精品解析：浙江省金华市婺城区2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

2025学年第一学期九年级数学独立作业检测试题卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，求的值（ ） A. B. C. D. 4 2. 直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中10环 B. 有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 4. 已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 5. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 7. 如图，正六边形内接于，点在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在函数上有点，点，C则关于，的大小判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（ ） A. 乙的作法正确，甲的作法错误 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲和乙的作法都正确 10. 通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图像（如图2所示）与y轴交于点，最低点，且经过．则下列选项正确的是（ ） A. 的面积是 B. C. 点在该函数图像上 D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 若要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x+y=_____． 13. 如图，在ΔABC中，若∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长为________． 14. 如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 15. ，是的两条弦，且，于点，连接．若的半径为，则弦的长为_____． 16. 如图，正方形的边长为2，点P是边所在直线上的一动点（点P不与点B、点C重合），连结，． （1）当时， 的长为________； （2）的最小值为________． 三、解答题（第17-21题各8分，第22-23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 18. 哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． （1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． （2）小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 19. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） （1）请在图1中画出的高． （2）请在图2中在线段上找一点E，使． 20. 如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E． （1）求证：； （2）若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 21. 数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 22. 在平面直角坐标系中，点A的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横最大差”． 例如：点A的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横最大差”为7．根据定义，解答下列问题： （1）求点的“纵横差”； （2）求函数的“纵横最大差”； （3）若函数的“纵横最大差”为4，求h的值． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，，于点，求证： 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点在边上，和关于直线对称．点的对称点在边上，为中点，连结交于点，，若，求的长． 24. 如图，内接于，过点作于点，延长交于点，连接、，与交于点，． （1）求证：． （2）若． ①求的度数． ②若的半径为6，求的长． （3）设，，求关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级数学独立作业检测试题卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，求的值（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键． 将所求分式拆分为分式与常数的和，结合已知条件计算结果即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：C． 2. 直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接从上往下看，得到的是一个六边形，即可选出正确选项． 【详解】解:从上往下看直六棱柱，看到的是个六边形； 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的相关内容，要求学生明白俯视图是对几何体进行从上往下看得到的视图，实际上也是从上往下得到的正投影，本题较为基础，考查了学生对三视图概念的理解与应用等． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中10环 B. 有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A.射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意； B.有一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可能事件，不符合题意； C.任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，不符合题意； D.在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系即可得． 【详解】∵， ∴这点在圆外， 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 5. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图，再根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：根据题意画出图如图所示： ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键． 6. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 7. 如图，正六边形内接于，点在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接，，， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 8. 已知在函数上有点，点，C则关于，的大小判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 二次函数开口向上，对称轴为，点A和点B关于对称轴对称，y值相等，点C离对称轴更远，y值更大． 【详解】解：∵二次函数 中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵， ∴点A，B到对称轴的距离相等， ∴． ∵点到对称轴的距离为， ∴ ， 即． 故选：C． 9. 对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（ ） A. 乙的作法正确，甲的作法错误 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲和乙的作法都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 连接 ． 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：D． 10. 通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图像（如图2所示）与y轴交于点，最低点，且经过．则下列选项正确的是（ ） A. 的面积是 B. C. 点在该函数图像上 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像的识别，二次函数图像的应用，勾股定理， 先观察图像可得点的实际意义是点P与点A重合时，，可求出，再理解点的含义进而求出三角形的高线，可解答A，B；然后根据求出，即可解答D；最后根据勾股定理说明C 即可． 【详解】解：根据题意可知海里， 观察图像过点，即当时，， 即点P与点A重合时，， 解得； 观察图像过最低点，即当时，， 根据勾股定理得，， ∴点，， 即， 则A，B不正确； ∵当时，，此时， 根据勾股定理，得， 当点P与点C重合时，， ∴点， 则D不正确； 当时，， 根据勾股定理，得， ∴点在该函数图像上． 则C正确． 故选：C． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数解析式中的顶点式，顶点坐标为，即可得出． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握顶点式的特征是解题关键． 12. 若要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x+y=_____． 【答案】8 【解析】 【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴1与x是相对面，3与y是相对面， ∵相对面上两个数之和为6， ∴x=5，y=3， ∴x+y=5+3=8． 故答案为8． 13. 如图，在ΔABC中，若∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可证得△AED∽△ABC，再通过两三角形的相似比即可求出BC的长． 【详解】解：在△AED和△ABC中， ∵∠AED=∠B，∠EAD=∠BAC， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∵DE=6，AB=10，AE=8， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证出△AED∽△ABC，是一道基础题． 14. 如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由抛物线与轴的交点为，对称轴为，得到当或时，，据此可得出答案，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为，对称轴为， ∴当或时，， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 15. ，是的两条弦，且，于点，连接．若的半径为，则弦的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等弦对等弧的性质以及勾股定理，熟练掌握圆周角与圆心角的数量关系是解题的关键． 先通过等弦对等弧推出角的关系，结合垂直条件证出，再利用圆周角定理得到圆心角，最后用勾股定理求弦的长． 【详解】解：连接、、． ∵， ∴，即， ∴，故， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为2，点P是边所在直线上的一动点（点P不与点B、点C重合），连结，． （1）当时， 的长为________； （2）的最小值为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点， （1）设为x，由得，解方程即可得解； （2）在上取一点E，连接，使，得出，得出，进而可得出最小时，最小，再由得出，得出点E在以为直径的上，最后由勾股定理和三角形三边关系即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）设为x，由勾股定理得， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， 经检验，，都为原方程的解， ∵P不与C重合， ∴， 故答案为：4； （2）在上取一点E，连接，使， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴的最小值时， 最小， ∵， ∴即， 又∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的上， ∴作的外接圆，连，， ∴， ∴在，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（第17-21题各8分，第22-23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的化简以及实数的混合运算．先依次计算特殊角的三角函数值、乘方、二次根式的化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． （1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． （2）小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）利用概率公式计算概率即可； （2）根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种， ∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 19. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） （1）请在图1中画出的高． （2）请在图2中在线段上找一点E，使． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-格点作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）取格点，连接交于点，连接，线段即为所求； （2）取格点，连接交于，点就是所求的点． 【小问1详解】 解：取格点，连接交于点，连接，如图： 由图可知，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴为中点， ∴， ∴为的高． 【小问2详解】 解：取格点，连接交于，如图： 由图可得，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点就是所求的点． 20. 如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E． （1）求证：； （2）若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线，点D为切点， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论； （2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解； ②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为2； ②在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 21. 数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，根据等腰三角形的性质可得，结合可得答案；最后由即可得到答案. 【详解】解：数学抽象：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 问题总结：∵，， ∴. 22. 在平面直角坐标系中，点A的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横最大差”． 例如：点A的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横最大差”为7．根据定义，解答下列问题： （1）求点的“纵横差”； （2）求函数的“纵横最大差”； （3）若函数的“纵横最大差”为4，求h的值． 【答案】（1）5 （2）9 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键． （1）根据“纵横差”的定义求解即可； （2）根据“纵横最大差”的定义得，，然后通过二次函数的性质求解即可； （3）根据“纵横最大差”的定义得，，然后通过二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：点的“纵横差”为：； 【小问2详解】 解：函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为：， 在范围内，当时，取最大值，最大值为9， 故函数的“纵横最大差”为9； 【小问3详解】 解：函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为：， 当时， 在范围内，当时，取最大值4， 即， 解得（负值舍去）； 当时， 在范围内，当时，取最大值4， 即， 解得，不满足，舍去； 当时， 在范围内，当时，取最大值4， 即， 解得； 综上可知，或． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，，于点，求证： 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点在边上，和关于直线对称．点的对称点在边上，为中点，连结交于点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算求得，再利用勾股定理即可求得到答案； （3）由与关于直线对称，得，从而得到，，再通过证明得到，由（1）可得，，设，则，解方程求出的值即可． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， 在矩形中，，，， ， ， ， ， ， 由（1）可得，， ， ， ∴； （3）解：在矩形中，， ， 与关于直线对称， ， ，， ， ∴， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 由（1）可得，， 设，则， ， 解得，（舍去）， 的长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 24. 如图，内接于，过点作于点，延长交于点，连接、，与交于点，． （1）求证：． （2）若． ①求的度数． ②若的半径为6，求的长． （3）设，，求关于的函数表达式． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理可得，然后证明即可； （2）①连接，证明是等边三角形，利用圆心角和圆周角关系定理证明即可；②证明，结合相似三角形的性质列式计算即可． （3）根据表示出，再证明，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接，如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②∵的半径为6，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴关于的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、函数解析式等知识，熟练掌握圆的基本定理和三角形相似的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $