夯基专题1 不等式的综合问题讲义-2026届高三数学二轮复习

【二轮复习—不等式】 夯基专题1 不等式的综合问题 【核心知识】考向一 不等式的基本性质 考点一：两个实数比较大小的方法 1.作差法 ； 2.作商法. 考点二：不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数 强调： 1.倒数性质： ; 2.分数性质： 若，则 真分数性质： 假分数性质：. 考点三：判断不等式的常用方法 1.直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 2.利用特殊值法排除错误答案． 3.利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较． 【典例精讲】 例1.(2025·江苏省赣州市联考) 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 解：选项，， 因为，所以的正负不能确定，所以与  的大小不确定，A错误； 选项，当时，，所以B错误； 选项，因为，且，即， 因为，所以，所以C正确； 选项，  ， 因为，所以，但的正负不能确定， 所以D错误 故选C． 例2.(2025·浙江省绍兴市·模拟)设，给出下列四个结论：其中正确结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 解：， 对于、由，得， 又，得，故错误； 对于、， 因为， 幂函数单调递减，所以，故错； 对于、，， 由指数函数的单调性知单调递减， 又，可得，故正确； 对于、因为， 所以， 所以， 即故正确． 正确的结论有个． 故选：． 【拓展提升】 练1-1(2025·云南省玉溪市·月考试卷)（多选）下列结论正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若，则 解：对于选项A，当时，， ，当且仅当时，取等号， ，故A正确． 对于选项B，且， 可得，则，故B错误 对于选项C，当时，不成立，故C错误 对于选项D，，则，即，故D正确． 练1-2(2025·浙江省温州市·模拟)（多选）已知，均大于，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 解：，均大于，，而在上是增函数，， 对于，在上是增函数，，故A错误； 对于，在上是减函数，，故B正确； 对于，在上不单调，如，而，故C错误； 对于，，，，故D正确． 故选BD． 【核心知识】 基本不等式是解决最值、不等式证明、参数范围等问题的有效工具, 常与函数、立体几何、数列、圆锥曲线、不等式恒成立、平面向量、解三角形等内容综合考查.不等式变形灵活,本质就是搭建两个正数的“和”与“积”的关系.解题时可对题中的式子适当进行拼凑变形,使条件满足应用情境即可. 考点一：基本不等式及其他常用不等式 1.如果,则,当且仅当时等号成立. 2.如果,则. 3.如果,则. 4.如果,则,当且仅当时等号成立. 考点二：最值定理 1.已知都是正数,如果积等于定值,那么当时,和有最小值. 2.已知都是正数,如果和等于定值,那么当时,积有最大值. 强调： 1.运用基本不等式求最值时,注意前提条件,即“一正、二定、三相等”. 2.多次使用基本不等式求最值,注意等号成立的条件. 3.条件最值的求解通常借助：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 【典例精讲】  例3.(2025·湖南省长沙市·模拟)（多选）已知，为正实数，且，则     ． A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 解：对于，因为， 当且仅当时取等号， 解得，即，故的最大值为，A正确； 对于，由前面判断的最大值为， 及条件，可得，当且仅当最得最小值，B正确； 对于，由得， ， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于， ， 当且仅当时取等号， 此时取得最小值，D正确． 故选：． 例4. (2025·湖南省·模拟)已知实数，满足，且，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 解：两个正实数，满足，， ， 当且仅当，即，时等号成立， ， 又不等式恒成立，则应， 解得， 故选：． 【拓展提升】 练2-1(2025·江西省·月考试卷)已知，且，则下列结论正确的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 解：，且， 对于，利用基本不等式得，化简得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故错误 对于，， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故正确 对于，，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于，， 利用二次函数的性质知，当时，取得最小值，无最大值， 所以， 所以，的最小值为，故错误． 故选BC． 练2-2(2025·吉林省长春市高三期末)（多选） 设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为上个世纪五十年代，美国数学家提出了“均值”，即，其中为有理数下列结论正确的有(    ) A. B. C. D. 解： ，由基本不等式，当且仅当取等号， ，A正确 ，当且仅当取等号，B正确  ，当且仅当取等号，C错误； 因为，由知，D错误． 故选AB． 【核心知识】考向三 不等式的恒成立问题 考点一 一元二次不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数恒成立或 2.不等式对任意实数恒成立或. 强调：一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 1.若在区间上恒成立，即区间是不等式的解集对应区间的的子区间， 故可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； 2.转化为函数的最值问题， 若, 成立;若, 成立； 若,成立; 若, 成立； 3.变更主元：给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题. 4.分离变量：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围. (为参数)恒成立； (为参数)恒成立. 5.数形结合： 函数图象恒在函数图象上方； 函函数图象恒在函数图象下上方. 考点二 在给定区间上的恒成立问题 1.当时, 在上恒成立或或; 在上恒成立; 2. 当时, 在上恒成立; 在上恒成立或或; 【典例精讲】 例5.(2025·湖北省随州市·期末考试)若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 解：当时，不等式化为，解得，符合题意； 当时，的图象为开口方向向上的抛物线， 只需，即； 当时，的图象为开口方向向下的抛物线， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为． 故选：． 例6.(2025·湖南省岳阳市·月考试卷)已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：对于函数，． 令，解得，满足恒成立， 因此，只需，即，所以 令，即或． 设方程的两根分别为，， 则，． 当时，方程有两个正根，存在，使得，不符合题意，舍去 当时，方程有两个负根， 因此，只需，即，所以． 综上所述，的取值范围为． 【拓展提升】 练3-1(2025·江西省南昌市·模拟题)已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为          ． 解：当时，由，可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，此时不存在； 当时，由对任意的恒成立， 作出，的大致图象，如图所示： 由题意可知，又是整数， 所以或或． 故答案为：． 练3-2(2025·陕西省·月考)设函数． 若不等式的解集，求，的值； 若， ，，求的最小值； 若在上恒成立，求实数的取值范围． 解：由的解集是知，是方程的两根， 由根与系数的关系可得，解得； 由得， ，， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值是． 不等式在上恒成立，则在上恒成立， 即恒成立，， 解得， 实数的取值范围是．  共9页/第2页 学科网（北京）股份有限公司 $