5.4.3：正切函数的性质与图象【七大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本讲义聚焦正切函数的性质与图象核心知识点，系统梳理其定义域、值域、周期、奇偶性、单调性及对称性，承接正弦余弦函数学习，通过知识梳理表格与分层题型归纳，构建从基础到综合的学习支架。 资料以核心素养为导向，知识梳理结合图象直观呈现性质，培养数学眼光。题型分七类从基础到综合，例题变式题融入月考期末真题，引导数学思维推理，课中助力分层教学，课后高分达标练习帮助查漏补缺，强化知识应用。

5.4.3：正切函数的性质与图象 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点：函数y＝tan x的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间(k∈Z)上都是增函数 对称性 对称中心(k∈Z) 【题型归纳】 题型一：正切函数的定义域、值域 【例1】．（22-23高一下·辽宁沈阳·月考）函数的定义域为 ． 【变式1】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 【变式2】．（22-23高一·全国·课后作业）函数的值域为 ． 题型二：正切函数的图象的应用 【例2】．（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式1】．（23-24高一上·河北邢台·月考）当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2】．（23-24高一上·江苏）函数的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   题型三：求正切函数的单调性或参数 【例3】．（21-22高一下·上海浦东新·期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【变式1】．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【变式2】．（24-25高三上·福建·月考）已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为 . 题型四：解不等式或者比较大小 【例4】．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 【变式1】．（2023高一上·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【变式2】．（2024高一上·全国·专题练习）不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“<”、“>”连接起来． （1） ． （2） ． 题型五：正切函数的奇偶性和周期性 【例5】．（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式1】．（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【变式2】．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知函数的最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值 ． 题型六：正切型三角函数的图像和性质 【例6】．（23-24高一下·江西赣州·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2023·湖北武汉·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】．（2023·河北衡水·一模）已知，周期是的对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型七：正切函数图像和性质的综合应用 【例71】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知. (1)求不等式的解集； (2)若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足时的值. 【变式2】．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上单调递增. (1)求的取值范围； (2)若，求的单调递增区间； (3)若，求的最小正周期. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 3．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内是增函数 B．图象的对称中心是， C．的最小正周期是 D．是奇函数 7．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数是偶函数 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列叙述中，正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递增 C．函数的最小正周期为 D．函数是偶函数 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数在上的最大值是 D．函数的单调递增区间为 12．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 13．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 三、填空题 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则的对称中心为 ． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 16．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为 ． 17．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ． 四、解答题 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的最小正周期为． (1)求函数图象的对称中心； (2)解不等式：． 19．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调区间； (2)解不等式：． 20．（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 21．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 22．（24-25高一上·全国）已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 23．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.3：正切函数的性质与图象 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点：函数y＝tan x的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间(k∈Z)上都是增函数 对称性 对称中心(k∈Z) 【题型归纳】 题型一：正切函数的定义域、值域 【例1】．（22-23高一下·辽宁沈阳·月考）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】根据题意，得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 【答案】 【详解】函数. ，令.函数在上单调递增， ，即，，函数的值域为. 故答案为： 【变式2】．（22-23高一·全国·课后作业）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】当时，，， 即的值域为. 故答案为：. 题型二：正切函数的图象的应用 【例2】．（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【详解】因为函数（） 所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项； 又，故排除D选项，故选B符合. 故选：B. 【变式1】．（23-24高一上·河北邢台·月考）当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】作出函数在上的图象与在的图象即可得解. 【详解】作出函数在上的图象与在的图象，如图， 观察图象，得函数与函数的图象的交点个数为2. 故选：C 【变式2】．（23-24高一上·江苏）函数的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【详解】由，首先其定义域关于原点对称， 且 所以，即函数是偶函数，故排除A，C， 当时，，则，排除D. 故选：B 题型三：求正切函数的单调性或参数 【例3】．（21-22高一下·上海浦东新·期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数的单调递增区间为，， 且函数在上为严格减函数，所以，解得，即 . 故答案为：. 【变式1】．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得，的取值范围为． 故答案为：. 【变式2】．（24-25高三上·福建·月考）已知函数的图象关于点 对称，则的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】令， 可得：，结合， 令，可得，得，解得， 再令，可得， 所以的单调递增区间为， 故答案为：. 题型四：解不等式或者比较大小 【例4】．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 【答案】 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式1】．（2023高一上·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，即. 在上满足上述不等式的的取值范围是. 又因为的周期为， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2】．（2024高一上·全国·专题练习）不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“<”、“>”连接起来． （1） ． （2） ． 【答案】 < < 【分析】利用诱导公式及正切函数单调性比较大小即得. 【详解】（1），而，因此， 所以. （2），， 而，函数在上单调递增，则， 所以. 故答案为：<；< 题型五：正切函数的奇偶性和周期性 【例5】．（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 【变式1】．（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】/0.5 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，又因为，解得. 故答案为：. 【变式2】．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知函数的最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求得，然后求得图象变换后的解析式，根据奇偶性求得正确答案. 【详解】函数的最小正周期为， 所以，向左平移个单位后， 得到， 所得函数为奇函数，所以， 故可取的一个值为. 故答案为：（答案不唯一） 题型六：正切型三角函数的图像和性质 【例6】．（23-24高一下·江西赣州·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，且， 即且， 因为，所以， 则， 所以，化简得， 因为，所以时，故， 所以． 由，得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 【变式1】．（2023·湖北武汉·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即， 的图象过点，即， ∵，则，    ∴，解得． ∴ ∴. 故选：A 【变式2】．（2023·河北衡水·一模）已知，周期是的对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，列出方程即可求得，然后根据对称中心以及周期范围求出，即可得到的解析式，从而得到结果. 【详解】因为， 由可得，且，所以， 又因为是的对称中心，故 解得 且，即 所以，当时， 即， 所以 故选:D 题型七：正切函数图像和性质的综合应用 【例71】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象过点，结合，可得，再利用正切型函数的单调性代入求解即可； （2）根据正切型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）∵的图象过点， ∴，∵，∴，∴． 令，得， 即． ∴函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． ∴不等式的解集为. 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知. (1)求不等式的解集； (2)若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足时的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据正切函数的性质，利用整体代入法可得，即可求解； （2）.若是奇函数，则，可解得.令，解得，且，所以，代入即可求得满足题意的值. 【详解】（1）因为，所以， 得，即. 所以不等式的解集为. （2）. 若是奇函数，则，解得. 令，解得，且，所以. 故. 【变式2】．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上单调递增. (1)求的取值范围； (2)若，求的单调递增区间； (3)若，求的最小正周期. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）当，，因为在上单调递增， 所以，所以，所以的取值范围为. （2）若，由，，解得，， 所以的单调递增区间为：. （3）若，则，得 则，，解得，，又因为，所以，的最小正周期为. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，再根据正切函数图象和性质解不等式即可. 【详解】由题意可得，则． 故选：D. 2（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 【答案】D 【分析】代入计算特殊值即可排除AB，根据周期的计算公式即可求解C，代入验证即可求解D. 【详解】对于A， 由于故A错误， 对于B， 由于在处有定义，但，故B错误， 对于C， 的最小正周期为，故C错误， 对于D， ，故是的一个对称中心，故D正确， 故选：D 3．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【答案】C 【详解】由可知，，所以的单调递减区间为． 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 6．（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内是增函数 B．图象的对称中心是， C．的最小正周期是 D．是奇函数 【答案】B 【分析】求函数的定义域，和单调增函数即可判断A，令求出即可判断B，由周期公式即可判断C，由奇偶性的定义即可判断D. 【详解】对于A：令，函数的定义域， 由有， 所以函数的单调增区间为， 由单调性的定义可知，在定义域内不具有单调性，故A错误； 对于B：令有，所以图象的对称中心是，故B正确； 对于C：，所以的最小正周期是，故C错误； 对于D：，可知是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 7．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解. 作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数. 【详解】由，得， 作出，，的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 8．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据指数函数的单调性即可求出的值域，即得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 所以， 又单调递减，且， 所以，即的值域是. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数是偶函数 【答案】CD 【分析】对于A，易得不是的周期；对于B，时，，根据单调性即可判断B；对于C，判断是否成立即可；对于D，根据定义法判断奇偶性即可. 【详解】A错，由于，，因此， 即的最小正周期不是． B错，当时，，则函数在区间上是减函数． C对，， 因此函数的图象关于直线对称． D对，易知的定义域关于原点对称，由于， 因此函数是偶函数． 故选：CD. 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列叙述中，正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递增 C．函数的最小正周期为 D．函数是偶函数 【答案】AB 【分析】由正切函数的性质可判断AB，利用特殊值及周期性，奇偶性的定义判断CD. 【详解】对于A，由于，即的图象关于点对称．故A正确； 对于B，当时，，因此在上单调递增．故B正确； 对于C、D，但不存在，故的最小正周期不是，也不是偶函数．故C、D不正确； 故选：AB 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数在上的最大值是 D．函数的单调递增区间为 【答案】ABD 【分析】由三角函数的周期公式可判断A；由正切函数的定义域可判断B；由正切函数的性质可判断C；通过求正切函数的单调区间可判断D. 【详解】对于A，由周期公式得到函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，得，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，由得，，故此时函数单调递增， 故最大值为，故C错误； 对于D，由，得， 所以函数的单调递增区间为．故D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】直接代入计算可判断A；根据正切函数周期性可判断B；根据正切函数的对称性，整体代入求解可判断C；利用正切函数单调性解表示可判断D. 【详解】对A，，A正确； 对B，的最小正周期，B错误； 对C，由得， 所以图象的对称中心为，C正确； 对D，由得， 所以，解得，D正确. 故选：ACD 13．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的图象求函数解析式判断A、B；再由正切函数的解析式求值、对称性判断C、D. 【详解】对A，由图知的最小正周期，则，A正确； 对B，由图象知时，函数无意义，故，， 由，得，即，B错误； 对C，，C正确； 对D，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换，得函数的图象关于直线对称，D正确， 故选：ACD 三、填空题 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则的对称中心为 ． 【答案】 【分析】由正切函数对称中心公式列式计算即可. 【详解】令，则， 故的对称中心为，. 故答案为：，. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】（1）利用正切函数的定义域可列式子解出答案， （2）利用正切函数与对数函数的定义域可列式子得出答案. 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为. （2）由题意知，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：，. 16．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为 ． 【答案】/5.5 【分析】由题可知平移后的解析式为，根据与函数的图象重合可得即可求解. 【详解】向左平移个单位长度后得到 ， 又与函数的图象重合， 所以，解得， 又，所以的最小值为. 故答案为： 17．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ． 【答案】 【分析】由对称中心求得，再通过诱导公式可求的值. 【详解】令，可得：，结合， 令，可得，得，解得， 所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的最小正周期为． (1)求函数图象的对称中心； (2)解不等式：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1），故，解得， 故． 由，得， 所以函数图象的对称中心为 （2），即，故， 则， 解得． 19．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调区间； (2)解不等式：． 【答案】(1)单减区间为，无增区间(2) 【详解】（1），故，解得， 故，其中的递增区间为的递减区间， 令，解得， 故的递减区间为，无递增区间； （2），，故， ，，解得. 20．（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）函数中， 令，，解得，， 所以函数的定义域为； （2）由， 所以函数的单调递增区间为 ， （3）不等式可化为， 解得，， 即，； 所以不等式的解集为， 21．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【答案】(1)定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）由， 得（）， ∴的定义域是, ∵， ∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是. （3）令，则； 令，则； 令，则. ∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，. 从而得函数在一个周期内的简图如下： 22．（24-25高一上·全国）已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入，利用正切函数定义域及周期公式列式求解. （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）当时，，则函数的最小正周期； 由，解得， 所以函数的定义域为． （2）由，得， 由函数在区间内单调递增，得，解得，又， 所以的取值范围为． 23．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $