夯基专题4 导数的几何意义讲义-2026届高三数学二轮复习

【二轮复习—函数与导数】 夯基专题4 导数的几何意义 【核心知识】考向一 求切线方程 考点一：导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率.相应地，切线方程为． 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 考点二：求曲线“在”与“过”某点的切线 1.求曲线“在”点处的切线方程 ①求斜率：求出曲线在点处切线的斜率 ②写方程：用点斜式 ③变形式：将点斜式变成一般式. 2.求曲线“过”处的切线方程或切线条数 ①设切点为； ②求出函数在点处的导数； ③在点处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程 可得 ，得到关于的方程； ④解方程，由方程根个数确定切线条数；由的值，求出切线方程. 【典例精讲】 例1.(2025·广东省·月考试卷)一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为          ． 解：因为，， 所以，， 则在点处的切线方程为，即 在点处的切线方程为：，即， 由已知得，得，解得， 所以， 所以． 故答案为． 例2.(2025·广东省湛江市·模拟题)函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则          ． 解：，由可知：，所以． 由于，故， 切线在点处的方程为：， 代入，得：， ， 因此，的方程为：． 过点作轴平行线，与的交点的坐标满足：， 所以， 化简得：， 因此，点的坐标为， 点的坐标为，故： ， 而， 因此，． 故答案为． 【拓展提升】 练1-1(2024·安徽省合肥市月考试卷) 已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在处的切线方程为          ． 解：由， 令，则，即， 又为奇函数，则， 故是以为周期的周期函数，则， 对，求导得， 故是以为周期的周期函数，则， 即切点坐标为，切线斜率， 故切线方程为，即． 故答案为：． 练1-2.(2025·北京市·模拟题)设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 解：， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积． 故选：． 练1-3.(2025·江苏省·月考试卷)已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为(    ) A. B. C. D. 解：作出函数的图象， 求导得： 由于函数在处的切线为， 而函数在处的切线为， 由于两分段函数在分界点处的切线相同， 所以可取公切线上的点，再作函数的另一条切线即可， 根据选项分析，只有在公切线上， 故选： 考向二 与切线有关的参数问题 【核心知识】 考点一：已知直线（为常数）与函数的图象相切 设切点为，则在切点处应有，解此方程组求参数的值或取值范围. 考点二：与的图象的公切线问题 公切线问题，通常涉及：求公切线、根据公切线，求参数范围、讨论公切线的条数.一般思路：设各自的切点分别为、，分别表示出切线方程，比较系数建立方程组，解此方程组求参数的值或取值范围. 解决此类问题要注意曲线上点的横坐标的取值范围，及利用条件“切点既在切线上又在曲线上”．　 【典例精讲】  例3.(2025·河南省·联考题)已知函数，曲线在不同的三点处的切线斜率均为，则实数的取值范围是           ． 解：因为函数图象在不同的三点处的切线斜率均为， 因此导函数有三个不同的根， 所以有三个不同的根， 转化为函数图象和函数图象有三个不同的公共点， 下面分析函数图象， 导函数， 令导函数，解得或， 当时，， 函数单调递增， 当时，， 函数单调递减， 当时，， 函数单调递增， ， 当时，，且， 当时，， 函数图象如图所示： 结合图象可知，的取值范围是． 故答案为：． 例4.(2025·黑龙江省哈尔滨市·月考试卷)已知函数，若不等式在上恒成立，则参数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：由，，得， 如图，作和在上的图象， 由题意，的图象在图象上方， 随值移动， 当图象在图象左侧，移动到与相切时， 设与相切，， 设切点为， 则 且由图象，所以，， 结合图象，， 当图象在图象右侧，若与相交于点，， 得，结合图象，， 综上，． 故选：． 【拓展提升】 练2-1.(2024·河北省衡水市模拟) 设曲线在点处的切线为，在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是          ． 解：由题可得 ，  ， 存在  ，使得  ，即  ，  ，  ， 令  ，则 ， 则 ，  ， 故  ， 答案为  ． 练2-2.(2025·山东省·月考试卷)若直线是曲线的切线，则的最小值是          ． 解：由题意得， 设切点为，， 则，， 所以切线方程为， 即， 所以，， 所以， 令，，则， ， 当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 练2-3.(2025·江苏省无锡市·模拟题)函数与和分别交于，两点，设在处的切线的倾斜角为，在处的切线的倾斜角为，若，则_______． 解：记在处切线的斜率为，由，则， 由在处的切线的斜率为 ，由，则， 由和关于对称，且关于对称， 则，两点关于对称，则，整理得， 即， 令，则， 由在上单调递增，则， 由可得，，即，整理得，解得负值舍去， 故， 所以． 故答案为． 共7页/第6页 学科网（北京）股份有限公司 $