夯基专题2 函数及其性质 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数及其性质专题，按函数概念与表示、性质应用、抽象函数三个考向系统梳理核心考点，构建从定义到性质再到综合应用的逻辑体系。通过考点梳理明确三要素与单调性、奇偶性等性质的内在联系，方法指导提炼定义域值域求法等策略，真题训练结合典例精讲与拓展提升，助力学生突破函数难点。 资料采用“知识梳理 - 方法提炼 - 真题实战”分层模式，如在函数性质教学中引导学生通过对称性推导周期性培养数学思维，抽象函数用赋值法与模型法发展抽象能力。设置基础典例与提升练习适配不同学生需求，保障复习针对性，帮助学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

【二轮复习—函数与导数】 夯基专题2 函数及其性质 【核心知识】考向一 函数及其表示 考点一：函数的概念 函数 两个集合 设是两个非空数集 对应关系 如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数， 在集合中都有唯一确定的数和它对应 名称 称为从集合到集合的一个函数 函数记法 函数 ⑴函数的三要素 ①定义域：的取值范围； ②值域：的取值范围. ③对应关系. ⑵函数的表示法：解析法、图象法和列表法． ⑶分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 考点二：定义域、值域、解析式的求解 ⑴定义域：函数问题定义域优先，在解答函数问题时要先考虑定义域； ⑵值域：函数的值域应用性较强，如恒成立问题、有解问题、数形结合问题等转化为函数求最值解决；与其他知识点综合，如求数列的最大项与最小项、向量与复数的四则运算及模的最值、向量与复数的几何意义的最值、解析几何的函数性研究问题等，都需要转化为求最值问题.常用方法： ①单调性法：借助单调性性质或导数判断函数单调性，若函数有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值． ②配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，注意自变量的取值范围. ③换元法：换元法是将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． ④分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如或（至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法. ⑶解析式：函数解析式在高考中较少单独考查，常用的方法有： ①待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法． ②换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 ③方程组法：主要解决已知与、与的方程，求解析式. ④由奇偶性求解析式. 【典例精讲】 例1.(2025·山东省·模拟题) 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：要使函数的定义域是， 则对任意实数都成立， 当时显然成立； 当时，需， 解得． 综上，的取值范围为． 故选B． 例2.(2025·山东省·模拟题)已知函数，则的值域是(    ) A. B. C. D. 解：，， 所以函数，的值域是． 故选D． 【拓展提升】 练1-1.(2025·安徽省淮北市·期末考试)记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解： 在 上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，即在区间上的值域为． ， 令，得，解得或， 画出，的图象如图所示， 若，，使得成立， 则需要在上的值域包含在上的值域， 则，解得，即的取值范围是． 故选：． 练1-2.(2024·江苏省南通市模拟题) 如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为的正方形铝板制作一个无底面的正棱锥侧面为等腰三角形，底面为正边形道具，他们以正方形的几何中心为圆心，为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出份，再从中取份，并以为正棱锥的顶点，且落在底面的射影为正边形的几何中心，侧面等腰三角形的顶角为，当时，设正棱锥的体积为，则的最大值为          ． 解：设， 由题意可得，， 则，可得， 所以， 将代入上式，则， 因为， 所以，则， 所以， 当时，取得最大值为． 故答案为． 考向二 函数的性质及其应用 【核心知识】 考点一：函数的性质 1.单调性： ⑴确定函数单调性的四种方法：定义法、导数法、性质法、图象法. ⑵函数单调性应用问题的常见类型：比较大小、求最值、解不等式、利用单调性求参数． 2.奇偶性： ⑴确定函数奇偶性的三种方法：定义法、性质法、图象法. ⑵函数奇偶性应用问题的常见类型：求函数值、求解析式、求解析式中的参数、函数图象. 3．周期性 ⑴周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． ⑵函数周期性常用结论：对定义域内任一自变量的值： (1)若，则． (2)若，则． (3)若，则． (4)若，则为常数)． 4．对称性 对称性的三个常用结论： (1)若函数满足，则的图象关于直线对称． (2)若函数满足，则的图象关于点对称． (3)若函数满足，则的图象关于点对称． 考点二：常考题型 1.解双不等式：①函数单调，可以直接 “脱 ”；②函数图象有对称轴，通过比较“自变量到对称轴的距离”来“脱”，而距离可以用“绝对值”来表示.还要结合函数定义域. 2. “奇函数+常函数”型函数：若不为奇函数，但 可转化为（为常数，且不为0），. 3.奇偶性、周期性、对称性之间的推演转换：任意给出这三个性质中的某两个，要能推出函数具有第三个性质.①将已知的性质都用标准公式写出来，再联立就能推出新的性质，②结合条件画出函数图象，数形结合观察出函数的新性质. 【典例精讲】 例3.(2025·湖北省随州市·联考)已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，则(    ) A. B. C. D. 解：函数满足， 故函数的图象关于直线对称， 又函数的图象也关于直线对称， 故函数与图象的交点也关于直线对称， 当为偶数时，此时， 当为奇数时，必有一个交点在上，此时， 综上，， 故选B． 例4.(2025·江西省赣州市·联考) 已知函数是偶函数，则          ． 解：函数是偶函数；  ， 化简可得， 解得，故答案为． 【拓展提升】 练2-1.(2025·河南省·模拟题) 已知函数的定义域为，对于，都有，则(    ) A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 解：对于，令，则，可得， 解得，故 A正确； 对于，由，可得， 所以函数的图象关于点中心对称，故 B错误； 对于，由可得， 所以函数的图象关于直线对称，故 C正确； 对于，设， 又，由可得， 所以，即， 所以，所以， ，所以，故 D正确． 故选：． 练2-2.(2024·湖北省十堰市月考) 已知函数，若，则的取值范围为  (    ) A. B. C. D. 解： 则函数是偶函数， 由得， 即，得， 当，，恒成立， 即函数在上为增函数， 则不等式，等价于， 则或， 得或， 即的取值范围． 故选A． 考向三 抽象函数 【核心知识】 考点一：抽象函数的解题策略 1.赋值法：对变量赋予特殊值或特殊式，从而解决问题 2.模型法：根据题设所给抽象函数的性质，通过类比，得到抽象函数的模型函数，借助具体的函数解题； 3.数形结合：结合题设所给抽象函数的性质，画出符合题意的图象，减少推理计算量； 4.回归定义：探究抽象函数的的性质时，因没有解析式，就要回归到函数奇偶性、单调性、周期性的定义中，灵活等价转化. 【典例精讲】 例5.(2024·福建省泉州市模拟题) 已知函数的定义域为，值域为，且，函数的最小值为，则(    ) A. B. C. D. 解：方法一赋值法： 令  ，有  ，则  满足  ， 又因为  ，当且仅当时取等号， 函数的最小值为， 所以  ， 因为  ， 所以  ， 所以  ， 所以  ． 方法二特殊函数法： 令  ，其满足题目要求， 所以 ． 故选： 例6.(2024·浙江省杭州市月考)（多选）已知函数，，都有，若函数的图象关于直线对称，且，，当时，都有，则下列结论正确的是(    ) A. B. 是偶函数 C. 是周期为的周期函数 D. 解：的图象关于直线对称，故关于轴对称，是偶函数，B正确 中，令得，因为，所以， 解得，A正确 故，是周期为的周期函数，C正确 ，，当时，都有，故在上单调递增， 又是周期为的周期函数，且是偶函数，故，， 因为，所以，D错误． 【拓展提升】 练3-1.(2024·江苏省镇江市模拟题) 已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意、，且，恒成立，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 解：根据，可得的图象关于直线对称． 由图象经过点，可得函数的图象还经过点． 根据对任意，，且，恒成立， 可得函数在上单调递增， 故函数在上单调递减． 作出的图象，如图所示： 故由，可得 ①，或 ②． 解可得，解②可得， 故原不等式的解集为或． 故选：． 练3-2.(2025·江西省赣州市模拟题)设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有为常数，，则(    ) A. B. C. 为周期函数 D. 解：因为，都是定义在上的奇函数，所以，， 因为对任意有，令， 所以， 所以，又为单调函数， 所以，即， 因为， 所以， 对于，，故A错误； 对于，由，，得，故B正确； 对于，设，则由， 可得，所以， 所以，所以是周期为的函数，即为周期函数，故C正确； 对于，由，得，即， 所以为等差数列，， 且，即， 所以， 所以，故D错误． 故选：． 共10页/第2页 学科网（北京）股份有限公司 $