提高专题1 函数背景下的解不等式问题讲义-2026届高三数学二轮复习

【二轮复习—不等式】 提高专题1 函数背景下的解不等式问题 【方法储备】探究一 数形结合法解不等式 数形结合思想解不等式的思路： ⑴将代数式转化为几何式，如，结合图形解不等式； ⑵解不等式： ①作出的图象，则图象上在轴上方的图象在轴上覆盖的范围即为不等式的解集； ②将转化为,则的图象在图象上方的部分在轴上覆盖的范围，即为不等式的解集； ⑶形如结构的复合函数，通常采用换元法来解决，例如解不等式，可令，则且；结合的图象由得到，即，再结合的图象解出的范围. 【典例精讲】 例1.(2025·江苏省连云港市·模拟)已知函数满足，对任意，，且，都有成立，且，则的解集是(    ) A. B. C. D. 解：根据题意，因为函数满足， 则所以的图象关于对称， 因为函数对任意，，且，都有成立， 所以在上为增函数， 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且， 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：． 故选：． 例2.(2025·北京市市辖区·月考试卷)已知函数，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 解：依题意，得 ， 由，观察可得方程组的解为或 画出的图像    由图可知，不等式的解集是． 故选： 例3.(2025·山东省潍坊市·模拟题)设函数，若不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________． 解：由，可得， 令， 由题意知恰有两个整数，使成立， 因为，由，可得， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，且， 直线恒过点，且斜率为， 结合图象可得 ，即 解得， 即的取值范围是． 故答案为． 【拓展提升】 练1-1(2025·湖北省荆门市月考) 已知，则不等式的解集为          ． 解：令， 当时，，解得 当时，，解得， 则或，即． 作出函数的图象如下： 在上递增，且， 所以不等式的解集为， 故答案为． 练1-2(2025·河南省·模拟)已知函数，若不等式仅有个整数解，则实数的取值范围为            ． 解：易知的定义域为， 要使不等式仅有个整数解， 需满足仅有个整数解， 即不等式仅有个整数解， 设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又， 所以当时，，当时，， 设， 此时直线恒过点， 由图象知，当时，要使不等式有个整数解， 此时， 解得， 则实数的取值范围为． 故答案为：． 练1-3(2025·福建省·期末考试)函数若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为          ． 解：由题意知，当时， 当时， 当时， 当时，，结合图象知 当时，，当时，显然成立 当时，， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以． 综上，实数的取值范围为 探究二 单调性法解不等式 【方法储备】 1.利用单调性解不等式的思路： 确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；将不等式转化为的结构；结合单调性与奇偶性，列出关于的不等式或不等式组（定义域范围内）；接不等式求解集. 2.常见问题： ⑴解型不等式：利用函数的单调性，得到关于的不等式（组）； ⑵解型不等式：结合题干得到,转化为； ⑶为奇函数，解型不等式：即 ⑷构造函数解不等式：结合题干式子结构，利用导数四则运算，或同构思想等构造函数，利用构造的函数的单调性、奇偶性解不等式. 【典例精讲】  例4.(2025·吉林省长春市月考) 已知函数，若，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 解：当时，若，则，解得满足； 当时，若，则，解得，不满足， 于是，可得，故 易知函数与函数均为增函数， 又函数在交接处两边的函数值均为， 函数为上的增函数， 不等式，等价于， 即，解得， 不等式的解集为． 故选D． 例5.(2025·江苏省·月考试卷)已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 解：由，即，所以为奇函数，     ， 令， 则， 则在上单调递增，    由，得， 则， ， 所以， 所以，不等式的解集为 故选：． 例6. (2025·重庆市市辖区月考) 设函数，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 解：设，定义域为， ， 又 ， 当时，，故， 故，是单调递增函数， 时，，故，是单调递减函数， 则在处取得最小值， 又在恒成立， 不等式，必需满足而且， ，解得负值已经舍去， 原不等式的解集为． 故选：． 【拓展提升】 练2-1(2025·广东省·单元测试)，，使得恒成立，则整数的最小值为(    ) A. B. C. D. 解：令， ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 又，且当时，， 在同一直角坐标系中画出与的图象，如图： 由题知与的图象分布在两侧． 当时，要使不等式成立，只有 当时，总存在满足题目要求，而， 所以整数的最小值为． 故选：． 练2-2(2025·江苏省苏州市·月考试卷)已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为(    ) A. B. C. D. 解：， 函数关于对称， 又函数为奇函数，故关于原点中心对称， 即，，则， 函数是周期为的函数， 令，， 当时，，当时，， 函数在上为增函数， 当时，，即， 设，， 当时，，即， 所以时，， 当时，， 即， 由对称性及周期性作函数的示意图及函数的图象如下： 由图象可知，不等式在上的解集为． 故选：． 练2-3(2025·河南省开封市期中) 已知函数，，若对于任意的，，均有成立，则实数的取值范围为__________ 解：由题意，函数， 求导得， 则由可知恒成立，故在单调递增， 不妨设，则， 从而有恒成立， 即恒成立， 设，则在单调递减， 所以恒成立， 整理得恒成立，设， 求导得，， 所以单调递减，则要恒成立， 只要， 故答案为． 【方法储备】探究三 同构法解不等式 1.同构的思想：将不等式两边构造成具有相同结构的代数式，然后用函数单调性去求解不等式. 2.在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系,可比较大小或解不等式. 3.常见变形方式： ①结合已知条件，对不等式进行移项、添项、拆项等变形，使不等式两侧呈现相同结构，构造函数. ②通过恒等式和代换变形，如. ③通过放缩变形，对一些指对混合不等式问题，可能要借助已知条件或切线不等式，合理放缩（在函数与导数部分阐述）. 扩展：同构式的应用： 1.方程：若方程,结构一致，则为方程的根. 2.平面解析几何：若满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点；若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程. 3.数列：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于( 和(的同构式，便于求出通项公式. 【典例精讲】 例7.(2025·江苏省无锡市·模拟)不等式的解集为          ． 解：， 即， 设，， 则， 则在上单调递减， 则， 即， 解得， 即原不等式的解集为：． 故答案为：． 例8.(2025·河南省郑州市期末) 已知函数，当时，，都有，则实数的最小值为          ． 解：，都有， 恒成立，即恒成立， ，即， 设，则， 在上单调递增， 当，时，， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立． ，，则恒成立． 记． ，当时，，即在上单调递增 当时，，即在上单调递减． ，即，解得． 又，， 则实数的最小值为． 故答案为． 【拓展提升】 练3-1(2025·广东省梅州市模拟) 若，函数的图象恒在函数的图象上方无公共点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：由函数解析式可知，，故， ，， ，即， 令，则， ， ， 故为增函数， ，则，于是． 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ， 故，又因为，． 故选A． 练3-2(2025·浙江省·月考)已知对任意，，且当时，都有：，则的取值范围是           解：化简不等式，得， 于是， 设函数，则在上单调递减， ， 即，在上恒成立， 所以在上恒成立， 时，，当且仅当时取等， 故，所以的取值范围为． 故答案为：． 共12页/第12页 学科网（北京）股份有限公司 $