专题20 重要结论应用 讲义——2025届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕数列、三角函数、解析几何、函数四大高考核心模块，按考向梳理常用结论并构建知识内在联系。通过方法储备系统梳理考点，典例精讲结合真题示范应用，拓展提升分层训练，形成“考点梳理-方法指导-真题突破”的完整教学流程，助力学生系统掌握解题策略。 资料以“结论应用”为主线，提炼结论培养学生用数学眼光发现规律，结合高考真题（如2023新课标Ⅱ卷三角函数题）训练数学思维，设计分层练习让学生用数学语言规范表达。例如三角函数齐次式转化策略，帮助学生快速突破难点，既提升学生实战能力，又为教师把控复习节奏提供清晰路径。

【二轮复习—重要结论应用】 专题20 重要结论应用 考向一 数列常用结论 【方法储备】 1.通项性质:若， 则对于等差数列，有，对于等比数列有. 2.前项和的性质： (1)对于等差数列有成等差数列； 对于等比数列有,,，…成等比数列(且为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有. 【典例精讲】 例1.(2023·四川省·模拟题)若等比数列的各项均为正数，且，则          ． 解：数列为等比数列，且， ， ，  ． 故答案为． 【拓展提升】 练1-1(2023·江苏省·单元测试)设等差数列的前项和为，且，则(    ) A. B. C. D. 解：因为等差数列中其前项和为，， 所以成等差数列， 即，，，成等差数列， 此数列公差为， 所以，解得， 所以，解得． 故选C． 练1-2(2023·天津市·模拟题) 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若， ，则的值是 A. B. C. D. 解：在等差数列中，由， 得，，， 在等比数列中，由， 得，，， 则． 故选D． 考向二 三角函数常用结论 【方法储备】 1.半角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin＝±.(2)cos＝±.(3)tan＝＝. 2. 升幂公式：;;; 3. 降幂公式：; 4.关于,的齐次式问题求解策略 分式齐次式：将分子、分母同时除以,将其转化为关于的式子进行求解.若为二次齐次式,则分子、分母同时除以. 整式齐次式：将原式看作分母为1的表达式,把1换成,分子、分母同时除以,转化为关于的式子进行求解. 【典例精讲】 例2.（2023·新课标Ⅱ卷）已知为锐角，，则(    ) A.   B. C. D. 解：   故选：． 【拓展提升】 练2-1(2023·河北省·联考题)已知，，且，则(    ) A. B. C. D. 解：由题意得，， 因为，所以，, 所以，即， 故选A． 练2-2(2023·湖南省·联考题)已知为三角形的内角，且，则          ． 解：因为为三角形的内角，且， 所以，，所以，可得， ， 故答案为：． 练2-3(2023·天津市·模拟题)若，且，则(    ) A. B. C. D. 解：由，，可得 ，， 故选D． 练2-4(2023·广西壮族自治区·模拟题)若，则          ． 解：， ． 故答案为． 考向三 解析几何常用结论 【方法储备】 1.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 2.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是 3.若在椭圆外,则过作椭圆的两条切线切点为、,则切点弦的方程是. 4.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为、, 则切点弦的直线方程是. 【典例精讲】 例3.(2023·江苏省泰州市·期中考试)已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点          ． 解：设，则，，，则切线的方程为， 切线的方程为，可得、都在直线上， 即，整理得，令，解得故直线过定点． 故答案为：． 【拓展提升】 练3-1(2023·湖南省·模拟题）（多选)圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是(    ) A. B. C. 点到轴的距离为 D. 的角平分线所在直线的倾斜角为 解：由已知可得是双曲线的一条切线，设点，则切线为， 将点代入切线方程可得：，所以，即点到轴的距离为所以C错误； 又双曲线的方程可得，由角分线定理知，，即选项A正确： 因为，故B错误： 又因为直线的斜率为，所以的角平分线所在直线的斜率为 ， 即倾斜角为，即选项D正确： 故选：． 练3-2(2023·江苏省·联考题)已知椭圆，抛物线，且与在第一象限的交点为，且和在处的切线斜率之积为，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 解：设切点为，依题意抛物线上半部分函数解析式为，则， 则抛物线在处的切线斜率，且， 依题意过点椭圆的切线斜率存在， 设切线方程为，联立椭圆方程，可得， 化简可得： ， 由题可得：， 化简可得：，式只有一个根，记作，，为切点的横坐标， 切点的纵坐标，所以，所以， 所以切线方程为，化简得． 即椭圆上一点的切线方程为，此时切线的斜率， 所以， 所以，所以椭圆的离心率． 故选：． 考向四 函数常用结论 【方法储备】 1.常见的与周期函数有关的结论如下： (1)如果,那么是周期函数,其中的一个周期. (2)如果,那么是周期函数,其中的一个周期. (3)如果,那么是周期函数,其中的一个周期. 2.函数的对称性 已知函数是定义在R上的函数. (1)若恒成立,则的图象关于直线对称， 特别地，若恒成立，则的图象关于直线对称. (2)若函数满足,即, 则的图象关于点对称. (3)若恒成立，则的图象关于点对称. 【典例精讲】 例4.(2022·全国乙卷理科)已知函数，的定义域均为，且，，若的图像关于直线对称，，则(    ) A. B. C. D. 解：若的图像关于直线对称，则， 因为，所以，故，为偶函数 由，，得 由，得， 代入，得， 关于点中心对称，所以 由，，得，所 以，故， 周期为由，得，又， 所以． 故选：． 【拓展提升】 练4-1(2021·新高考Ⅱ卷)设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则  (    ) A. B. C. D. 解：因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知． 故选B． 练4-2(2023·辽宁省·一模)已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，当时，都有，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 解：因为是定义在实数集上的函数，且的图象关于直线对称， 则函数的图象关于对称，所以函数是偶函数， 又对任意都有， 令，则，所以对任意都有， 即得函数是以为周期的偶函数， 所以，，， 因为对任意的，，当时，，， 则当时，为增函数， 因为，所以， 即得，所以． 故选C． 共7页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $