6.3.3余角和补角 讲义-2025-2026学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“余角和补角”核心知识点，系统梳理余角（和为90°）、补角（和为180°）的概念，深入剖析“同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等”性质，构建从概念理解到性质应用的学习支架，为后续几何证明学习夯实基础。 资料融入知识思维导图助力思维可视化，结合直角尺夹角、光的反射等生活实例培养数学眼光，通过基础题型到拓展培优的分层设计发展逻辑推理与几何运算能力，课堂检测与变式训练强化数学语言表达，课中辅助教师靶向教学，课后帮助学生查漏补缺，有效对接中考要求。

第六章 几何图形初步 第六节 余角和补角 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1余角、补角的概念 2 知识点2 余角和补角的性质 2 题型精讲1求一个角的余角 5 题型精讲2求一个角的补角 6 题型精讲3与余角、补角有关的计算 7 题型精讲4同（等）角的余（补）角相等的应用 7 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解余角（和为 90°）、补角（和为 180°）的定义，掌握 “同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等” 的性质，能运用定义与性质求角的度数。 2. 素养能力：通过推导余补角性质、解决相关计算问题，发展逻辑推理与几何运算能力，对接中考对余补角性质应用的考查要求。 3. 情感应用：结合生活实例（如直角尺夹角、平角分割）理解余补角，感受几何知识的实用性，为后续几何证明学习夯实基础。 【新知学习】 【知识点1】余角、补角的概念 1. 余角概念余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2. 补角概念补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补. 边学边练已知，则它的余角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 的余角为． 故选：A． 【知识点2】 余角和补角的性质 1. 余角和补角的性质： 同角的余角 相等 。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则 ∠1＝∠3 。 同角的补角 相等 。即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则 ∠1＝∠3 。 等角的余角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则 ∠3＝∠4 。 等角的补角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则 ∠3＝∠4 。 一个角的补角比这个角的余角大 90° 。 边学边练若，则的补角的度数为 ． 【答案】 根据补角的定义，的补角等于减去的度数． 【详解】解：的补角， 故答案为：． 题型精讲 题型精讲1求一个角的余角 【例题1】已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义，两个角互为余角时，它们的和等于即可求解． 【详解】解：， 的余角； 故选：B． 【变式训练1】若，则的余角是 ，补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角的定义，解题的关键是掌握此知识点；根据余角和补角的定义，余角为减去已知角，补角为减去已知角，计算时需注意度分单位的换算，． 【详解】已知 余角计算： 补角计算： 故答案为和． 【变式训练2】如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的和差运算，互余关系及互余的性质；由及，得，再由互余关系即可求解． 【详解】解：由题意知：， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵，， ∴． 故选：B． 【变式训练3】如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 题型精讲2求一个角的补角 【例题1】如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 【答案】/138度 【分析】本题考查了余角及补角，熟练掌握余角及补角的概念是解题关键． 根据余角的定义，两个角的和为，可求出锐角α的度数为；再根据补角的定义，两个角的和为180°，即可求出α的补角． 【详解】解：∵ 的余角是， ∴ ， ∴ 的补角为； 故答案为． 【变式训练1】若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，熟练掌握补角的定义，是解题的关键．根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角的度数，即可求出补角． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故选：A． 【变式训练2】已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的定义，如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角． 根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角即可求解． 【详解】解：的补角． 故选：B． 【变式训练3】已知四个点A，B，C，D和射线，根据下列要求画图． (1)画线段． (2)画射线． (3)在的内部画射线，使． (4)画的补角．（画出一种情况即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段、角、补角的定义． （1）连接即可； （2）连接并延长即可； （3）在的内部画射线，并靠近即可； （4）延长即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）如图，射线即为所求． （3）如图，射线即为所求． （4）如图，即为所求（答案不唯一）． 题型精讲3与余角、补角有关的计算 【例题1】将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角的定义，三角板中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点求解即可． 【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意； B、由图可得，与互补，该选项不合题意； C、由图可得，该选项不合题意； D、由图可得，与互余，该选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1】根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用，解题关键是掌握余角和补角的定义． （1）设这个角为x，由题意，列出方程，即可求解； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）设这个角为x，由题意得， ， 解得， 即这个角是， 故答案为：； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意列方程，得： ， 解得， 则它的余角为，补角为． 故答案为：；． 【变式训练2】如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线，角的运算；先求出，再根据角平分线的性质得到，再结合计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 【变式训练3】如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角． 由和互补，得，由的余角为，通过代数变换，判断各式子是否等于． 【详解】解：∵和互补， ∴． 的余角为， ①：，即，故错误； ②：，故正确； ③：，故错误； ④：，故正确． ∴②和④正确，共2个． 故选：B． 题型精讲4同（等）角的余（补）角相等的应用 【例题1】如图，一束光线射到平面镜上，反射光线是．因为，所以与相等的角是 ，理由是 ． 【答案】 等角的补角相等 【分析】本题考查了平面镜反射的规律，熟练掌握是解决本题的关键． 根据等角的补角相等可以解决本题． 【详解】解：∵ 又∵ ∴（等角的补角相等）． 故答案为：；等角的补角相等． 【变式训练1】如图所示的是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键．先根据光的反射定律和已知条件可得：，从而求出，再根据余角的性质可得即可解答． 【详解】解：根据光的反射定律可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 【变式训练2】如图，方格中有一个． (1)画出的一个余角． (2)画出的两个补角，． (3)与相等吗？说明你的理由． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)图见解析（答案不唯一） (3)，理由见解析 【分析】本题是一道关于余角和补角的题目，熟记概念并准确识图是解题的关键； （1）根据余角定义结合网格线完成作图即可； （2）根据补角定义结合网格线完成作图即可； （3）根据即可得出结论． 【详解】（1）解：如下图即为所求作（答案不唯一）； （2）解：如下图、即为所求作（答案不唯一）； （3）解：，理由如下： ， ． 【变式训练3】如图，已知A、O、E三点在同一条直线上，，且和互为余角． (1)和∠3互余吗？ (2)和有什么关系？为什么？ (3)的补角是哪个角？为什么？ 【答案】(1)和互余 (2)和互余，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和为，则这两个角互为余角；如果两个角的和为，则这两个角互为补角． （1）由和互为余角可知，根据点，，三点在同一条直线上可知，于是可得，根据余角的定义即可得出结论； （2）根据，结合，由等角的余角相等可得结论； （3）由（2）可知，由于的补角是，利用等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又，，三点在同一条直线上， ， ， 答：和互余； （2）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又， ， ∴和互余； （3）解：的补角是， ∵，， ∴， 又∵， ， ∴的补角是． 【拓展培优】 【典例1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)；猜想，理由见解析 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明； （3）根据，，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即可说明． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴也是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角的有关计算，涉及了角平分线、余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，理解题意，找到角的和差关系进行求解； （1）根据角的和差关系，即可求解； （2）根据角的和差关系以及角平分线的定义，求解即可； （3）分两种情况，当在的上方时和当在的下方时，利用余角以及角的和差关系，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：①当在的上方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， ②当在的下方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， 综上所述，的度数为：或． 【变式训练3】（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 【答案】(1)和 (2) (3)或或或． 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． （1）根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． （2）设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． （3）利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】（1）解：∵， 即， ∴与互余； ∵直角三角形中， 则， 又∵， ∴与互余； （2）解：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； （3）解：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或或或． 【典例2】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1)75 (2) (3)①60；②或 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角平分线定义，互为余角的概念，角的和差计算，以及新定义的“分余线”的应用，熟练掌握相关知识，对新定义的理解和正确应用是解题的关键． （1）利用角平分线的定义与角的和差进行计算； （2）设，可得则，，，利用角平分线的定义和列方程求解； （3）①根据新定义，结合角平分线的定义求解；②设，根据角平分线的定义和 为的“分余线”，列方程求解． 【详解】（1）是的平分线，， ， 是的平分线， ， ． （2）如图1， 设，则， 若，则，，， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ，解得， ． （3）①平分， ， 为的“分余线”， 或， 又， ， 解得． ②设，则， 在的内部作射线，使， ， 为的平分线， ， ， 当为的“分余线”时，或， 或， 解得或， 或． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东广州·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系； (3)直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)、或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算及一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键． （1）根据平角的定义，利用角的和差关系计算即可得答案； （2）根据，，利用等量代换列式即可得答案； （3）分当顺时针旋转时，当逆时针旋转，在上方时，当逆时针旋转，在下方时三种情况，分别用表示出和，根据列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵若直角三角板的一边放在射线上，，， ∴． 故答案为： （2）解：如图所示，在内部， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当顺时针旋转时， ∵的速度为3度/秒，的速度为1度/秒， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 如图，当逆时针旋转，在上方时， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 如图，当逆时针旋转，在下方时， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述：、或. 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏南京·月考）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 ； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部，试探究与之间满足的数量关系； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕 点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平 分，当射线，重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在，第二次相遇前，当时直接写出旋转时间为 秒． 【答案】(1) (2)当在外部时， 当在内部时， (3)秒或秒或60秒或70秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）先根据平分得到，然后求出 即可； （2）当在外部时，先根据题意得出，，然后作差即可；当在内部时，先根据题意得出，，然后求和即可； （3）先求出旋转前、的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要的旋转时间为，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴三角板旋转的角：， 故答案为：； （2）解：当在外部时，， ∵，， ∴，， ∴； 当在内部时，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴旋转前与的夹角为， ∴与第一次相遇的时间为（秒）， 此时旋转的角度为， ∴此时与的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要的旋转时间为，根据题意得： ①， 解得：， 故（秒）； ②， 解得：， 故（秒）； ③， 解得：（秒）； ④， 解得：（秒）； 综上，在与第二次相遇前，旋转时间为秒或秒或60秒或70秒， 故答案为：秒或秒或60秒或70秒． 【典例3】（24-25七年级下·山东济南·期中）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【答案】（1）②③，④；（2）①，② 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ 【变式训练1】（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 【答案】（1）②③；④；（2）①；②；（3）或 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； （3）分情况讨论：当在内部时，当在外部，且、在上方时，当在外部，且在上方，在下方时，当在外部，且在下方，在下方时，当在外部，且在下方，在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ； （3）当在内部时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且、在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ∴ ， 即此时； 当在外部，且在上方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 综上分析可知：或． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若，则它的余角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的定义，计算出的余角，再与选项进行对比得出答案．本题主要考查了余角的定义，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的余角为． ∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了互补的定义，解题的关键是掌握互补的定义． 利用互补的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与互补， ∴， 故选：D． 3．（24-25·甘肃武威·期末）若的余角是，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，根据互为余角的两个角的和为求解即可． 【详解】解：因为的余角是， 所以， 故选：B． 4．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及余角和补角的概念；余角是指两个角的和为，补角是指两个角的和为，先根据与互补求出，再根据与互余求出． 【详解】解：∵与互补， ∴，即， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念及计算．根据余角（和为）和补角（和为）的定义，直接计算或推导即可判断各结论的正确性． 【详解】①若∵，则的余角为，该选项不正确； ②若，则的补角为，正确； ③若与互余， ∴； ∵与互补， ∴； ∴，代入得：， ∴，正确． 故选：B． 6．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列四种说法中，正确的是（   ） A．连结两点的线段叫作两点间的距离 B．若，则点B是线段的中点 C．若，则是的平分线 D．若是锐角，则的补角一定比它的余角大90度 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，两点间的距离，角平分线，线段的中点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两点间的距离的定义判断选项A；根据线段的中点的定义判断选项B；根据角平分线的定义判断选项C；根据余角和补角的定义判断选项D． 【详解】解：A、连结两点的线段的长度叫作两点间的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B、若，当点B不在时，点B不是线段的中点，原说法错误，故此选项不符合题意； C、若，当在外部时，不是的平分线，原说法错误，故此选项不符合题意； D、若是锐角，则的补角是，余角是，所以，即的补角一定比它的余角大，原说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，掌握相关知识是是解题的关键．根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 【详解】解：①， ， ，故正确； ②由题意可得：， ， ，即， ， ，即射线经过刻度线160，故错误； ③如图： ，， ， 和互为余角， 射线经过刻度线90， ， 和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故正确； 正确的有①③， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，则的余角等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角的知识，掌握余角的和等于是关键．根据余角的定义容易求出的余角． 【详解】解：的余角； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若，则的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的补角，角度的运算．根据互补的两角之和为求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故答案为： 11．（2025·江苏南通·模拟预测）若，则的补角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角，度分秒的计算，理解补角的定义，掌握度分秒的计算方法是正确解答的关键． 根据补角的定义进行计算即可． 【详解】解：，则的补角等于， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是余角，补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行角的等量代换逐个进行判断，即可得解． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， 故结论正确； 平分，平分， ，， ， 故结论正确； ，， ， 故结论正确； ， ， ， ， ， ，即， 故结论错误． 故正确的是． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）补全解题过程 (1)已知：如图1，点C是线段的中点，，，求的长． 解：因为，，所以． 因为点C是线段的中点， 所以①_____②______． 所以③_____④____． (2)如图2，两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数． 解：因为， ⑤_____， 所以⑥_____， 因为，， 所以． 在上面的推导过程中，得到⑥的理由依据是：⑦_____． 【答案】(1)①；②10；③；④12 (2)⑤；⑥；⑦同角的余角相等 【分析】本题考查的是线段中点的定义、余角的性质，熟记图形的基本性质是解题的关键． （1）根据线段中点的定义，线段的和差关系即可解答； （2）根据同角的余角相等，角的和差关系即可解答． 【详解】（1）解：因为，，所以． 因为点C是线段的中点， 所以． 所以． 故答案为：①；②10；③；④12． （2）解：因为， ， 所以， 因为，， 所以． 在上面的推导过程中，得到⑥的理由依据是：同角的余角相等． 故答案为：⑤；⑥；⑦同角的余角相等． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)小红遇到这样一道题目：“若，试说明平分．”请你将它补充完整： ∵平分， ∴______（角平分线的定义）， ∵， ∴______（垂直的定义）， ∴______，____________， ∴（_______）， ∴平分（角平分线的定义）． 【答案】(1)； (2)同角的余角相等（或等量代换）． 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义及判定，互余、互补的概念及计算，理解图示，掌握角度的和差即，互余、互补的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，对顶角相等即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由垂直的定义，平角为，得到，，再根据同角的余角相等得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴，， ∴（同角的余角相等（或等量代换））， ∴平分（角平分线的定义）． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平分；理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； ()由角平分线的定义，得到的度数； ()根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； ()由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分． ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵平分； 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴平分． 16．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，平分，点D在射线的反向延长线上，． (1)若，求的度数； (2)与有什么数量关系，为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，余角的性质，角的和差运算． （1）先求解，结合，可得． （2）先证明，可得，结合角平分线的性质与余角的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 由题意可知，， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 第六节 余角和补角 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1余角、补角的概念 2 知识点2 余角和补角的性质 2 题型精讲1求一个角的余角 5 题型精讲2求一个角的补角 6 题型精讲3与余角、补角有关的计算 7 题型精讲4同（等）角的余（补）角相等的应用 7 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：理解余角（和为 90°）、补角（和为 180°）的定义，掌握 “同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等” 的性质，能运用定义与性质求角的度数。 2. 素养能力：通过推导余补角性质、解决相关计算问题，发展逻辑推理与几何运算能力，对接中考对余补角性质应用的考查要求。 3. 情感应用：结合生活实例（如直角尺夹角、平角分割）理解余补角，感受几何知识的实用性，为后续几何证明学习夯实基础。 【新知学习】 【知识点1】余角、补角的概念 1. 余角概念余角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为 ，也称 . 2. 补角概念补角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为 ，也称 . 边学边练已知，则它的余角为（ ） A． B． C． D． 【知识点2】 余角和补角的性质 1. 余角和补角的性质： 同角的余角 。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则 。 同角的补角 。即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则 。 等角的余角 。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则 。 等角的补角 。即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则 。 一个角的补角比这个角的余角大 。 边学边练若，则的补角的度数为 ． 题型精讲 题型精讲1求一个角的余角 【例题1】已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】若，则的余角是 ，补角是 ． 【变式训练2】如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    题型精讲2求一个角的补角 【例题1】如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 【变式训练1】若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 【变式训练2】已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知四个点A，B，C，D和射线，根据下列要求画图． (1)画线段． (2)画射线． (3)在的内部画射线，使． (4)画的补角．（画出一种情况即可） 题型精讲3与余角、补角有关的计算 【例题1】将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【变式训练1】根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【变式训练2】如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型精讲4同（等）角的余（补）角相等的应用 【例题1】如图，一束光线射到平面镜上，反射光线是．因为，所以与相等的角是 ，理由是 ． 【变式训练1】如图所示的是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，方格中有一个． (1)画出的一个余角． (2)画出的两个补角，． (3)与相等吗？说明你的理由． 【变式训练3】如图，已知A、O、E三点在同一条直线上，，且和互为余角． (1)和∠3互余吗？ (2)和有什么关系？为什么？ (3)的补角是哪个角？为什么？ 【拓展培优】 【典例1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【变式训练2】（24-25七年级上·吉林·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 【变式训练3】（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 【典例2】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东广州·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系； (3)直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏南京·月考）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 ； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部，试探究与之间满足的数量关系； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕 点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平 分，当射线，重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在，第二次相遇前，当时直接写出旋转时间为 秒． 【典例3】（24-25七年级下·山东济南·期中）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）若，则它的余角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25·甘肃武威·期末）若的余角是，则的大小是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列四种说法中，正确的是（   ） A．连结两点的线段叫作两点间的距离 B．若，则点B是线段的中点 C．若，则是的平分线 D．若是锐角，则的补角一定比它的余角大90度 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 9．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，则的余角等于 ． 10．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若，则的补角的度数为 ． 11．（2025·江苏南通·模拟预测）若，则的补角等于 ． 12．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）补全解题过程 (1)已知：如图1，点C是线段的中点，，，求的长． 解：因为，，所以． 因为点C是线段的中点， 所以①_____②______． 所以③_____④____． (2)如图2，两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数． 解：因为， ⑤_____， 所以⑥_____， 因为，， 所以． 在上面的推导过程中，得到⑥的理由依据是：⑦_____． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)小红遇到这样一道题目：“若，试说明平分．”请你将它补充完整： ∵平分， ∴______（角平分线的定义）， ∵， ∴______（垂直的定义）， ∴______，____________， ∴（_______）， ∴平分（角平分线的定义）． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 16．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，平分，点D在射线的反向延长线上，． (1)若，求的度数； (2)与有什么数量关系，为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $