6.2.2线段的比较与运算讲义-2025-2026学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦线段的比较与运算核心知识点，承接直线、射线的概念，为后续角的比较与运算奠基。涵盖直线与线段基本事实、叠合及度量比较法、和差运算、中点与n等分点等，构建几何直观与运算能力的学习支架。 资料通过动手操作（如叠合法、尺规作图）发展几何直观，中点计算与动点问题培养推理意识，生活场景（测量距离、最短路径）体现模型意识。含知识思维导图助梳理，课堂检测与拓展培优分层设计，课中提升教学效率，课后便于学生查漏补缺。

第六章 几何图形初步 第四节 线段的比较与运算 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1直线与线段的基本事实 2 知识点2 线段的比较 2 知识点3 线段的和与差 3 知识点4 线段的中点 4 题型精讲1作线段（尺规作图） 5 题型精讲2线段的和与差 6 题型精讲3线段中点的有关计算 7 题型精讲4线段n等分点的有关计算 7 题型精讲5线段之间的数量关系 8 题型精讲6与线段有关的动点问题 9 题型精讲7两点之间线段最短 11 题型精讲8两点间的距离 12 题型精讲9最短路径问题 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：掌握线段比较的两种方法（叠合法、度量法），能规范进行线段和差运算，理解线段中点定义并利用其求线段长度，契合新教材运算逻辑。 2. 素养能力：通过动手操作比较线段、推导运算关系，发展几何直观与逻辑推理能力，对接中考对线段计算、中点应用的基础考查要求。 3. 情感应用：结合生活场景（如测量距离、分割线段）运用知识，感受线段运算的实用性，为后续角的比较与运算、几何证明奠基。 【新知学习】 【知识点1】 直线与线段的基本事实 1. 直线的基本事实： 经过两点 有且只有 1条直线。简单说成 两点确定一条直线 。经过一点有 无数 条直线。 2. 线段的基本事实 连接两点间的所有连线中， 线段 是最短的。简单说成两点之间，线段 最短 。 3. 两点之间的距离： 连接两点的线段的 长度 叫做这两点间的距离。 边学边练已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【答案】图见解析 【详解】解：如图，线段即为所求． ． 【知识点2】线段的比较 1. 叠合法： 操作方法： 把两条线段AB和CD放在同一条直线上，使它们的一个端点A和C重合，另一个端点B和D落在重合端点的同侧。 比较结果： · 如果点B与点D重合，则AB = CD。 · 如果点B落在点C和点D之间，则AB < CD。 · 如果点D落在点A和点B之间，则AB > CD。 几何语言描述： · 若点B与点D重合，则 AB = CD。 · 若点B在CD上（且不与D重合），则 AB < CD。 · 若点D在AB上（且不与B重合），则 AB > CD。 2. 度量法： · 操作方法： 用刻度尺分别量出两条线段的长度，再根据长度的大小来比较线段的长短。 · 步骤： ① 用刻度尺量出线段AB的长度，记为AB = a cm； ② 用刻度尺量出线段CD的长度，记为CD = b cm； ③ 比较a与b的大小：若a > b，则AB > CD；若a = b，则AB = CD；若a < b，则AB < CD。 · 优点： 可以得到具体的数量关系。 边学边练如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵线段，是中点， ∴， ∵点在上，且， ∴， ∴． 故选：C． 【知识点3】 线段的和与差 1. 线段的和与差： 名称 定义 图示 线段的和 在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b 线段的差 在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作 BC=a－b 边学边练下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 【答案】D 【详解】解：A、整条线段长度为：，则错误，故本选项不符合题意； B、整条线段的长为：，则错误，故本选项不符合题意； C、这个图形的面积为：，则错误，故本选项不符合题意； D、这个长方形周长为：，则正确，故本选项符合题意， 故选：D． 【知识点4】线段的中点 1. 定义： 点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，那么点M叫做线段AB的中点。 几何语言描述： · ∵ 点M是线段AB的中点， · ∴ AM = MB = 1/2 AB 或 AB = 2AM = 2MB。 （反之，如果AM = MB = 1/2 AB 或 AB = 2AM = 2MB，那么点M是线段AB的中点。） 2. 图形表示： A——M——B (AM = MB) 3. 中点的意义： 中点是线段上的一个特殊点，它将线段分成两条长度相等的线段，体现了“平分”的思想。 边学边练下列说法中，正确的是（    ） A．射线a比直线b短 B．若点C在线段上，且，则点C为线段的中点 C．已知C、D为线段上的两点，若，则 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【详解】解：∵射线和直线均无限长，无法比较长度，∴A错误； ∵点C在线段上时，恒成立，但C不一定为中点（中点需），∴B错误； ∵C、D在线段上，， ∴， 又∵， ∴，∴C正确； ∵射线端点为B向A延伸，射线端点为A向B延伸，方向不同，∴D错误； 故选C． 题型精讲 题型精讲1作线段（尺规作图） 【例题1】如图，已知线段a和线段，延长线段到C，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图作线段． 延长，以为端点在延长线上取即可． 【详解】解：如图所示，线段即为所求． 【变式训练1】如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，线段的尺规作图，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）以点D为圆心，的长为半径画弧交延长线于点E，则点E即为所求； （4）根据两点之间线段最短可知线段的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图所示，直线、线段即为所求； （2）解：如图所示，射线与射线以及点P即为所求； （3）解：如图所示，点E即为所求； （4）解：如图所示，线段的交点Q即为所求，依据为两点之间线段最短． 【变式训练2】在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 已知线段a，b，c，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图： 第一步，在直线上作线段； 第二步，在线段的延长线上作线段； 第三步，在线段的延长线上作线段； 第四步，在线段上作线段． 根据以上尺规作图可知，线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查尺规作图的定义，熟练掌握线段之间的和差是解题的关键．利用线段和差定义判断即可． 【详解】解：由图可知：， ， ， 故答案为：． 【变式训练3】如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段的和差等知识点，掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系是解题的关键． （1）以B为圆心，a的长度为半径画弧，交延长线于点C；以A为圆心，长为半径画弧交延长线于点D即可完成作图； （2）由（1）的作图求出，由O为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ，，， ， 为的中点， ， ． 题型精讲2线段的和与差 【例题1】如图，用圆规比较两条线段和的长短，其中正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了线段的大小比较. 根据比较线段长短的方法作答即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知. 故选：C． 【变式训练1】下列选项中，能用表示的是（    ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键． 根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 【详解】 解：A． 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B． 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C． 这个长方形的周长：，表示为，符合题意； D． 这个图形的面积：，表示为，不符合题意； 故选C． 【变式训练2】已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确地画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 根据点A、B、C的相对位置，分两种情况讨论：点B在线段上或点A在线段上． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ①当点B在线段上时， ， 点D在线段上， ∴； ②当点A在线段上时， ， 点D在线段上，且， ∵， ∴点A在线段上， ∴， 故答案为：或． 【变式训练3】如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段AC的中点，，，则线段BC的长为 ． 【答案】8或23 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及“折中点”的定义是正确解答的关键． 根据“折中点”的定义，分两种情况分别画出图形，由图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，点E为线段的中点，， ，， ， ， 点D是折线的“折中点”， ， ； 如图2，点E为线段AC的中点，， ， ， ， 点D是折线的“折中点”， ， ； 综上所述，或 题型精讲3线段中点的有关计算 【例题1】若点C是线段的中点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了线段中点，理解中点概念是关键；根据线段中点的定义，等于的一半． 【详解】解：因为点C是线段的中点，所以。 又因为，所以； 故答案为：4． 【变式训练1】已知三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为多少？（要求画出图形） 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点定义，当点在线段的延长线上，先求出，再根据中点的定义求出，然后根据得出答案；当点在线段上时，先求出，再根据中点定义求得，最后根据得出答案． 【详解】解：， ， 当点在线段的延长线上， 则， 点为线段的中点， ， ； 当点在线段上时， ， ， ， 点为线段的中点， ， ． 综上，线段的长为或． 【变式训练2】如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，掌握知识点是解题的关键． 先由线段之间的关系得到，再由线段中点的定义可得，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴． 故选B． 【变式训练3】如图，已知线段，延长到点，使得，反向延长到点，使，点为的中点． (1)求线段的长及线段的长； (2)若为线段上一点，且，求的长． 【答案】(1)； (2)3或1 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握连接两点间的线段的长度叫两点间的距离是关键． （1）利用计算出，则，再利用得到，然后计算，即可得到结果； （2）利用线段中点的定义，讨论：当点P在B、C之间时，计算；当点P在A、B之间时，计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点为的中点 ∴， ∴； （2）解：∵Q为中点， ∴， ∵， ∴， ①当点P在B、C之间时，， ②当点P在A、B之间时，． 故线段的长为3或1． 题型精讲4线段n等分点的有关计算 【例题1】如图所示，长为的线段的中点为M，C将线段分为和，且，则线段的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】根据中点的定义，可求出AM和BM的长度，根据MC和MB的比例关系，可求出MC的长度，最后用AM加上CM即可求出AC的长． 【详解】∵点M为AB中点， ∴AM=BM==6cm， ∵， ∴=2cm， ∴AC=AM+MC=8cm； 故选：C 【变式训练1】如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查线段的中点性质，线段等分点的计算，线段的和差计算，正确理解图形中线段之间的数量关系是解题的关键． 先根据M是线段的中点，求出，再根据求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：M是线段的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练2】如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 【答案】(1)6 (2)3 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差关系． （1）由线段中点的有关计算得出，，再根据线段的和差关系即可得出． （2）根据已知条件可得出，再根据线段的和差关系即可得出． 【详解】（1）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式训练3】线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41 (2)49 【分析】本题考查了线段的和差计算及线段上点的位置关系，解题的关键是根据点C的不同位置（线段上或延长线上）确定线段的长度，再结合线段的比例关系求出相关线段长度，进而得到的长.​ （1）当点C在线段上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． （2）当点C在线段的延长线上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型精讲5线段之间的数量关系 【例题1】C是线段MN的中点，D是线段NC上一点，则选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差，中点的性质，由中点可得线段相等，进而可得出线段之间的数量关系，解题的关键是根据示意图找出线段的关系． 【详解】 解：如图：是线段的中点， ， A、，故该选项正确，不符合题意； B、，故该选项正确，不符合题意； C、不是线段中点，，故该选项错误，符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式训练1】下列说法正确的是（       ） A．绝对值等于本身的数是正数 B．0是最小的有理数 C．两点之间，线段最短 D．若，则点C是的中点 【答案】C 【分析】本题考查绝对值、有理数的分类、几何公理和中点的定义，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据绝对值、有理数的分类、几何公理和中点的定义判断即可． 【详解】A、绝对值等于本身的数是正数和零，故本选项不符合题意； B、有理数包括负数，负数小于零，故本选项不符合题意； C、两点之间线段最短是几何基本公理，故本选项符合题意； D、只表示点到点和点的距离相等，但点C不一定在线段上，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】如图，线段，点C为线段上一点，点B为的中点，．若点E在线段上，且，则的长为 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解决本题的关键． 先根据点B为的中点，求解出的长度，再由与可求解的长度，再由即可求解． 【详解】解：若点E在线段上时，如图， 由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练3】线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 【答案】(1)线段的长度为； (2)． 【分析】本题考查线段中点的相关计算，线段和差，线段之间的数量关系． （1）根据题意可得，，由，即可得； （2）根据题意可得，，结合，即可得线段和的数量关系． 【详解】（1）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长度为． （2）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴． 题型精讲6与线段有关的动点问题 【例题1】如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案； （2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长． 【详解】（1）解：①当时，； 故答案为：4 ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 【变式训练1】如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 【变式训练2】如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 【变式训练3】如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯． 故答案为：5． 题型精讲7两点之间线段最短 【例题1】如图，小明的家在处，学校在处，从家到学校共有条路线，若想尽快的赶到学校，请你帮助他选择一条最近的路线（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短，关键是分辨那条路线是两点间的线段； 根据题意结合选项得出最短路线即可. 【详解】解：由于，两处之间，只有①是线段， 根据两点之间线段最短，最近的路线是①， 故选：A． 【变式训练1】如图，已知四点A、B、C、D，请按下列要求作图（保留画图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，在线段上取点，使的值最小； (4)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)8条线段，6条射线 【分析】本题主要考查了画出直线、射线、线段，两点之间线段最短等知识点，熟练掌握直线、射线、线段的定义及“两点之间线段最短”是解题的关键． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据射线的定义画出图形即可； （3）根据两点之间线段最短作出点P即可； （4）根据线段和射线的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，射线即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． （4）解：图中有线段，，，，，，，，共有8条； 以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以D为端点的射线有1条，共6条． 【变式训练2】下列说法正确的是（  ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．若，则点B是的中点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段的基本性质，包括射线的定义、两点之间距离的性质、直线公理和线段中点的条件． 【详解】解：射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸， 端点不同，方向相反，不是同一条射线．故A错误． 两点之间，所有连线中线段最短，直线是无限延伸的，不可比较长短，故B错误． 经过两点有且只有一条直线，这是直线公理，故 C正确． 当A、B、C三点不共线时，但B不是的中点，故 D错误． 故选：C． 【变式训练3】如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句按要求画图． (1)连接，作射线，作直线与射线交于点G． (2)若，点E是射线上的一点，，点F是的中点，则的长为_____． (3)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P．要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)11或5 (3)见解析 【分析】本题考查作图−−应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）根据线段，射线，直线的特征画图即可； （2）分两种情况求解即可； （3）线段与的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【详解】（1）如图，线段，射线，直线 （2）如图，当点E在线段的延长线上时， ∵，点F是的中点， ∴． ∵， ∴． 如图，当点E在线段的延长线上时， ∵，点F是的中点， ∴． ∵， ∴． 综上可知，的长为11或5； （3）根据两点之间线段最短可知，线段与的交点即为满足题意的点P的位置，如图， 题型精讲8两点间的距离 【例题1】如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义及线段的计算．根据题意先计算的长度，再求出和的长度，最终求得的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D为中点，点E为中点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1.5． 【变式训练1】下列语句正确的是（    ） A．延长射线 B．连接两点的线段长度叫做两点间的距离 C．两点之间，直线最短 D．过一点只能作一条直线 【答案】B 【分析】本题考查几何基本概念，包括射线、距离、线段和直线的性质，根据相关定义和作图语言，逐一进行判断即可，正确理解射线、距离、线段和直线的定义是解题的关键． 【详解】解：A、射线不能延长，只能反向延长，原语句错误，不符合题意； B、连接两点的线段长度叫做两点间的距离，正确，符合题意； C、两点之间，线段最短，原语句错误，不符合题意； D、过一点可以作无数条直线，原语句错误，不符合题意； 故选B． 【变式训练2】直线上有三个点A、B、C，C在线段的延长线上，且分别是的中点，则长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点间的距离，由于点C在线段的延长线上，点A、B、C的位置顺序固定，即A、B、C依次排列．先计算的长度，再根据中点定义求出和，最后通过线段和差关系计算即可． 【详解】解：∵C在的延长线上，，， ∴， ∵P是的中点， ∴； ∵Q是的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练3】如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，．   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当在线段上时，； 当在线段外时，； 综上所述，的长为或． 题型精讲9最短路径问题 【例题1】如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ） A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区 【答案】B 【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解． 【详解】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×(200+50)+6(2×50+200)＝7050(m)， 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6(50+200)＝7000(m)， 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(50+200)+5×200+6×50＝8800(m)， 当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×(2×50+200)+5(50+200)+20×50＝11900(m)， 因为7000＜7050＜8800＜11900， 所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区． 故选：B． 【变式训练1】如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 【变式训练2】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 【变式训练3】如图，已知四点、、、，请按要求完成下列问题： (1)画直线； (2)画射线，连接； (3)连接并延长到，使； (4)若，，画点，使的值最小，则这个最小值为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了直线、射线、线段的画法，线段的和与差等． （1）根据直线的概念作图即可； （2）根据射线和线段的概念作图即可； （3）首先画射线，在的延长线上依次截取即可； （4）连接、，与的交点就是点． 【详解】（1）解：如图：直线，即为所求； （2）解：如图：射线，线段，即为所求； （3）解：如图：点，即为所求； （4）解：如图：点，即为所求． 此时，． 故的最小值为． 故答案为：． 【拓展培优】 【典例1】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离．线段的中点表示的数为． 如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)填空： ①A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ． ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ． ③当 时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为 ． (2)当t为何值时，P是线段的中点． (3)当t为何值时，． 【答案】(1)①10，3；②，；③2，4； (2) (3)1或3 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）①利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长，利用线段的中点表示的数，即可求出线段的中点表示的数； ②根据点，的出发点、运动速度及运动时间，即可用含的代数式表示出点，表示的数； ③根据、两点相遇时两点表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）根据中点公式，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值； （3）根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：、两点间的距离， 线段的中点表示的数为． 故答案为：10，3； ②根据题意得：秒后，点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：，； ③根据题意得：， 解得， ． 故答案为：2，4； （2）解：由题意可得， 解得， 故当t为时，P是线段的中点； （3）解：根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：当为1或3时，． 【变式训练1】如图，，是线段上一点，且．动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，运动的时间为 (1)，； (2)当时，的长为______； (3)用含有的代数式表示______； (4)当为的中点时，的值为______； (5)将线段折叠，使点和点重合，折点记为 ①在点、点运动过程中，、的距离为时，直接写出的值为 ②在点、点运动过程中，时，直接写出的值为___． 【答案】(1)； (2) (3) (4) (5)或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式、线段中点的有关计算 【分析】本题综合考查数轴上的线段比例、动点位置表示、中点性质及一元一次方程的应用； （1）根据，，即可求解； （2）当时，分别求得，，根据，即可求解； （3）根据题意分别表示出，，根据，即可求解； （4）依题意，，根据（3）的结论，列出方程，解方程，即可求解； （5）①根据题意得出点从左往右运动，分相遇前和相遇后，根据、的距离为，列出方程，解方程，即可求解； ②先求得，同①的方法，分相遇前和相遇后，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是线段上一点，且． ∴，， 故答案为：，． （2）当时，，， ∴， 故答案为：． （3）∵，，动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，，同时动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动 ∴当时，在上，在上， ∵，， ∴， 故答案为：． （4）依题意， ∴， 解得： ∴当为的中点时， 故答案为：． （5）①将线段折叠，使点和点重合，折点记为 ∴点从左往右运动， 相遇前，∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 相遇后， ∵， ∴， 解得：， ②折叠后为中点，， ∵， 当相遇时，，解得： 相遇前，，， ∵ ∴或 解得：（舍去）或（舍去） 相遇后， ∵ ∴或 解得：或 【变式训练2】对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查了数轴上动点问题，线段的和差计算； （1）先分析定义，得出当在之间时，不满足；当在点的左侧时，满足；当在点的右侧时，满足； ①将点表示的数分别为，分别求得到的距离，进而结合定义进行判断，即可求解； ②根据在点的左侧，则得出的最小值为，进而得出点表示的数，即可得出长度的最小值； （2）分情况讨论，设是上的任意一点，当在点的左侧时，得出的最小值为，的最大值为，当在点的右侧时，得出的最小值为，的最大值为，进而根据线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，进而求得的范围． 【详解】（1）解：∵数轴上、两点表示的数分别是、，且，则点在点的左侧， 当在之间时，不满足； 当在点的左侧时，， 设，则， ∵ ∴ ∴即 当在点的右侧时， 设，则 ∵ ∴ ∴即 ∵ ∴点表示的数为，点表示的数为， ①点表示的数分别为， ∵，则在之间，不合题意， ∵在左侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； ∵在点的右侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； 故答案为：，．     ②∵为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点， 线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”， ∴在点的左侧，则 ∴当时取得最小值，此时点表示的数为 ∴长度的最小值为 故答案为：． （2）解：当在点的左侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 当在点的右侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 综上所述： 【变式训练3】已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、、）在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则______． 【答案】(1)；或 (2)或 【知识点】列代数式、线段的和与差、线段中点的有关计算、等式的性质2 【分析】（1）由，可得，，由为中点可得的长，然后利用线段的和与差即可求出的长；分两种情况：）当点在点的右侧时，）当点在点的左侧时，由可得，然后分别利用线段的和与差及已知条件即可求出的长； （2）按照线段在直线上从左向右移动，分种情况讨论：当点在点的左侧时；当点在点的左侧、点在点的右侧时；当点在点的右侧、点在点的左侧时；当点在、之间时；当点在点的左侧、点在点的右侧时；当点在、之间时；当点在点的右侧时；设，则，，，设，分别按照各自情况下线段的和差关系及已知条件求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， 为中点， ， ， ， ； 分两种情况： i）当点在点的右侧时， 如图， ， ， ， ， ； 当点在点的左侧时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得：（舍去） ）当点在点的左侧时， 如图， ， ， ， ， ； 当点在点的右侧时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得：，此时，（不合题意舍去） 综上所述，的长为或； （2）解：按照线段在直线上从左向右移动，分种情况讨论： 当点在点的左侧时， 如图， 设，则，， ， ， 设， ， ， ，， ， ， ， ； 当点在点的左侧、点在点的右侧时， 此种情况无解； 当点在点的右侧、点在点的左侧时， 如图， 设，则，， ， ， 设， ， ， ，， ， ， ，， ， 故不合题意，舍去； 当点在、之间时， 如图， 设，则，， ， ， 设， ， ， ，， ， ， ， ； 当点在点的左侧、点在点的右侧时， 此种情况无解； 当点在、之间时， 此种情况无解； 当点在点的右侧时， 此种情况无解； 综上所述，或， 故答案为：或． 【典例2】探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____． 数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是_____； ②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 【答案】材料一：3；4；6；；； 材料二：点、点之间 点 点、点之间 结论应用：①．②．③，．④ 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、线段的和与差 【分析】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 探索材料1：根据材料1填空，直接写出答案； 探索材料2：根据材料2填空，分情况讨论点P的位置，得出P到其他点的距离之和最小； 结论应用：根据问题材料2得出的结论填空即可． 【详解】解：探索材料1：数轴上表示数2和5的两点距离为， 数轴上表示数3和的两点距离为， 则的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离， 故答案为：3；4；6；；；； 探索材料2： ①当点P在点A左边时，； 当点P在点A、点之间时，； 当点P在点A右边时，． ∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：点A、点B之间； ②当点P在点A左边，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C右边，， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点P在点A左边时，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C、点D之间时，， 当点P在点D右边时，， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小． 故答案为：点B、点C之间； 结论应用（填空）： ①表示点数轴上表示数到数和的距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． ②表示点数轴上表示数到数三点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． ③表示点数轴上表示数到数四点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，此时的最大值是． 故答案为：，． ④表示点数轴上表示数到数共个点距离之和， 由探究材料2得奇数个距离之和的最小值时，的值为正中间的那一个数，即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 【变式训练1】有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查线段两点间的距离，理解题意、分类作出相应图形是解题的关键． 分两种情况讨论：①当A、C或B、D重合且剩余两端点在重合点同侧时；②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时；让分别作出相应图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当A、C或B、D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； ②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； ∴两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 【变式训练2】阅读材料并解答问题： 若数轴上点M和点N表示的数分别为m、n，则我们可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，记为，即． 若数轴上一点P满足，则称点P为的中点． 已知数轴上点A、B、C、D表示的数分别为，4，x，y．解答下列问题： (1)___________； (2)若Q为的中点，求点Q表示的数； (3)当点C在之间运动时，若点E表示的中点，点F表示的中点．试探究的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． (4)若x，y为整数，且．直接写出的最大值． 【答案】(1)6 (2)1 (3)是定值，3 (4) 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、线段中点的有关计算 【分析】本题考查绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据题目中的材料，； （2）由Q为的中点，可得，即，解绝对值方程即可； （3）先根据点E为的中点，得到点E表示的数为，再根据点F表示的中点，得到点F表示的数为，所以，得到的值是定值； （4）由x，y为整数，，通过列举法找到符合条件的x的最小值及y的最大值，即可得到的最大值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）设点Q表示的数为， Q为的中点， ，即， 当时，方程无解； 当时，， 解得； 点Q表示的数为1； （3）点E为的中点，点A表示的数为，点C表示的数为x， 点E表示的数为； 点F表示的中点，点C表示的数为x，点B表示的数为4， 点F表示的数为； ， 的值是定值，为3； （4）表示数轴上点x到和1的距离之和， 的最小值为3，此时， 表示数轴上点y到和的距离之和， 的最小值为2，此时， 求的最大值，即求x和y之间的距离最大值， 应满足x尽可能取最小值，y尽可能取最大值， x，y为整数，， 当时，，得，即； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； 当时，，得不是整数，不符合题意； …… ，，此时， 则的最大值为． 【典例3】已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 【答案】(1)①2；② (2)①；② (3)或10 【知识点】数轴上两点之间的距离、相反数的定义、倒数、线段的和与差 【分析】本题考查了新定义、数轴上的点、相反数以及有理数的计算，解题的关键在于理解题意． （1）①根据新定义计算即可； ②根据倒数的性质和新定义计算即可； （2）①根据绝对值和相反数的性质和新定义计算即可； ②根据新定义求出，，的值，再比较大小即可； （3）分两种情况，点P在点O的右侧，点P在点O的左侧进行求解即可； 【详解】（1）解：①若点表示的数为1，则， ∴， 故答案为：2； ②∵点表示的数的倒数为， ∴表示的数， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点在原点O的左侧，且点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； ②∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数是3， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： ①当点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴； ②当点P在O点右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴的值为或10． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解题的关键是理解题意；因此此题可根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的理由是两点之间的所有连线中，线段最短； 故选C． 2．（24-25七年级上·广东河源·月考）在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 C．两点确定一条直线 D．平面内经过一点有无数条直线 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质，解题的关键是掌握两点之间，线段最短． 根据两点之间，线段最短进行判断． 【详解】解：在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程， 这是因为两点之间，线段最短， 故选：A． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列现象中，运用几何原理“两点之间线段最短”的是（   ） A．木工师傅过两点弹出一条墨线 B．从甲地到乙地，同样的速度选择直路通常更快到达 C．确定两个树坑位置即可让同一行树坑在一条直线上 D．建筑工人砌墙时利用墙角的两根标志杆拉一根直的线 【答案】B 【分析】本题考查两点之间线段最短，根据直线的性质，线段的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、C、D都可以用“两点确定一条直线”，进行解释，不符合题意； B可以用基本事实“两点之间线段最短”解释，符合题意； 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，在三角形中，，其理由是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段比射线短 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间线段最短即可得到结论． 【详解】解：在三角形中，，其理由是两点之间线段最短， 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图示，从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握这个性质是关键． 根据线段的性质：两点之间线段最短，即可解答． 【详解】解：从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短； 故选：B． 6．（24-25七年级上·云南保山·期末）如图，是线段的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点，熟练掌握“把一条线段分为两条相等线段的点，叫做线段的中点”是解题的关键．根据线段中点的含义进行求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴． 故选：B． 7．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知点为线段的中点，且，若点是线段的三等分点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段内和点在线段内两种情况进行讨论求解． 【详解】解：点为线段的中点，且， ， 点是线段的三等分点，如图， 当点在线段内，， ； 当点在线段内， ， ． 故选D． 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，以及线段中点的特点，根据D，E分别是线段的中点，推出，再结合求解，即可解题． 【详解】解：因为D，E分别是线段的中点， 所以， 所以 ， 又因为， 所以 ， 故选：C． 二、填空题 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 10．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，点C，O在线段上，，O是的中点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． 根据题意，，可设，，则，由，可得，求出，则，再根据点O是的中点，由线段的中点定义可得： ，最后由进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴可设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵点O是的中点， ∴， ∴． 故答案为：2． 11．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段，若点M为中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，解题的关键是熟知线段长度的数量关系． 先求出的长度，再根据中点定义求出的长，再利用线段的差求的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵点M为中点， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段折叠问题中的长度计算及比例关系应用，解题的关键是根据不同折点（B或A）确定绳子对折后的线段对应关系，明确剪断P处后最长段的具体来源，再结合“最长段为”列方程求解原长． （1）设，由得、；点B为折点时，剪断后最长段为，结合求，再算原长（原长为． （2）点A为折点时，剪断后得到的三段等长，则最长段为，结合求，再根据“折点A时原长为”计算最终原长． 【详解】（1）解：设，   ∵， ∴，则 ∵点B为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得 绳子原长为．   故答案为：； （2）解：设，   ∵， ∴，则． ∵点A为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得． 绳子原长为．   故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，点O是线段的中点． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和差计算及线段中点的定义，解题的关键是明确A、B、C三点共线（且B在A、C之间），并利用“中点将线段分为两条相等线段”的性质推导长度． （1）根据A、B、C三点共线且B在A、C之间，直接用“”代入已知长度计算； （2）先由O是的中点，得“=”，再用“”（或“”）计算的长． 【详解】（1）解：∵A、B、C三点共线，且点B在A、C之间， ∴． 又∵， ∴． 答：的长为； （2）解：∵点O是线段的中点， ∴． 由（1）知， ∴． 又∵， ∴． 答：的长为． 14．（24-25七年级上·四川成都·月考）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为或 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据是的中点求出，根据即可求解； （3）分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点． ∴ 故答案为：； （2）∵，， ∴（）， ∵是的中点 ∴， ∴（）， 故答案为：； （3）当在点的右侧时，（）， 当在点的左侧时，（）， ∴的长度为或． 15．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，为线段的中点，点在线段上．若，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，线段中点的定义，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． 根据线段中点的定义，可得：，再根据，求得，然后即可求解； 【详解】解：∵为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴． 16．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图和线段的和差，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系． （1）以为圆心，的长度为半径画弧，交延长线于点，以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，即可得答案； （2）由（1）的作图求出，由为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 第四节 线段的比较与运算 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1直线与线段的基本事实 2 知识点2 线段的比较 2 知识点3 线段的和与差 3 知识点4 线段的中点 4 题型精讲1作线段（尺规作图） 5 题型精讲2线段的和与差 6 题型精讲3线段中点的有关计算 7 题型精讲4线段n等分点的有关计算 7 题型精讲5线段之间的数量关系 8 题型精讲6与线段有关的动点问题 9 题型精讲7两点之间线段最短 11 题型精讲8两点间的距离 12 题型精讲9最短路径问题 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：掌握线段比较的两种方法（叠合法、度量法），能规范进行线段和差运算，理解线段中点定义并利用其求线段长度，契合新教材运算逻辑。 2. 素养能力：通过动手操作比较线段、推导运算关系，发展几何直观与逻辑推理能力，对接中考对线段计算、中点应用的基础考查要求。 3. 情感应用：结合生活场景（如测量距离、分割线段）运用知识，感受线段运算的实用性，为后续角的比较与运算、几何证明奠基。 【新知学习】 【知识点1】 直线与线段的基本事实 1. 直线的基本事实： 经过两点 1条直线。简单说成 。经过一点有 条直线。 2. 线段的基本事实 连接两点间的所有连线中， 是最短的。简单说成两点之间，线段 。 3. 两点之间的距离： 连接两点的线段的 叫做这两点间的距离。 边学边练已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【知识点2】线段的比较 1. 叠合法： 操作方法： 把两条线段AB和CD放在 直线上，使它们的一个端点A和C重合，另一个端点B和D落在重合端点的同侧。 比较结果： · 如果点B与点D重合，则AB = CD。 · 如果点B落在点C和点D之间，则AB < CD。 · 如果点D落在点A和点B之间，则AB > CD。 几何语言描述： · 若点B与点D重合，则 AB = CD。 · 若点B在CD上（且不与D重合），则 AB < CD。 · 若点D在AB上（且不与B重合），则 AB > CD。 2. 度量法： · 操作方法： 用刻度尺分别量出两条线段的 ，再根据长度的大小来比较线段的 。 · 步骤： ① 用刻度尺量出线段AB的长度，记为AB = a cm； ② 用刻度尺量出线段CD的长度，记为CD = b cm； ③ 比较a与b的大小：若a > b，则AB > CD；若a = b，则AB = CD；若a < b，则AB < CD。 · 优点： 可以得到具体的数量关系。 边学边练如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【知识点3】 线段的和与差 1. 线段的和与差： 名称 定义 图示 线段的和 在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b 线段的差 在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作 BC=a－b 边学边练下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 【知识点4】线段的中点 1. 定义： 点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，那么点M叫做线段AB的中点。 几何语言描述： · ∵ 点M是线段AB的中点， · ∴ AM = MB = 1/2 AB 或 AB = 2AM = 2MB。 （反之，如果AM = MB = 1/2 AB 或 AB = 2AM = 2MB，那么点M是线段AB的中点。） 2. 图形表示： A——M——B (AM = MB) 3. 中点的意义： 中点是线段上的一个特殊点，它将线段分成两条长度相等的线段，体现了“平分”的思想。 边学边练下列说法中，正确的是（    ） A．射线a比直线b短 B．若点C在线段上，且，则点C为线段的中点 C．已知C、D为线段上的两点，若，则 D．射线与射线是同一条射线 题型精讲 题型精讲1作线段（尺规作图） 【例题1】如图，已知线段a和线段，延长线段到C，使． 【变式训练1】如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别画直线、线段． (2)画出射线与射线，两射线相交于点P． (3)连接，延长至E，使得． (4)在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【变式训练2】在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 已知线段a，b，c，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图： 第一步，在直线上作线段； 第二步，在线段的延长线上作线段； 第三步，在线段的延长线上作线段； 第四步，在线段上作线段． 根据以上尺规作图可知，线段的长是 ． 【变式训练3】如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 题型精讲2线段的和与差 【例题1】如图，用圆规比较两条线段和的长短，其中正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练1】下列选项中，能用表示的是（    ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【变式训练2】已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【变式训练3】如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段AC的中点，，，则线段BC的长为 ． 题型精讲3线段中点的有关计算 【例题1】若点C是线段的中点，若，则 ． 【变式训练1】已知三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为多少？（要求画出图形） 【变式训练2】如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 【变式训练3】如图，已知线段，延长到点，使得，反向延长到点，使，点为的中点． (1)求线段的长及线段的长； (2)若为线段上一点，且，求的长． 题型精讲4线段n等分点的有关计算 【例题1】如图所示，长为的线段的中点为M，C将线段分为和，且，则线段的长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式训练1】如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 【变式训练2】如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 【变式训练3】线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 题型精讲5线段之间的数量关系 【例题1】C是线段MN的中点，D是线段NC上一点，则选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】下列说法正确的是（       ） A．绝对值等于本身的数是正数 B．0是最小的有理数 C．两点之间，线段最短 D．若，则点C是的中点 【变式训练2】如图，线段，点C为线段上一点，点B为的中点，．若点E在线段上，且，则的长为 ． 【变式训练3】线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 题型精讲6与线段有关的动点问题 【例题1】如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【变式训练1】如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【变式训练2】如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练3】如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 题型精讲7两点之间线段最短 【例题1】如图，小明的家在处，学校在处，从家到学校共有条路线，若想尽快的赶到学校，请你帮助他选择一条最近的路线（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练1】如图，已知四点A、B、C、D，请按下列要求作图（保留画图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，在线段上取点，使的值最小； (4)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【变式训练2】下列说法正确的是（  ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．若，则点B是的中点 【变式训练3】如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句按要求画图． (1)连接，作射线，作直线与射线交于点G． (2)若，点E是射线上的一点，，点F是的中点，则的长为_____． (3)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P．要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 题型精讲8两点间的距离 【例题1】如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【变式训练1】下列语句正确的是（    ） A．延长射线 B．连接两点的线段长度叫做两点间的距离 C．两点之间，直线最短 D．过一点只能作一条直线 【变式训练2】直线上有三个点A、B、C，C在线段的延长线上，且分别是的中点，则长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练3】如图，点在线段上，且，点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）． 题型精讲9最短路径问题 【例题1】如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ） A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区 【变式训练1】如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是 （填序号）． 【变式训练2】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，已知四点、、、，请按要求完成下列问题： (1)画直线； (2)画射线，连接； (3)连接并延长到，使； (4)若，，画点，使的值最小，则这个最小值为_________． 【拓展培优】 【典例1】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离．线段的中点表示的数为． 如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)填空： ①A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ． ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ． ③当 时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为 ． (2)当t为何值时，P是线段的中点． (3)当t为何值时，． 【变式训练1】如图，，是线段上一点，且．动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，运动的时间为 (1)，； (2)当时，的长为______； (3)用含有的代数式表示______； (4)当为的中点时，的值为______； (5)将线段折叠，使点和点重合，折点记为 ①在点、点运动过程中，、的距离为时，直接写出的值为 ②在点、点运动过程中，时，直接写出的值为___． 【变式训练2】对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 【变式训练3】已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、、）在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则______． 【典例2】探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____． 数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是_____； ②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 【变式训练1】有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式训练2】阅读材料并解答问题： 若数轴上点M和点N表示的数分别为m、n，则我们可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，记为，即． 若数轴上一点P满足，则称点P为的中点． 已知数轴上点A、B、C、D表示的数分别为，4，x，y．解答下列问题： (1)___________； (2)若Q为的中点，求点Q表示的数； (3)当点C在之间运动时，若点E表示的中点，点F表示的中点．试探究的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由． (4)若x，y为整数，且．直接写出的最大值． 【典例3】已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 2．（24-25七年级上·广东河源·月考）在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 C．两点确定一条直线 D．平面内经过一点有无数条直线 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列现象中，运用几何原理“两点之间线段最短”的是（   ） A．木工师傅过两点弹出一条墨线 B．从甲地到乙地，同样的速度选择直路通常更快到达 C．确定两个树坑位置即可让同一行树坑在一条直线上 D．建筑工人砌墙时利用墙角的两根标志杆拉一根直的线 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，在三角形中，，其理由是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段比射线短 D．以上均不正确 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图示，从A地去往C地有4条路线，景元同学发现路线③最快，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离 6．（24-25七年级上·云南保山·期末）如图，是线段的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知点为线段的中点，且，若点是线段的三等分点，则（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 二、填空题 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 10．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，点C，O在线段上，，O是的中点，若，则 ． 11．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段，若点M为中点，则线段的长为 ． 12．（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，点O是线段的中点． (1)求的长； (2)求的长． 14．（24-25七年级上·四川成都·月考）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为______； (2)的长度为______； (3)若在直线上，且，求的长度． 15．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，为线段的中点，点在线段上．若，，求的长． 16．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $