精品解析：浙江省杭州市钱塘区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中，属于必然事件的是（    ） A. 经过有交通信号灯的路口，刚好遇到绿灯 B. 在黑板上任意画两条直线，它们恰好平行 C. 在黑板上任意画一个四边形，其内角和为 D. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全都正面朝上 2. 已知二次函数的图象开口向上，则a的值可能是（    ） A. B. C. 0 D. 3 3. 一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（    ） A. 摸出红球 B. 摸出黑球 C. 摸出白球 D. 摸出绿球 4. 已知的半径为5，下列说法正确的是（    ） A. 若，则点在内 B. 若，则点在上 C. 若点在内，则 D. 若点在外，则 5. 如图，点，，均在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 有最小值0，有最大值3 B. 有最小值﹣1，有最大值0 C. 有最小值﹣1，有最大值3 D. 有最小值﹣1，无最大值 7. 如图，在中，若，则下列判断错误的是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，弦与交于点E，连结，，设，，，则（    ） A. B. C. D. 9. 如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过点，，若，则下列判断正确的是（    ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在五张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是偶数的概率是____． 12. 若抛物线的图象如图所示，则方程的解是______． 13. 已知二次函数中的部分x，y的值如表格所示，根据表格信息可知m的值为______． x … 0 1 2 3 … y … m 4 5 4 1 … 14. 如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是______． 15. 将二次函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为，则的值为______． 16. 如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为______（结果保留） 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘． （1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为_______； （2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率． 18. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式． （2）判断点是否在该二次函数图象上． 19. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 （1）当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） （2）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ （3）若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 20. 如图，已知． （1）用无刻度直尺和圆规作的中点．（保留作图痕迹） （2）连接，圆圆认为，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． 21. 钱塘江边的文创店购进一批印有“钱塘”字样的水杯，成本价格为元/个．由销售经验可知，每周销售量（个）与销售单价（元）满足关系式． （1）当销售单价为元时，求销售杯子的总利润． （2）当销售单价为多少元时，销售杯子的总利润最大，并求出最大利润． 22. 如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 23. 已知二次函数，其图象经过点，，， （1）当时，求该二次函数的表达式． （2）当时，求的值． （3）若存在使得成立，求a的取值范围． 24. 如图1，在中，，以为直径作分别交于点D， （1）求证： （2）若，，求半径． （3）如图2，点F在上，，连接、．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中，属于必然事件的是（    ） A. 经过有交通信号灯的路口，刚好遇到绿灯 B. 在黑板上任意画两条直线，它们恰好平行 C. 在黑板上任意画一个四边形，其内角和为 D. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全都正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件和随机事件的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件。选项A、B、D均为随机事件，不一定发生；选项C中，四边形的内角和恒为，是必然事件，据此判定即可． 【详解】解：四边形的内角和总是（根据多边形内角和定理），则任意画一个四边形，其内角和一定为，故选项C是必然事件， 选项A、B、D均可能发生也可能不发生，不是必然事件， 故选：C． 2. 已知二次函数的图象开口向上，则a的值可能是（    ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 二次函数图象开口向上，则二次项系数；同时，由于是二次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：二次函数图象开口向上， 则， 因为该函数为二次函数， 所以， 由于、 因此的值可能是3， 故选：D． 3. 一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（    ） A. 摸出红球 B. 摸出黑球 C. 摸出白球 D. 摸出绿球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的定义，熟练掌握概率的定义是解题的关键． 可能性大小取决于球的数量，数量越多，可能性越大． 【详解】解：总球数为个，红球4个，黑球3个，白球2个，绿球1个， 则红球数量最多，摸出红球的可能性最大， 故选：A． 4. 已知的半径为5，下列说法正确的是（    ） A. 若，则点在内 B. 若，则点在上 C. 若点在内，则 D. 若点在外，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系：若点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；若点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；由此逐项分析即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为5， ∴当，则点在外，故A选项错误； 当，则点在上，故B选项正确； 若点在内，则，故C选项错误； 若点在外，则，故D选项错误； 故选：B． 5. 如图，点，，均在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6. 已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 有最小值0，有最大值3 B. 有最小值﹣1，有最大值0 C. 有最小值﹣1，有最大值3 D. 有最小值﹣1，无最大值 【答案】C 【解析】 【详解】根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值． 解答：解：根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值3． 故选C． 7. 如图，在中，若，则下列判断错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 8. 如图，是的直径，弦与交于点E，连结，，设，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连结，由是的直径，得，则，而，且，，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：连结， 是的直径， ， ， ∴， ，且，， ， ， 故选：A 9. 如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图：旋转可知， ， 则， 所以， 所以阴影部分的面积可转化为扇形的面积． 因为，， 所以扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：D． 10. 已知二次函数的图象经过点，，若，则下列判断正确的是（    ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 由点，代入二次函数，根据推导出，再分析a的符号对的影响． 【详解】解：二次函数图象经过点，， 则，， 由于，得 整理得： 令 则， 当时， 则 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在五张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是偶数的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是掌握简单概率计算的公式． 总共有5张卡片，其中偶数为2和4，共2个，根据概率公式计算即可． 【详解】解：数字1,2,3,4,5中，偶数是2和4，共2个； 总卡片数为5， 因此抽到的数字是偶数的概率为， 故答案为：． 12. 若抛物线的图象如图所示，则方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程，如果二次函数的图象与 轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程的实根． 【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为，， 即或时，， 方程的解是，． 故答案为：，． 13. 已知二次函数中的部分x，y的值如表格所示，根据表格信息可知m的值为______． x … 0 1 2 3 … y … m 4 5 4 1 … 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性是解题的关键．由表格数据看，和时的函数值相同，由此函数的对称轴为直线，根据函数的对称性可知的值． 【详解】解：由表格数据得：和时的函数值相同， 函数的对称轴为：直线， ∴时和时函数值相等， ， 故答案为：1． 14. 如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据正多边形的每个内角都相等，每条边都相等求出每个内角的度数，再根据等边对等角分别求出、的度数，即可得解,熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴，， ∴，， ∴， 即该正五角星的每个顶角的度数是， 故答案为：． 15. 将二次函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，先向右平移4个单位，将替换为；再向上平移2个单位，整个函数加2，得到新函数后展开为标准形式，确定系数b和c，再计算即可． 【详解】解：将的图象向右平移4个单位，得，再向上平移2个单位，得，展开得， 则， 故答案为：10． 16. 如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的性质以及弧长公式是解题的关键． 如图：连接，根据圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理可得的的度数，再运用弧长的公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ，四边形内接于， ∴ ， 的半径为2， 弧的长为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘． （1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为_______； （2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查几何概率，利用列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 列表： 第二次 第一次 红 白 蓝 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） 白 （白，红） （白，白） （白，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） 共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种， ． 18. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式． （2）判断点是否在该二次函数图象上． 【答案】（1） （2）不在 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）把两个已知点的坐标分别代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【小问1详解】 解：把和分别代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点不在该二次函数图象上． 19. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 （1）当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） （2）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ （3）若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1） （2）白球为42个，黑球为18个 （3）30个 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． （1）观察表格中的数据，随着摸球次数的增加，摸到白球频率逐渐趋近于某一个值，据此分析可得到答案； （2）白球个数=球的总数得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数； （3）设再放入x白球，根据摸到白球的概率为，列方程即可． 【小问1详解】 解：由表格可知：当n的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 所以估计摸到白球的概率为； 【小问2详解】 解：盒子里白球的数量为（个， 所以黑球的数量为（个； 【小问3详解】 解：设再放入x个白球， 则有， 解得， 经检验，是方程的解， 答：需要往盒子里再放入30个白球． 20. 如图，已知． （1）用无刻度直尺和圆规作的中点．（保留作图痕迹） （2）连接，圆圆认为，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） 如图，由平分弦的直线过圆心且平分弦所对的弧可知，点P即为所求； （2） 圆圆的说法错误． 理由：如图，连接， 点P在线段的垂直平分线上， ， ， ， 故圆圆的说法错误． 【解析】 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求； 利用三角形的三边关系判断即可． 本题考查作图，复杂作图，垂径定理，三角形三边关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 钱塘江边的文创店购进一批印有“钱塘”字样的水杯，成本价格为元/个．由销售经验可知，每周销售量（个）与销售单价（元）满足关系式． （1）当销售单价为元时，求销售杯子的总利润． （2）当销售单价为多少元时，销售杯子的总利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）当销售单价为元时，总利润为元 （2）当销售单价为元时，总利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据题意，由总利润单个利润销售量，即可得解； （2）由题意，设总利润为元，可得，结合二次函数的性质即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意得，单个利润销售单价成本价（元）， 又当时，销售量（个）， 此时总利润单个利润销售量（元）， 当销售单价为元时，总利润为元． 【小问2详解】 解：由题意，设总利润为元， ， 即． ，且， 当时，取最大值，最大值为． 答：当销售单价为元时，总利润最大，最大利润为元． 22. 如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的直径，弦于点E，得，由垂直平分，得，则，所以； （2）连接，由，，求得，则，所以，则，求得． 【小问1详解】 解：连接， 是的直径，弦于点E， ， 垂直平分， ， ∴， ∴， ∴的度数是； 【小问2详解】 解：连接， ，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 的长是． 23. 已知二次函数，其图象经过点，，， （1）当时，求该二次函数的表达式． （2）当时，求的值． （3）若存在使得成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，解不等式等： （1）把点代入二次函数表达式求解即可； （2）根据题意、两点关于二次函数对称轴对称，通过两点到二次函数对称轴的距离相等，利用对称性即可求出的值； （3）先求出关于的表达式，然后解不等式求出的取值范围． 【小问1详解】 根据题意二次函数图象经过点，可得 ， 解得 ． 故二次函数表达为． 【小问2详解】 根据题意当和时，y值相等，即． 二次函数的对称轴为， ． 解得 或． 【小问3详解】 ，，， 有解，其左侧的最小值必须小于0， 当时左侧取最小值， ． 解得：． 24. 如图1，在中，，以为直径作分别交于点D， （1）求证： （2）若，，求半径． （3）如图2，点F在上，，连接、．求证：． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ． （2）5 （3） 证明：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 【解析】 【分析】（1）如图：连接，利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可证明结论； （2）如图：连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，设半径为r，则，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）如图，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理的推论得到，致力于平行线的判定与性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接， 由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设半径为r，则， ， ， ，解得：， 半径为5． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，连接直径所对的圆周角是直角成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $