夯基专题5 导数的应用讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数应用专题，涵盖函数单调性、极值、最值及三次函数四大核心考向，按“核心知识+典例精讲+拓展提升”架构梳理考点逻辑，通过考点分类解析、解题方法归纳、模拟真题演练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破导数应用难点。 资料采用分层教学策略，典例精讲结合2025年模拟题，如含参函数单调性讨论通过分类导函数零点位置培养数学思维，拓展提升设置基础与综合题组。注重数学语言规范表达，如极值求解步骤的严谨书写，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供精准教学资源。

【二轮复习—函数与导数】 夯基专题5 导数的应用 【核心知识】考向一 利用导数研究函数单调性 考点一：利用导数研究函数单调性 单调性是导数几种应用中最基本也是最重要的内容，因为求极值和最值都离不开单调性.利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用. 利用导数求函数单调区间的步骤： ⑴函数的定义域； ⑵求，解不等式或； ⑶下结论，写出函数的单调区间. 考点二：讨论含参函数f(x)的单调性 ⑴函数的定义域； ⑵求，讨论角度：①导函数有无零点讨论 (或零点有无意义)；②导函数的零点在不在定义域或区间内；③导函数有多个零点时，讨论零点的大小； ⑶利用的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在该子区间上的单调性. 考点三：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ⑴可导函数在区间上单调，转化为(或) 在区间上恒成立； ⑵可导函数在区间上存在单调区间，转化为(或)在该区间上存在解集，即转化为不等式能成立问题； ⑶已知函数在区间内不单调，转化为存在变号零点； ⑷若已知 在区间上的单调性，区间上含有参数时，可先求出的单调区间，转化为区间是其单调区间的子区间. 【典例精讲】 例1.(2025·福建省厦门市·模拟题)若函数是减函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：由题可知，在上， ， 因为且，所以，则， 当时，不存在， 当时，， 经检验不符合题意， 故． 故选：． 例2.(2025·广东省广州市·模拟题)已知函数． 若，求函数的极值点； 讨论的单调性． 解：当时，函数，， 求导得， 令，则，， 当变化时，及变化如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的极大值点为，极小值点为． 函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 令，则，， 当时，由，得或，由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．  【拓展提升】 练1-1.(2025·河南省·月考试卷)若函数在单调递增，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：函数的导数为：， 由题意可得恒成立，即， 即， 设，则， 当时，不等式显然成立 当时，，令 由在单调递增，可得时，取得最大值， 可得，即 当时，， 由在单调递增，可得时，取得最小值， 可得，即． 综上可得的范围是 另解：设，即， 由题意可得，且， 解得的范围是． 故答案选：． 练1-2.(2024·山西省朔州市模拟) 设函数为自然常数 当时，求的单调区间； 若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 解：当时，，定义域为， ，令，解得：， 令，解得：， 故此时的单调递增区间为，单调递减区间为． 在区间上有意义，故在上恒成立，可得， 依题意可得：在上恒成立， 设， ，易知在上单调递增，故， 故在上单调递减，最小值为， 故只需，设，其中， 由可得：在上为减函数， 又，故． 综上所述：的取值范围为． 考向二 利用导数求函数极值 【核心知识】 考点一：求函数的极值与极值点 求函数极值的步骤： ⑴求导数； ⑵求方程的所有实数根； ⑶列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 ③如果在的左右侧的符号不变，则不是极值点． 考点二：根据极值、极值点求参 已知函数极值点个数转化为导函数零点个数，转化为已知函数零点个数求参. 解含参数的极值问题要注意： ① 是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验； ②若函数在区间内有极值，那么在内不单调. 【典例精讲】 例3.(2025·四川省乐山市·模拟题)若函数无极值，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：的导数为， 函数不存在极值点， 在上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是 故选B． 例4. (2024·广东省广州市月考) 已知函数，． 讨论函数在定义域内的极值点的个数； 若函数在处取得极值，，恒成立，求实数的最大值． 解：的定义域为，， 当时，在 上恒成立， 函数在上单调递减， 在上没有极值点， 当时，由得，由得， 所以，在上递减，在上递增，即在处有极小值， 综上，当时，在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点； 函数在处取得极值， ，则，从而， 因此，即， 令，则， 由得，由得， 则在上递减，在上递增， ， 故实数的最大值是．  【拓展提升】 练2-1.(2025·安徽省蚌埠市·联考)已知函数，若不等式的解集为，则函数的极小值是(    ) A. B. C. D. 解：的可能图像如下图所示：  设， ， 令， 在上单调递增，在上单调递减；在单调递增， 有极小值 ． 故选C． 练2-2.(2024·湖南省娄底市月考) 已知函数． 当时，求的单调区间； 设，证明：当时，有两个极值点，，并求的取值范围． 解：当时，， ． 令，即，解得或舍去． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为． 由题意可得， ． 设， 因为，所以，且，， 所以在上有两个不等实根，， 且当，时，，； 当时，，， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 故，是的两个极值点． 由，． 得． 又因为，所以， 解得． 即的取值范围是． 考向三 利用导数求函数最值 【核心知识】 考点一：求函数在闭区间内的最大值和最小值 ⑴区间不含有参数：利用导数判断函数在区间上的单调性，若单调则在区间端点处取最值，若不单调则在极值点或区间端点处取最值； ⑵区间含有参数：分类讨论极值点与区间的位置关系，判断函数在区间上的单调性，从而得到函数的最值． 考点二：单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立： 1.； 2.； 3.； 4.. 考点三：双变量不等式与等式 1.不等关系 ①若，总有成立，故； ②若，有成立，故； ③若，有成立，故； ④若，有成立，故． 2.相等关系 记的值域为, 的值域为, ①若，有成立，则有； ②若，有成立，则有； ③若，有成立，故. 【典例精讲】 例5.(2025·四川省达州市·模拟题)已知函数，若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 解：， ， ， 令， 在上单调递增， ，即， ， 令，则， 当时，， 在上单调递减； 当时，， 在上单调递增； 当时，函数取得最小值， 即， ， 故选：． 例6.(2025·湖南省永州市·模拟题)在平面直角坐标系中，，，，其中，，，则当面积最小时，(    ) A. B. C. D. 解：由题意知，，， 所以， 因为， 所以，即，整理得， 又因为，，所以， 由，，知，， 由，知， 所以面积， 设，， 则， 令，则，解得负值已舍，即， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当取到最小值时，， 此时面积取得最小值， 由，知． 故选：． 【拓展提升】 练3-1.(2025·河南省许昌市·模拟题)已知为圆上的动点不在坐标轴上，过作轴，垂足为，将绕轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段的长度为(    ) A. B. C. D. 解：设，不妨设， 则过作轴，垂足为，将绕轴旋转一周，所得几何体为圆柱扣去上面一个圆锥所得的几何体，底面半径为，高为， 则所得几何体的体积为， 令，， 由，可得， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得最大值， 即时，取得最大值，此时， 所以线段的长度为． 故选C． 练3-2.(2025·四川省达州市·模拟题)已知函数 Ⅰ求曲线的斜率为的切线方程； Ⅱ当时，求证：； Ⅲ设，记在区间上的最大值为当最小时，求的值． 解：Ⅰ， 由得， 得， 又，， 切线方程为：和， 即和； Ⅱ证明：欲证， 只需证， 令，， 则， 可知在为正，在为负，在为正， 在递增，在递减，在递增， 又，，，， ， ； Ⅲ由Ⅱ可得， 在上，， 令，， 则问题转化为当时，的最大值的问题了， 当时，，此时 当时，， 时，， 综上，当取最小值时的值为．  【核心知识】考向四 三次函数 考点一：三次函数的基本性质 三次函数为： (且)，其基本性质有： ①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值． ③单调性和图象： () 图象 ④对称性：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；. 考点二：三次方程的实根个数 结合函数图象可得： 1.当时，则恰有一个实根； 2.当时，设的两根为，则 导函数为二次函数: ()， ① 若，则恰有一个实根； ②若，则有两个不相等的实根； ③若，则有三个不相等的实根. 【典例精讲】 例7.(2025·山东省·月考试卷)（多选）已知，，下列说法正确的是(    ) A. 存在使得是奇函数 B. 任意的图象是中心对称图形 C. 若为的两个极值点，则 D. 若在上单调，则 解：对于，当时，，定义域为， ， 所以为奇函数，故A正确； 对于，设函数图象的对称中心为，则有， 又因为， ， 所以，解得 所以图象的对称中心为，故B正确； 对于，因为， 又因为为的两个极值点，所以为方程不同的的两个根， 所以，，当且仅当时等号成立， 又，所以，故C错误； 对于，若在上单调，则有恒成立， 所以， 解得，故D正确． 故选：． 例8.(2025·湖北省黄冈市·模拟题)（多选）已知函数，其导函数为，则(    ) A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 解：对求导，可得， 设切点为，切线方程为， 若切线为，则，即， 对于方程，其判别式，方程无解， 所以直线不是曲线的切线，故A 错误； 由，令，即，解得或， 当或时，，单调递增当时，，单调递减， ，． 当时，当时，，所以，有三个零点，故B正确 ，则，所以，故 C正确； 由前面分析知在，递增，在递减， ，， 若在区间上有最大值，因为，所以  解得，故D错误． 【拓展提升】 练4-1.(2025·山东省济南市·月考试卷)已知函数，则的最小值为          ． 解： 设，因为，所以，则函数 对求导可得 令，即，解得或，  当时，；  当时，； 当时，；  当时，． 因为，所以的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 练4-2.(2024·福建省宁德市模拟)(多选) 已知函数，则下列说法正确的是(    ) A. 若函数的图象关于点中心对称，则 B. 当时，函数过原点的切线有且仅有两条 C. 函数在上单调递减的充要条件是 D. 若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或 解：选项：因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即 ， 整理得，所以，所以A正确 选项：设切点为，， 则切线斜率为， 则切线方程为， 原点代入切线方程可得 整理为，当时显然只有一个实根，所以B错误 选项：若函数在上单调递减，则在上恒成立， 所以，即且，所以C错误 选项：，由题意知实数，是方程的两个不等实根， 所以，且，， 由，得，所以，解得或，所以D正确． 故选：． 共15页/第12页 学科网（北京）股份有限公司 $