的简化计算公式S2＝(x12＋x22＋…＋xn2－nx (__)2) · ①一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.理由：设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x (__)，方差为S12，则一组新数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为x (__)＋a，方差为S22＝[(x1＋a－x (__)－a)2＋(x2＋a－x (__)－a)2＋…＋(xn＋a－x (__)－a)2]＝[(x1－x (__))2＋(x2－x (__))2＋…＋(xn－x (__))2]，即S22＝S12. ②若一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k2倍.理由：设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x (__)，方差为S12，则一组新数据kx1，kx2，…，kxn的平均数为kx (__)，方差为S22＝[(kx1－kx (__))2＋(kx2－kx (__))2＋…＋(kxn－kx (__))2]＝[k2(x1－x (__))2＋k2(x2－x (__))2＋…＋k2(xn－x (__))2]＝k2·[(x1－x (__))2＋(x2－x (__))2＋…＋(xn－x (__))2]，即S22＝k2S12. · 总结： 样本数据 平均数 方差 x1，x2，x3，…，xn x (__) S2 x1＋a，x2＋a，x3＋a，…，xn＋a x (__)＋a S2 kx1，kx2，kx3，…，kxn kx (__) k2S2 kx1＋a，kx2＋a，kx3＋a，…，kxn＋a kx (__)＋a k2S2 3. 标准差：标准差是方差的算术平方根. 即S＝＝. · ①方差、标准差是衡量一组数据波动大小的量.一般而言，方差、标准差越大，数据波动越大，这组数据就越不稳定；方差、标准差越小，数据波动越小，这组数据就越稳定. ②若从折线统计图上看，则方差越大，折线的波动幅度越大；方差越小，折线的波动幅度越小. ③方差的单位是原数据单位的平方，一般不加单位，标准差的单位与原数据单位一致. 练习1. 1. 已知一组数据：4，4，3，5，6，2，则这组数据的离差平方和是( ). A. B.4 C.6 D.10 2. 某校举行党史知识竞赛，下图是10名决赛选手的成绩.对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是( ). A.离差平方和是16 B.方差是160 C.标准差是4分 D.众数是5 3. 体育老师为了全面分析班上女生肺活量的成绩(单位：L)，采用如下方式计算方差：S2＝×[(x1－2.3)2＋(x2－2.3)2＋…＋(x23－2.3)2]，其中数字2.3代表的意义是这组数据的 . 4. 下表记录了阳光中学甲、乙、丙、丁四位同学平时50米跑的比赛成绩，若要选一名成绩较好且发挥稳定的同学代表学校参加市级比赛，则应选择 . 甲 乙 丙 丁 平均成绩/秒 7.8 7.6 7.6 8.9 标准差/秒 1.2 1.3 0.8 0.7 5. 某日，甲、乙两地的气温如图所示，如果将这一天甲、乙两地气温的方差分别记作S甲2，S乙2， 则S甲2 S乙2. (填“＞”“＝”或“＜”) 考点2: 数据分组 1. 多组数据的组内离差平方和：多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和. 2. 数据分组的方法：在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”. · 数据分组的步骤： ①将所给的一组数据按从小到大排列； ②将排序后的一组数据(可记为x1，x2，x3，…，xn)依次分成两组，有下面(n－1)种情况，并计算每种情况下的组内离差平方和，如下： 第一组1个数据，第二组(n－1)个数据，计算组内离差平方和得到S1，22； 第一组2个数据，第二组(n－2)个数据，计算组内离差平方和得到S1，n－12； ③比较各种情况的组内离差平方和的大小，最小的一组即要分组的形式. 巩固练习： 1. 某校成立了甲、乙、丙、丁四支升国旗护旗队,各队队员身高的平均数 (单位:cm)与方差s2如下表所示,则四支护旗队中身高最整齐的是( ). 甲 乙 丙 丁 x (__)(cm) 164.8 164.6 165.2 164.9 s2 7.5 12.75 8.8 10.45 A.甲队　　 B.乙队 C.丙队　 　D.丁队 2. 若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则数据x1＋3，x2＋3，x3＋3，…，xn＋3的方差是( ). A.2　 　B.5　　 C.6　 　D.11 3. 现有甲组数据：1，2，3，4，5，乙组数据：11，12，13，14，15.若甲、乙两组的离差平方和分别为S1，S2,则S1，S2的关系是( ). A. S1＝S2 B. S1＝10＋S2 C. S1＜S2 D. S1＞S2 4. 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 方差 9.1 9.3 0.1 如果每个评委打分都高0.1，那么表格中数据一定不会发生变化的是( ). A.平均数与方差 B.众数 C.平均数 D.方差 5. 乒乓球的标准直径为40mm，质监部门分别抽取了A、B两厂生产的乒乓球各10只，对其直径进行检测，将所得的数据绘制如图．则抽取的A、B两厂生产的乒乓球直径的方差大小关系是：SA2 SB2(填“＞”或“＜”或“＝”)． 6. 已知数据2，5，1，x，3的平均数为3，则这组数据的标准差为 ． 7. 把8个苹果按重量分为{5，5，8}，{10，10，11，12，12}两组，则这种分组的组内离差平方和是 .  8. 八年级(5)班有30名学生，在一次体能测试中，李华请假没能参加，王老师统计其他29名学生测试成绩的平均分为89分，方差为28，后来李华补测的成绩为89分，则全班30名学生的测试成绩的平均分 ，方差 .(填“变大”“变小”或“不变”) 9. 小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差 (填“不变”“增大”或“减小”).  10. 已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，m＋1，n＋1五个数据的标准差是 . 11. 若一组数据2，3，x的方差与另一组数据12，13，14的方差相等，则x的值为 ． 12. 已知一组数据：x1，x2，x3，…，x10，小明用S2＝[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x10－3)2]计算这一组数据的方差，那么x1＋x2＋x3＋…＋x10＝ . 13. 已知某电影在5个影院的票价(单位：元)分别为x1，x2，x3，x4，x5.其平均数为40元，方差是4. (1)若每个影院均降价3元，即此时的票价(单位：元)分别为x1－3，x2－3，x3－3，x4－3，x5－3.降价后，这5个影院的该电影票价的平均数是 元，方差是 . (2) 若涨价后，得到新的门票价格(单位：元)如下：2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3.涨价后门票价格的平均数是 元,方差是 . 14. 已知5个正数x1，x2，x3，x4，x5的标准差为2，则另一组数据3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，3x4＋1，3x5＋1的方差为 ． 15. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是3，则另一组新数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1的标准差为 .  16. 某超市打算购进一批苹果.现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径(单位：mm)，并制作统计图如下： 根据以上信息,解答下列问题： (1) 项目 平均数 众数 甲 80 a 乙 m 76 则m＝ ，a＝ .  (2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断， 供应商供应的苹果大小更为整齐.(填“甲”或“乙”)  (3)超市规定直径82mm(含82mm)以上的苹果为大果.超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个? 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $