夯基专题3 函数的图象与函数的零点讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦函数图象与零点高考核心专题，涵盖基本初等函数图象性质、函数零点判定与应用、函数模型实际应用三大考向，按“基础概念-性质应用-综合拓展”逻辑分层。通过核心知识梳理构建体系，典例精讲提炼方法，拓展提升真题训练，帮助学生系统突破数形结合、分类讨论等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出核心素养导向，以数学眼光分析冬奥会制冰等现实情境，用数学思维破解零点问题（如利用反函数对称性求交点），设计“考点梳理-典例建模-分层训练”三阶教学。通过函数图象辨识、零点个数转化等策略，在有限时间内强化解题能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考水平提供高效路径。

【二轮复习—函数与导数】 夯基专题3 函数的图象与函数的零点 【核心知识】考向一 基本初等函数的图象与性质 考点一：指对幂函数 1.指数函数 (，且)与对数函数 (，且)互为反函数，其图象关于对称，它们的图象和性质分 两种情况； 2.幂函数 （为常数）的图象和性质，掌握五种情况. 考点二：对基本初等函数性质的考查 以二次函数、指数函数、对数函数、幂函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的形式呈现，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程(零点)、不等式的解法等，考查运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想. 考点三：对基本初等函数图象的考查 1.函数图象的辨识与图象的变换； 2.函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力. 【典例精讲】 例1.(2025·天津市市辖区·模拟题)函数的图象如下图所示，则的解析式可能为(    ) A. B. C. D. 解：由图知：函数图象关于轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为，即中函数为奇函数，排除； 当时、，即、中上函数值为正，排除； 故选： 例2.(2025·北京市·模拟题)已知，是函数的图象上的两个不同的点，则(    ) A. B. C. D. 解：如图所示， 设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图可知点在的左侧，所以， 所以． 故选D． 【拓展提升】 练1-1.(2025·上海市市辖区·期末考试)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是表示压强，单位是下列结论中正确的是(    ) A. 当，时，二氧化碳处于液态 B. 当，时，二氧化碳处于气态 C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 解：选项：，，由图易知处于固态 选项：，，由图易知处于液态 选项：，，由图易知处于固态 选项：，，由图易知处于超临界状态 练1-2.(2024·广东省金太阳联考)（多选） 已知函数，的零点分别为，，则(    ) A. B. C. D. 解：，由向右向上各平移一个单位得到图象， 函数的图象关于直线对称． 函数与的图象也关于直线对称， 设与图象的交点为，与图象的交点为， 则与也关于直线对称，则，． ，，故A不正确 ，，，故B正确： ， 当且仅当时等号成立． ，，等号不成立． ，故C正确 对，由图知， ，易知函数在上单调递减， 所以，，故D不正确． 故选：． 练1-3.(2025·湖南省怀化市·联考)已知，，则的值为(    ) A. B. C. D. 解：因为，， 则是和图像交点的横坐标， 是和图像交点的横坐标， 又和互为反函数，图像关于对称， 联立，解得 即和交于点， 又关于对称， 故． 故选C． 考向二 函数的零点 【核心知识】 考点一： 函数的零点与方程的解 1.函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 2.函数零点与方程实数解的关系： 方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有公共点． 3.函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 4.二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 考点二：函数零点个数的判断方法 1.直接法：令，方程的根即为函数零点． 2.零点存在定理：函数在上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象和性质(如单调性)确定函数零点个数． 3.图象法： ①函数的图象：函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； ②函数：函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数. 考点三： 已知函数零点(方程有根)个数求参数值(取值范围)的常用方法 1.分离参数法：分离参数即，转化成求函数的值域；或数形结合，通过与的图象交点个数，求参数的取值范围. 2.零点存在定理：判断函数单调性，在每个单调区间内结合零点存在定理，构建不等式求范围. 3.数形结合法：先对解析式变形可得，结合函数和的图象，构建不等式求范围. 【典例精讲】  例3.(2025·浙江省杭州市·模拟题)函数在区间上的所有零点之和为(    ) A. B. C. D. 解：， ， 的图象关于对称 当时， 当时，令可得， 当时，， 当时，， 在同一直角坐标系中画出，的图象， ，在区间上有且仅有个交点， 所有的零点之和为． 例4.(2025·湖南省邵阳市·模拟题)已知有个零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 解：令， 则， 其图象如图所示： 当时，，当时，一个对应个不同的， 当时，一个对应个不同的， 当时，一个对应个， 令， 因为有个零点， 又， 则方程在和各有一个零点， 由二次函数的性质可知， 只需要， 即． 故选C． 【拓展提升】 练2-1.(2025·广东省茂名市·模拟题)已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线对称的点在的图象上，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：因为函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线对称的点在的图象上， 关于对称的函数为， 所以的图象与的图象有且仅有四个不同的交点，作与的图象如下： 易知恒过点， 设直线与相切于点，， ， 故，则，， 设直线与相切于点，， ，故，， ， 则，故． 故选：． 练2-2.(2025·河南省·模拟题)已知函数若函数恰有个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：若函数恰有个零点， 则有四个根， 即与有四个交点， 当时，与图象如下： 两图象有个交点，不符合题意， 当时，与轴交于两点， 图象如图所示， 两图象有个交点，符合题意， 当时， 与轴交于两点， 在内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点， 只需与在还有两个交点，即可， 即在还有两个根， 即在还有两个根， 函数，当且仅当时，取等号， 所以，且， 所以， 综上所述，的取值范围为． 故选：． 练2-3.(2024·重庆市市辖区模拟) 已知函数，则函数的各个零点之和为          若方程恰有四个实根，则实数的取值范围为          ． 解：当时，，， 当时，，或， 所以所有零点之和为． 画出函数的图象如下： 令，则方程转化为方程， 当时，方程无解，不合题意； 当时，方程有唯一解，由可得两个实数解，不合题意； 当时，方程有两个解，，其中，， 由和可得四个实数解，符合题意； 当时，方程有三个解，，，由无解，有一个实数解，有两个实数解，可知共有三个实数解，不合题意； 当时，方程有四个解，，，，其中，，，，其中和均无解，一定有两个实数解， 故只需使有两个实数解，则，， 即需使． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：；． 【核心知识】考向三 函数的模型及应用 考点一：函数的模型 1.常见的函数模型：一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型等。 2.用函数解应用题的基本步骤： ⑴审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； ⑵建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； ⑶求模：求解数学模型，得出数学模型； ⑷还原：将数学结论还原为实际问题. 考点二：函数模型常见的应用角度 1.利用函数的图象刻画实际问题 2.已知函数模型解决实际问题 3.构造函数模型解决实际问题-应用性 【典例精讲】 例5.(2025·广东省深圳市·联考)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下不含所需的训练迭代轮数至少为    参考数据： A. B. C. D. 解：由于，所以， 依题意，则， 则， 由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为次． 故选： 例6.(2024·安徽省阜阳市月考) 牛顿冷却定律是温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律，如果物体的初始温度为，则经过分钟后的温度满足称为半衰期，是环境温度现有一人在室外的高温天气下工作一段时间后，进入到一个已开空调的环境，经过分钟，该人体的体表温度为，如果从开始到人体感到舒适的假设室内温度不变，大约还需经过的时间为参考数据： (    ) A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 解：由题意，，解得 从而，即， 即 故大约用时分钟 【拓展提升】 练3-1.(2025·辽宁省沈阳市·期末考试)(多选）若物体原来的温度为单位：，环境温度为单位：，物体的温度冷却到，单位：与需用时间单位：分钟满足，为正常数．现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况，则(    ) A. 当时，经过分钟，这杯水的温度大约为 B. 当时，这杯开水冷却到大约需要分钟 C. 若，则 D. 这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短 解：对于，由，得， 所以，整理，得，故A错误 对于，，故B正确 对于，由，得，即， 则，故C正确 设这杯水从冷却到所需时间为分钟， 则， 设这杯水从冷却到所需时间为分钟， 则， 因为， 所以，故D正确． 故选BCD． 练3-2.(2023·北京市·历年真题)某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力战斗单位数随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，为战斗时间；，分别为红、蓝两方时刻的兵力正实数，分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为给出下列四个结论： 若且，则； 若且，则； 若，则红方获得战斗演习胜利； 若，则红方获得战斗演习胜利． 其中所有正确结论的序号是          ． 解：对于，若且，则，即 所以， 由可得，即正确； 对于，当时根据中的结论可知，所以蓝方兵力先为， 即， 化简可得， 即， 两边同时取对数可得， 即， 所以战斗持续时长为，所以正确； 对于，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可， 设红方兵力为时所用时间为，蓝方兵力为时所用时间为， 即，可得， 同理可得， 即，解得， 又因为，，，都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利，所以可得错误，正确． 故答案为：． 共13页/第12页 学科网（北京）股份有限公司 $