提高专题6 比较大小问题讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕比较大小问题核心考点，按指数式对数式背景、函数交汇、基本不等式三大模块系统整合，通过方法储备构建解题策略，结合2024-2025年多地真题典例精讲与拓展提升分层训练，形成“考点梳理-方法指导-真题实战”复习链条，助力学生突破思维难点。 资料创新采用构造函数、放缩法等策略，如例2用特殊值法判断大小关系，例4构造函数证明不等式，培养数学思维与模型意识。设置分层练习配合真题反馈，确保高效提升解题效率，为教师把控复习节奏、学生应考能力提升提供有力支持。

【二轮复习—函数与导数】 提高专题6 比较大小问题 【方法储备】探究一 指数式、对数式背景下的大小比较 思路一：根据指数、对数的结构判断 底数不同，指数相同，可考虑幂函数的单调性；底数相同，指数或对数不同，可考虑指数函数或对数函数的单调性；底数不同、指数或对数都不同，可借助中间数，或者利用对数运算、基本不等式、不等式的性质综合判断. 思路二：构造函数 ⑴通过对原式进行等价转换,使得要比较的两式或三式在形式上具有一致性,然后构造符合这种形式的函数,最后利用函数的单调性来解决；⑵要比较的两式在形式上不一致,若两式中具有相同的量,则不妨将这些量看成变量,构造相关函数,利用函数单调性比较大小. 【典例精讲】 例1.(2024·湖北省孝感市联考) 已知，，现有如下说法：①则正确的说法有          横线上填写正确命题的序号 解：依题意，，，故，故①错误； ，则，故②正确； ， 故，故③正确故填②③. 例2.(2025·福建省·历年真题)已知实数，，满足，则，，的大小关系不可能是(    ) A. B. C. D. 解：方法一直接比较法： 设，则，，． 通过比较各变量的对数形式： 比较和即当时，反之． 比较和即当时，反之． 比较和当时，反之． 区间分析：选项A成立选项C成立选项D成立无对应选项． 选项B需满足且，但两者矛盾，故不可能． 故选B． 方法二特殊值法： 【拓展提升】 练1-1.(2025·安徽省蚌埠市·模拟题)已知，，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 解：因为，， 所以，， 因为， 所以，所以， 则， 令， 则， 所以在上单调递减． 因为，且，， 所以， 对于项，， 故A项正确 对于项，， 得，故B项错误 对于项，因为， ， 所以，故C项正确 对于项，， 因为， 所以，故D项正确． 故选ACD． 练1-2.(2024·广东省深圳市·模拟题)若实数，，，且满足，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 解：由，，， 得，，， 令，则， 当时，， 当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数， 于是， 即， 又，，所以； ， 因为，所以，，， 因此，于是，又，，所以； 令，则， 所以在上是增函数，，， 即，，， 于是，又，， 所以； 综上． 故选：． 【方法储备】探究二 与函数交汇下的大小比较 思路一：单调性法 ⑴对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除外衣”比较大小； ⑵有解析式函数，可以通过函数性质或者导数等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小. 思路二：放缩法 ⑴对数：利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； ⑵指数和幂函数结合放缩； ⑶利用均值不等式的不等关系进行放缩； ⑷“数值逼近”：对于一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数，那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 ⑸利用切线不等式放缩： . 如，利用,则， ，即. 【典例精讲】 例3.(2025·安徽省马鞍山市·联考题)已知函数，设，则的大小关系是(    ) A. B. C. D. 解：由， 令，则， 由， 故为偶函数， 当时，在上递增， ， ， 因为， 且， 所以， 所以， 所以， 所以， 即． 故选：． 例4.(2025·广东省深圳市·月考试卷)已知，，均为正实数，为自然对数的底数，若，，则下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 解：已知，，均为正实数，，， 当，时，，满足成立， 对于，，故A错误 对于，，故B错误 对于，，故C错误， 对于，由已知，则，． 由则， 所以，即，得，，即． 下面证明，． 设，，所以在区间上单调递增， 所以，即． 所以，故D正确， 故选：． 【拓展提升】 练2-1.(2025·山东省淄博市·模拟题)定义在上的奇函数满足，且在上单调递增设，，，则(    ) A. B. C. D. 解：是上的奇函数，， ， ， 函数为周期为的周期函数， ，， ， 由在上单调递增， ，即． ． 故选：． 练2-2.(2024·山东省滨州市模拟题) 对于三个不等式：①；②；③；其中正确不等式的个数为(    ) A. B. C. D. 解：对于①：  ，故①正确； 对于②：  ，  ， 所以，故②正确； 对于③：  ． 设  ，则  ，  ， 易得当  时，  取得最大值  ， 所以    时等号成立， 则有  ，   ，故③正确． 综上可知，正确不等式的个数为个． 故选：． 【方法储备】探究三 基本不等式下的大小比较 基本不等式背景下比较大小,考查基本不等式的运用,单独命题考查利用基本不等式比较大小的试题较少，大部分的试题是与其他的策略方法综合考查. 【典例精讲】 例5.(2025·安徽省·月考试卷)已知，，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 解：设，， 则函数在上单调递减， ，， ，， ，， ， ，当且仅当，即，时取等号， ，． 故选：． 例6.(2025·江苏省南通市·月考试卷)已知，则(    ) A. B. C. D. 解：对于选项A，因为，所以， ，即，故选项A错误； 对于选项B，构造函数，则， 所以函数在区间 单调递增， ，，即， 又，所以，故选项B正确； 对于选项C，构造函数，则， 所以函数在区间 单调递增， 又，所以，即， 两边同乘，，得，故选项C正确； 对于选项D，不妨取，，符合， 故 ， 则， 即取，，符合，且，  则不成立，故选项D错． 故答案：  【拓展提升】 练3-1.(2024·江苏省苏州市模拟)（多选） 已知，且，则(    ) A. B. C. D. 解：，， 即，故A正确； ． ，故B错误； 当时，，， 当时， ， 由于，则等号不成立 综上可得：，故C正确 ， 由于，则等号不成立 ，故D正确； 故选ACD． 练3-2.(2025·江西省·模拟题)已知，，，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 解：对于， ， 故A正确； 对于， ，， ， ， 在上单调递增， ， ， ，故 B错误； 对于，由知：， ， ， ，， ， 当且仅当， 即时取等号， ， ， 即，故 C正确； 对于，，， 若， 则，即， ， ，故 D正确． 故选：． 共10页/第6页 学科网（北京）股份有限公司 $